1、第3章 MATLAB矩陣分析與處理,特殊矩陣 矩陣結(jié)構(gòu)變換 矩陣求逆與線性方程組求解 矩陣求值,3.1 特殊矩陣,3.1.1 通用的特殊矩陣 常用的產(chǎn)生通用特殊矩陣的函數(shù)有： zeros：產(chǎn)生全0矩陣(零矩陣)。 ones：產(chǎn)生全1矩陣(幺矩陣)。 eye：產(chǎn)生單位矩陣。 rand：產(chǎn)生01間均勻分布的隨機(jī)矩陣。 randn：產(chǎn)生均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī) 矩陣。,這幾個函數(shù)的調(diào)用格式相似，下面以產(chǎn)生零矩 陣的zeros函數(shù)為例進(jìn)行說明。其調(diào)用格式為： zeros(m): 產(chǎn)生mm零矩陣 zeros(m,n) 產(chǎn)生mn零矩陣 zeros(size(A) 產(chǎn)生與矩陣A同樣大小的零矩陣。

2、,例3.1 分別建立33、32和與矩陣A同樣大小的零矩陣 (1) 建立一個33零矩陣。zeros(3)ans= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (2) 建立一個32零矩陣。 zeros(3,2) ans= 0 0 0 0 0 0,(3) 設(shè)A為23矩陣，則可以用zeros(size(A)建立一個與 矩陣A同樣大小零矩陣。A=1 2 3;4 5 6; %產(chǎn)生一個23階矩陣Azeros(size(A) %產(chǎn)生一個與矩陣A同樣大小的零矩陣 ans= 0 0 0 0 0 0,例3.2 建立隨機(jī)矩陣： (1) 在區(qū)間20,50內(nèi)均勻分布的5階隨機(jī)矩陣。 (2) 均值為0.6、方差為0.1的5階正態(tài)分

3、布隨機(jī)矩陣。 rand：產(chǎn)生01間均勻分布的隨機(jī)矩陣。 要得到a,b區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)，需用yi=a+(b-a)xi randn：產(chǎn)生均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。 命令如下：x=20+(50-20)*rand(5)x = 48.5039 42.8629 38.4630 32.1712 21.7367 26.9342 33.6940 43.7581 48.0641 30.5860 38.2053 20.5551 47.6544 47.5071 44.3950 34.5795 44.6422 42.1462 32.3081 20.2958 46.7390 33.3411 25.2

4、880 46.8095 24.1667,y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5) y = 0.8713 0.4735 0.8114 0.0927 0.7672 0.9966 0.8182 0.9766 0.6814 0.6694 0.0960 0.8579 0.2197 0.2659 0.3085 0.1443 0.8251 0.5937 1.0475 -0.0864 0.7806 1.0080 0.5504 0.3454 0.5813,3.1.2 用于專門學(xué)科的特殊矩陣 (1) 魔方矩陣 魔方矩陣有一個有趣的性質(zhì)，其每行、每列及 兩條對角線上的元素和都相等。對于n階魔方陣，其 元素由

5、1,2,3,n2共n2個整數(shù)組成。MATLAB提供 了求魔方矩陣的函數(shù)magic(n)，其功能是生成一個n 階魔方陣。 magic(3) ans = 8 1 6 3 5 7 4 9 2,例3.3 將101-125等25個數(shù)填入一個5行5列的表格 中，使其每行每列及對角線的和均為565。 一個5姐魔方矩陣的每行、每列及對角線的和 均為65，對其每個元素都加100后，這些和變成565.,magic(5) ans = 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9,M=100+magic(5) M = 117 124

6、 101 108 115 123 105 107 114 116 104 106 113 120 122 110 112 119 121 103 111 118 125 102 109,(2) 范得蒙德矩陣 范得蒙德(Vandermonde)矩陣最后一列全為1， 倒數(shù)第二列為一個指定的向量，其他各列是其后列 與倒數(shù)第二列的點乘積?？梢杂靡粋€指定向量生成 一個范得蒙矩陣。在MATLAB中，函數(shù)vander(V)生 成以向量V為基礎(chǔ)向量的范得蒙矩陣。例如， A=vander(1;2;3;5)即可得到上述范得蒙矩陣。,A = 1 1 1 1 8 4 2 1 27 9 3 1 125 25 5 1,在

7、MATLAB中，生成希爾伯特矩陣的函數(shù)是hilb(n). 使用一般方法求逆會因為原始數(shù)據(jù)的微小擾動而產(chǎn) 生不可靠的計算結(jié)果。MATLAB中，有一個專門求希 爾伯特矩陣的逆的函數(shù)invhilb(n)，其功能是求n階 的希爾伯特矩陣的逆矩陣。,(3) 希爾伯特矩陣,例3.4 求4階希爾伯特矩陣及其逆矩陣。 命令如下：,hilb(4) ans = 1 1/2 1/3 1/4 1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/7,invhilb(4) ans = 16 -120 240 -140 -120 1200 -2700 1680 240 -2700 6

8、480 -4200 -140 1680 -4200 2800,(4) 托普利茲矩陣 托普利茲(Toeplitz)矩陣除第一行第一列外，其他每個 元素都與左上角的元素相同。生成托普利茲矩陣的函數(shù)是 toeplitz(x,y)，它生成一個以x為第一列，y為第一行的托 普利茲矩陣。這里x, y均為向量，兩者不必等長,toeplitz(x) 用向量x生成一個對稱的托普利茲矩陣。如:T=toeplitz(1:6) T=toeplitz(1:4) T = 1 2 3 4 2 1 2 3 3 2 1 2 4 3 2 1,(5) 伴隨矩陣,MATLAB生成伴隨矩陣的函數(shù)是compan(p)，其 中p是一個多項

9、式的系數(shù)向量，高次冪系數(shù)排在前， 低次冪排在后。例如，為了求多項式的x3-7x+6的伴 隨矩陣，可使用命令：, p=1,0,-7,6; compan(p) ans = 0 7 -6 1 0 0 0 1 0,(6) 帕斯卡矩陣 我們知道，二次項(x+y)n展開后的系數(shù)隨n的增 大組成一個三角形表，稱為楊輝三角形。由楊輝三 角形表組成的矩陣稱為帕斯卡(Pascal)矩陣。函數(shù) pascal(n)生成一個n階帕斯卡矩陣。,例3.5 求(x+y)5的展開式。 在MATLAB命令窗口，輸入命令：pascal(6)pascal(6) ans = 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6

10、10 15 21 1 4 10 20 35 56 1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 2 矩陣次對角線上的元素1,5,10,10,5,1即為展開式 的系數(shù)。,3.2 矩陣結(jié)構(gòu)變換,3.2.1 對角陣與三角陣 1對角陣 只有對角線上有非0元素的矩陣稱為對角矩陣， 對角線上的元素相等的對角矩陣稱為數(shù)量矩陣，對 角線上的元素都為1的對角矩陣稱為單位矩陣。 矩陣對角線有很多性質(zhì)，如轉(zhuǎn)置矩陣時對角線元 素不變，相似變換時對角線的和（稱為矩陣的跡） 不變等。,(1) 提取矩陣的對角線元素 設(shè)A為mn矩陣，diag(A)函數(shù)用于提取矩陣A主對角線 元素，產(chǎn)生一個具有min(m,n)

11、個元素的列向量。 A=1 2 3;4 5 6; D=diag(A) D = 1 5 diag(A)函數(shù)還有一種形式diag(A,k)，其功能是提取第 k條對角線的元素。與主對角線平行，往上為第1條，第2條， ，第n條對角線，往下為第-1條，第-2條，第-n條對 角線。主對角線為第0條對角線。例如對上面建立的A矩陣， 提取主對角線兩側(cè)對角線的元素，命令如下：,D1=diag(A,1) D1 = 2 6,D2=diag(A,-1) D2 = 4,(2) 構(gòu)造對角矩陣 設(shè)V為具有m個元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一 個mm對角矩陣，其主對角線元素即為向量V的元素 diag(1,2,-1,4) an

12、s = 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 4,diag(V)函數(shù)也有另一種形式diag(V,k)，其功 能是產(chǎn)生一個nn(n=m+|k|)對角陣，其第k條對角 線的元素即為向量V的元素。 diag(1:3,-1) ans = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0,例3.6 先建立55矩陣A，然后將A的第一行元素乘 以1，第二行乘以2，第五行乘以5。 A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;.11,18,25,2,19; D=diag(1:5); D*A %用D左乘A，對A的每

13、行乘以一個指定常數(shù) ans = 17 0 1 0 15 46 10 14 28 32 12 0 39 0 66 40 48 76 84 12 55 90 125 10 95,對A的每列元素乘以同一個數(shù)，可以用一個對角陣右乘A.,2三角陣 三角陣又進(jìn)一步分為上三角陣和下三角陣，所 謂上三角陣，即矩陣的對角線以下的元素全為0的一 種矩陣，而下三角陣則是對角線以上的元素全為0的 一種矩陣。,(1) 上三角矩陣 與矩陣A對應(yīng)的上三角陣B是與A同型的一個矩陣，并且B 的對角線以上（含對角線）和A對應(yīng)相等，而對角線以下的 元素等于0。求矩陣A的上三角陣的MATLAB函數(shù)是triu(A)。 例如，提取矩陣A

14、的上三角元素，形成新的矩陣B。 A=7,13,-28;2,-9,8;0,34,5; B=triu(A) B = 7 13 -28 0 -9 8 0 0 5,triu(A)函數(shù)也有另一種形式triu(A,k)，其功能是求矩 陣A的第k條對角線以上的元素。例如，提取矩陣A的第2條對 角線以上的元素，形成新的矩陣B。 A=1,32,1,0,5;3,5,17,4,16;4,0,13,0,42;70,11,9,21,3;11,63,5,2,99; B=triu(A,2) B = 0 0 1 0 5 0 0 0 4 16 0 0 0 0 42 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,(2) 下三角矩陣 在

15、MATLAB中，提取矩陣A的下三角矩陣的函數(shù)是 tril(A)和tril(A,k)，其用法與提取上三角矩陣的 函數(shù)triu(A)和triu(A,k)完全相同。,3.2.2 矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn) 1矩陣的轉(zhuǎn)置 所謂轉(zhuǎn)置，即把源矩陣的第一行變成目標(biāo)矩陣 的第一列，第二行變成第二列，依此類推。顯 然，一個m行n列的矩陣經(jīng)過轉(zhuǎn)置運算后，變成一個 n行m列的矩陣。轉(zhuǎn)置運算符是單撇號()。 A=71,3,-8;2,-9,8;0,4,5; B=A B = 71 2 0 3 -9 4 -8 8 5,2矩陣的旋轉(zhuǎn)在MATLAB中，可以很方便地以90。為單位對矩陣 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)。利用函數(shù)rot90(A,k)將矩陣

16、A旋 轉(zhuǎn)90的k倍，當(dāng)k為1時可省略。例如，將A按逆時針 旋轉(zhuǎn)90。，命令如下：,A=57,19,38;-2,31,8;0,84,5; B=rot90(A) B = 38 8 5 19 31 84 57 -2 0,rot90(A,4) ans = 57 19 38 -2 31 8 0 84 5,3矩陣的左右翻轉(zhuǎn) 對矩陣實施左右翻轉(zhuǎn)是將原矩陣的第一列和最后 一列調(diào)換，第二列和倒數(shù)第二列調(diào)換，依次類 推。MATLAB對矩陣A實施左右翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是fliplr(A) A=14,-9,8;-2,81,8;-2,4,0 A = 14 -9 8 -2 81 8 -2 4 0 B=fliplr(A) B =

17、8 -9 14 8 81 -2 0 4 -2,4矩陣的上下翻轉(zhuǎn) 與矩陣的左右翻轉(zhuǎn)類似，矩陣的上下翻轉(zhuǎn)是將 原矩陣的第一行與最后一行調(diào)換，第二行與倒數(shù)第 二行調(diào)換，依次類推。 MATLAB對矩陣A實施上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是flipud(A)。,3.3.1 矩陣的逆與偽逆 對于一個方陣A，如果存在一個與其同階的方 陣B，使得： AB=BA=I (I為單位矩陣) 則稱B為A的逆矩陣，當(dāng)然，A也是B的逆矩陣。 求一個矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作，容易 出錯，但在MATLAB中，求一個矩陣的逆非常容易。 求方陣A的逆矩陣可調(diào)用函數(shù)inv(A)。,3.3 矩陣求逆與線性方程組求解,例3.7 求方陣A的逆矩陣，且

18、驗證A與A-1是否是互逆 的。 A=1,-1,1;5,-4,3;2,1,1; B=inv(A); A*B ans = 1.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000 B*A ans = 1.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000,上述計算中可見：AB=BA 即：AA-1=A-1A,故A與A-1是互逆的。,如果矩陣A不是一個方陣，或者A是一個非滿秩 的方陣時，矩陣A沒有逆矩陣，但可以找到一個與A 的轉(zhuǎn)置矩陣A同型的矩陣B，使得：

19、 ABA=A BAB=B 此時稱矩陣B為矩陣A的偽逆，也稱為廣義逆矩 陣。在MATLAB中，求一個矩陣偽逆的函數(shù)是： pinv(A),A=3,1,1,1;1,3,1,1;1,1,3,1; B=pinv(A) B = 0.3929 -0.1071 -0.1071 -0.1071 0.3929 -0.1071 -0.1071 -0.1071 0.3929 0.0357 0.0357 0.0357,若A是一個奇異矩陣，無一般意義上的逆矩陣， 但可以求A的偽逆矩陣。例如： A=0,0,0;0,1,0;0,0,1; pinv(A) ans = 0 0 0 0 1 0 0 0 1 本例中，A的偽逆矩陣和A

20、相等，這是一個巧 合。一般說來，矩陣的偽逆矩陣和自身是不同的。,將包含n個未知數(shù)，由n個方程構(gòu)成的線性方程 組表示成：,3.2.2 用矩陣求逆方法求解線性方程組,在線性方程組Ax=b兩邊各左乘A-1,有： A-1 Ax= A-1 b 由于A-1 A=I，故得： x= A-1 b 所以，利用系數(shù)矩陣A的逆矩陣，可以求解線性方程 組。,命令如下： A=1,2,3;1,4,9;1,8,27; b=5,-2,6; x=inv(A)*b x = 23.0000 -14.5000 3.6667,也可以運用左除運算符“”求解線性代數(shù)方程組。 A=1,2,3;1,4,9;1,8,27; b=5,-2,6; x

21、=Ab,3.4.1方陣的行列式 把一個方陣看作一個行列式，并對其按行列式 的規(guī)則求值，這個值就稱為矩陣所對應(yīng)的行列式的 值。在MATLAB中，求方陣A所對應(yīng)的行列式的值的函 數(shù)是det(A)。,3.4 矩陣求值,A=rand(5) A = 0.9501 0.7621 0.6154 0.4057 0.0579 0.2311 0.4565 0.7919 0.9355 0.3529 0.6068 0.0185 0.9218 0.9169 0.8132 0.4860 0.8214 0.7382 0.4103 0.0099 0.8913 0.4447 0.1763 0.8936 0.1389 B=det

22、(A) B = -0.0071,1矩陣的秩 矩陣線性無關(guān)的行數(shù)與列數(shù)稱為矩陣的秩。在 MATLAB中，求矩陣秩的函數(shù)是rank(A)。,3.4.2 矩陣的秩與跡,A=2,2,-1,1;4,3,-1,2;8,5,-3,5;3,3,-2,2; r=rank(A) r = 4 這說明A是一個滿秩矩陣。 2矩陣的跡 矩陣的跡等于矩陣的對角線元素之和，也等于矩 陣的特征值之和。在MATLAB中，求矩陣的跡的函數(shù) 是trace(A)。 A=2,2,3;4,5,-6;7,8,9; trace(A) ans = 16,矩陣或向量的范數(shù)用來度量矩陣或向量在某種 意義下的長度。范數(shù)有多種方法定義，其定義不 同，范

23、數(shù)值也就不同。,3.4.3 向量和矩陣的范數(shù),在MATLAB中，求這3種向量范數(shù)的函數(shù)分別為： (1) norm(V)或norm(V,2)：計算向量V的2-范數(shù) (2) norm(V,1)：計算向量V的1-范數(shù)。 (3) norm(V,inf)：計算向量V的-范數(shù)。 例如：V=-1,1/2,1; V1=norm(V,1) %求V的1-范數(shù) V1 = 2.5000 V2=norm(V) %求V的2-范數(shù) V2 = 1.5000 Vinf=norm(V,inf) %求V的-范數(shù) Vinf = 1,2矩陣的范數(shù)及其計算函數(shù),設(shè)A是一個mn的矩陣，V是一個含有n個元素的 列向量，定義： A=maxAV

24、,V=1, 因為A是一個mn的矩陣，而V是一個含有n個元 素的列向量。在前面已經(jīng)定義了3種不同的向量范 數(shù)，按照上式也可以定義3種矩陣范數(shù)，這樣定義的 矩陣范數(shù)A稱為A從屬于向量的范數(shù)。,MATLAB提供了求3種矩陣范數(shù)的函數(shù)，其函數(shù)調(diào) 用格式與求向量的范數(shù)的函數(shù)完全相同。,A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25,2,19; a1=norm(A,1) %求A的1-范數(shù) a1 = 75 a2=norm(A,2) %求A的2-范數(shù) a2 = 59.3617 ainf=norm(A,inf) %求A的-范數(shù) ainf

25、 = 75,3.4.4 矩陣的條件數(shù),在求解線性方程組Ax=b時，一般認(rèn)為：系數(shù)矩 陣A中個別元素的微小擾動不會引起解向量的很大變 化。這樣的假設(shè)在工程應(yīng)用中非常重要，因為一般 系數(shù)矩陣是由實驗數(shù)據(jù)獲得的，并非精確解，但與 精確解誤差不大?；谏鲜黾僭O(shè)可以得到如下結(jié) 論：當(dāng)參與運算的系數(shù)與實際精確解誤差很小時， 所獲得的解與問題的精確解誤差也很小。,對于有的系數(shù)矩陣，個別元素的微小擾動會引 起解的很大變化，在計算數(shù)學(xué)中，稱這種矩陣是病 態(tài)矩陣。 而稱解不因系數(shù)矩陣的微小擾動而發(fā)生的大的 變化的矩陣為良性矩陣。 當(dāng)然良性與病態(tài)也是相對的，需要一個參數(shù)來描 述，條件數(shù)就是用來描述矩陣的這種性能的一

26、個參 數(shù)。,矩陣A的條件數(shù)等于A的范數(shù)與A的逆矩陣的范數(shù) 的乘積，即cond(A)=AA-1。這樣定義的條 件數(shù)總是大于1的。條件數(shù)越接近于1，矩陣的性能 越好，反之，矩陣的性能越差。 在MATLAB中，計算矩陣A的3種條件數(shù)的函數(shù)是： (1) cond(A,1) 計算A的1-范數(shù)下的條件數(shù)。 即：cond(A,1)=A1A-11 (2) cond(A)或cond(A,2) 計算A的2-范數(shù)數(shù)下 的條件數(shù)。 即： cond(A)=A2A-12,(3) cond(A,inf) 計算A的-范數(shù)下的條件數(shù)。 即：cond(A,inf)=cond(A)=AA-1 例如 : A=2,2,3;4,5,-6

27、;7,8,9; C1=cond(A) C1 = 87.9754 B=2,-5,4;1,5,-2;-1,2,4; C2=cond(B) C2 = 3.7515 矩陣B的條件數(shù)比矩陣A的條件數(shù)更接近于1，因此，矩 陣B的性能要好于矩陣A。,3.5 矩陣的特征值與特征向量,在MATLAB中，計算矩陣A的特征值和特征向量的 函數(shù)是eig(A)，常用的調(diào)用格式有3種：(1)E=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成向量E。,(2) V,D=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成 對角陣D，并求A的特征向量構(gòu)成V的列向量。 (3) V,D=eig(A,nobalance):與第二種格式類 似，但第二種

28、格式中先對A做相似變換后，求矩陣A 的特征值和特征向量，而格式3直接求矩陣A的特征 值和特征向量。 一個矩陣的特征向量有無窮多個，eig函數(shù)只找 出其中的n個，A的其他特征向量均可由n個特征向量 的線性組合表示。,A=1,1,0.5;1,1,0.25;0.5,0.25,2; V,D=eig(A) V = 0.7212 0.4443 0.5315 -0.6863 0.5621 0.4615 -0.0937 -0.6976 0.7103 D = -0.0166 0 0 0 1.4801 0 0 0 2.5365,求得的3個特征值是-0.0166，1.4801，2.5365 各特征值對應(yīng)的特征向量為

29、V的各列的向量。驗證結(jié) 果，AV和VD的值均為： -0.0120 0.6576 1.3481 0.0114 0.8320 1.1705 0.0016 -1.0325 1.8018,例3.9 用求特征值的方法解方程。 3x5-7x4+5x2+2x-18=0 先構(gòu)造與方程對應(yīng)的多項式的伴隨矩陣A，再求A的 特征值。A的特征值即為方程的根。命令如下： p=3,-7,0,5,2,-18; A=compan(p); %A的伴隨矩陣 x1=eig(A) %求A的特征值 x1 = 2.1837 1.0000 + 1.0000i 1.0000 - 1.0000i -0.9252 + 0.7197i -0.9252 - 0.7197i,x2=roots(p) %直接求多項式p的零點 x2 = 2.1837 1.0000 + 1.0000i 1.0000 - 1.0000i -0.9252 + 0.7197i -0.9252 - 0.7197i 可以看出，兩種方法求得的方程的根是完全一 致的，實際上，roots函數(shù)正是應(yīng)用求伴隨矩陣的特 征值的方法來求方程的根。,MATLAB的數(shù)學(xué)運算函