1、函數(shù)最值求法1.判別式法 若函數(shù)可化成一個系數(shù)含有的關(guān)于的二次方程: 。在時,由于為實數(shù),則有,由此可以求出所在的范圍,確定函數(shù)的最值。例1.1 已知,其中是實數(shù),則的最大值為_。 解:設(shè),由得, 是方程的兩個實根.整理化簡, 得,故. 即的最大值為2例1.2 實數(shù)滿足,設(shè),則的值為_。 解:由題意知, ,故又 是方程的兩個實根.解得，即2.函數(shù)的單調(diào)性法 當(dāng)自變量的取值范圍為一區(qū)間時，常用單調(diào)性法來求函數(shù)的最值。若函數(shù)在整個區(qū)間上是單調(diào)的,則該函數(shù)在區(qū)間端點上取到最大值或最小值。若函數(shù)在整個區(qū)間上不是單調(diào)的 ，則把該區(qū)間分成各個小區(qū)間，使得函數(shù)在每一個區(qū)間上是單調(diào)的，再求出各個小區(qū)間上的最值

2、，從而可以得到整個區(qū)間上的最值。例2.1 求函數(shù)的最小值和最大值。解：先求定義域，由 得 又 ，故當(dāng)，且增加時，增大，而減小.于是是隨著的增大而減小，即在區(qū)間上是減函數(shù)，所以 , 例2.2 求函數(shù)，的最大值和最小值。解： ， 令，.當(dāng)時，有 在上是減函數(shù)，因此 ， ， 3.均值不等式法 均值不等式:設(shè)是個正數(shù),則有,其中等號成立的條件是。運用均值不等式求最值,必須具備三個必要條件,即一正二定三等,缺一不可?！罢笔侵父黜椌鶠檎龜?shù),這是前提條件；“定”是指各項的和或積為定值；“等”是等號成立的條件。 例3.1 設(shè)為自然數(shù), 為實數(shù),且滿足,則的最小值是_。解:.由均值不等式得, 故 當(dāng)且僅當(dāng)時,

3、上式取等號.故的最小值是例 3.2 設(shè)，,記中最大數(shù)為M,則M的最小值為_。解: 由已知條件得 設(shè)中的最小數(shù)為,則M= 由已知條件知, ,于是 所以, ,且當(dāng)時, ,故的最小值為,從而M的最小值為注:在用均值不等式求函數(shù)的最值時,往往需要配合一定的變形技巧,才可以把問題轉(zhuǎn)化成求不等式的問題。例3.3 設(shè),則的最大值是_。解: 由,有又其中當(dāng)時,上式等號成立,即時成立,故的最大值為4.換元法用換元法求函數(shù)最值,就是根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的特點,把某一部分看作一個整體或用一個新變元來代替,達(dá)到化繁難為簡易,化陌生為熟悉,從而使原問題得解。換元法通常有三角代換和代數(shù)代換兩種。例4.1 正數(shù)滿足，其中為不相等

4、的正常數(shù)，求的最小值。解：令則 當(dāng)且僅當(dāng)，即時上式取等號.故例4.2實數(shù)適合條件，則函數(shù)的值域是_。解：由已知可設(shè)，其中，則 當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，.故的值域是5.幾何法 某些二元函數(shù)最值問題具有圖形背景,這時我們可以將所給函數(shù)表達(dá)式化為具有一定幾何意義的代數(shù)表達(dá)式,再利用幾何圖形,對函數(shù)最值作出直觀的說明和解釋。根據(jù)函數(shù)所表示的幾何意義,我們可以將函數(shù)分為以下幾種:5.1可視為直線斜率的函數(shù)的最值例5.1.1 求函數(shù)的最小值。解:令,則且，于是問題轉(zhuǎn)化為:當(dāng)點在上半個單位圓上運動時,求與的連線的斜率的最值(如圖).顯然,當(dāng)點與點重合時,直線的斜率最小,此時.當(dāng)直線與上半個單位圓相切時,直線的

5、斜率最大. 設(shè),則直線的方程為直線與上半個單位圓相切 解得 (舍去)或綜上可得,直線的斜率的最值為: ， ， 5.2可視為距離的函數(shù)的最值例5.2.1 函數(shù)的最大值是_。解：將函數(shù)式變形,得 可知函數(shù)的幾何意義是：在拋物線上的點分別到點和點的距離之差,現(xiàn)求其最大值.由知，當(dāng)在的延長線上處時，取得最大值5.3可視為曲線截距的函數(shù)的最值例5.3.1 求函數(shù)的最大值。解: 令,則,且.則問題轉(zhuǎn)化為:當(dāng)點在單位圓上運動時,求雙曲線族 (視為常數(shù))在軸上的截距的最大值.當(dāng)時,由方程得 , 由此可知:當(dāng)時, ;當(dāng)時, 此雙曲線族有公共的漸進(jìn)線和,有公共的中心由此不難得出,當(dāng)雙曲線族與單位圓切于點 時,縱截

6、距取得極大值 ，而,故所求縱截距的極大值就是最大值.因此,所求函數(shù)的最大值為6.構(gòu)造方差法設(shè)個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,則其方差為 顯然（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）。應(yīng)用這一公式，可簡捷、巧妙地解決一些試題的最值問題。這種方法適用的范圍很廣，可以用來求函數(shù)的最值，也可以用來求某一字母的最值以及求某一代數(shù)式的最值。例6.1求函數(shù)的最大值。解：的方差是解得.故例6.2確定最大的實數(shù)，使得實數(shù)滿足： , 解：由已知得 , , 的方差 解得 .故的最大值為 注：對于例1，我們也可以用構(gòu)造方差法來求解，解題過程如下：解法2：不妨設(shè)，則由已知,即 得 又的方差是即,由此判定,解得,即,亦即.故的最大值為7.導(dǎo)數(shù)法 設(shè)函數(shù)在

7、上連續(xù)，在上可導(dǎo)，則在上的最大值和最小值為在內(nèi)的各極值與，中的最大值與最小值。要求三次及三次以上的函數(shù)的最值,以及利用其他方法很難求的函數(shù)似的最值,通常都用該方法。導(dǎo)數(shù)法往往就是最簡便的方法,應(yīng)該引起足夠重視。例7.1 求函數(shù),的最大值和最小值。解: ,令,方程無解. 函數(shù)在上是增函數(shù).故當(dāng)時, ，當(dāng)時, 例7.2 求數(shù)列的最大項。解: 設(shè),則令,則得又 , 將,及加以比較,得的最大值為 數(shù)列的最大項為第項,這一項的值為例7.3 已知的導(dǎo)函數(shù)，試探究的極點和最點.解析：.有3個相異的根：它們都是的極點.易知原函數(shù) （R）易知為的減區(qū)間，為的增區(qū)間，為的減區(qū)間，為的增區(qū)間.的4個單調(diào)區(qū)間依次成“減增減增”的順序，使得首、尾兩個區(qū)間的單調(diào)性相異，從而使得在“兩次探底”中得到最（小）點.比較三個極值的大?。旱玫淖钚≈禐?，對應(yīng)兩個最小點和1.