1、第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,回憶: 1.5一開始提出的問題., 習題1(B)第17題:,可逆, 一階方陣a可逆 a 0., a11a22 a12a21 0,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,1.6 方陣的行列式,歷史上, 行列式因線性方程組的求解而被發(fā)明,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,(a11a22a12a21)x1 = b1a22a12b2 (a11a22a12a21)x2 = a11b2b1a21,當a11a22a12a21 0時,a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2,消元法,由方程組的四個系數(shù)確定.,由四個數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎

2、排 稱列）的數(shù)表,定義,即,一. 行列式(determinant)的定義,主對角線,副對角線,對角線法則,二階行列式的計算,若記,對于二元線性方程組,系數(shù)行列式,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,則當D = a11a22a12a21 0時,a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2,x1=,b1a22a12b2,a11a22a12a21,有唯一確定的解,x2=,a11a22a12a21,a11b2b1a21,例1,解,二、三階行列式,定義,記,（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式.,(1)沙路法,三階行列式的計算,(2)對角線法則,注意 紅線上三元素的乘積

3、冠以正號，藍線上三 元素的乘積冠以負號,說明1 對角線法則只適用于二階與三階行列式,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,例2.,= 14.,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,一般地, 在n階行列式中, 把元素aij所在的第i行 和第j列劃去, 留下來的n1階行列式叫做元素 aij的余子式(minor), 記作Mij, 令Aij = (1)i+jMij, 并稱之為aij的代數(shù)余子式(cofactor). 例如, 四階階行列式,中a32的余子式為,代數(shù)余子式A32 = (1)3+2M32 = M32.,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,a11的余子式:,M11 =,代數(shù)余子式:,A11 = (

4、1)1+1M11,a12的余子式:,M12 =,代數(shù)余子式:,A12 = (1)1+2M12,a13的余子式:,M13 =,代數(shù)余子式:,A13 = (1)1+3M13,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,3階方陣A =,的行列式|A|定義為,a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33,|A| =,= a11A11 + a12A12 + a13A13,= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 .,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,補充. 數(shù)學歸納法(P

5、rinciple of mathematical induction),1. 第一數(shù)學歸納法原理:,則P對于任意的自然數(shù)nn0成立.,設P是一個關于自然數(shù)n的命題, 若, P對于n = n0成立., 當nn0時,由“n = k時P成立”可推出,“n = k+1時P成立”,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,2. 第二數(shù)學歸納法原理:,設P為一個關于自然數(shù)n的命題, 若 P對于n = n0成立, 由“n0 n k時P成立”可推出 “n = k+1時P成立”, 則P對于任意的自然數(shù)nn0成立.,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,= a11A11+a12A12+a1nA1n,假設n1階行列式已經(jīng)定

6、義,= a11(1)1+1M11 + a12(1)1+2M12 + + a1n (1)1+nM1n,n1階行列式,(Laplace Expansion of Determinants),則定義n階行列式,說明,1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的;,2、 階行列式是 項的代數(shù)和;,3、 階行列式的每項都是位于不同行、不同列 個元素的乘積;,4、 一階行列式 不要與絕對值記號相混淆;,5、 的符號為,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,例2.,= 14.,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,例3. 下三角形(lower triangular)

7、行列式,= a11 a22ann .,例4. 上三角形(upper triangular)行列式,= a11 a22ann .,第一章,(determinant),教學目的和要求 ： 1、理解行列式的性質(zhì)。 2、掌握行列式的計算方法。 3、理解伴隨矩陣的定義及性質(zhì)。 4、了解行列式的應用。,本節(jié)重難點 ： 重點是掌握行列式的計算方法 ；伴隨矩陣的定義及性質(zhì)； 難點是伴隨矩陣的性質(zhì)；,第六節(jié) 行列式（2）,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,二. 行列式的性質(zhì),性質(zhì)1. 互換行列式中的兩列, 行列式變號.,推論. 若行列式 D 中有兩列完全相同, 則 D = 0.,例如,= a11a22 a12

8、a21,= a12a21 a11a22.,= D, D = 0.,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,性質(zhì)2. (線性性質(zhì)) (1) det(1, , kj, , n) = kdet(1, , j, , n); (2) det(1, , j+j, , n) = det(1, , j, , n) + det(1, , j, , n).,現(xiàn)學現(xiàn)用,(1) 設A為n階方陣, 則det(A) = _ det(A).,(1)n,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,推論. 若行列式 D 中有兩列元素成比例, 則 D = 0.,a11 a1i ka1i a1n a21 a2i ka2i a2n an1 an

9、i kani ann,= k0 = 0.,例,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,性質(zhì)3. 把行列式的某一列的k倍加到另一列 上去, 行列式的值不變.,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,例1.,= 14.,注: 本題也可以用定義或對角線法則計算.,=-,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,性質(zhì)4. 設A, B為同階方陣, 則|AB| = |A|B|.,性質(zhì)5. |AT| = |A| .,注: 根據(jù)方陣的性質(zhì)5, 前面幾條關于列的 性質(zhì)可以翻譯到行 的情形. 例如:,性質(zhì)1. 互換行列式中的兩行, 行列式變號.,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,定理1.7. n階行列式D等于它的任意一行 (

10、列) 的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積 之和. 即,D = a11A11 + a12A12 + + a1nA1n = a21A21 + a22A22 + + a2nA2n = = an1An1 + an2An2 + + annAnn = a11A11 + a21A21 + + an1An1 = a12A12 + a22A22 + + an2An2 = = a1nA1n + a2nA2n + + annAnn .,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,性質(zhì)6. ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0 (i j) a1iA1j + a2iA2j + + aniAnj = 0 (

11、i j).,定理1.8.設D = |aij|, 則,注: 克羅內(nèi)克記號,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,三. 行列式的計算,1. 二, 三階行列式對角線法則.,例2,解,按對角線法則，有,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,2. 按某一行(列)展開降階.,例2,例3計算,解,評注本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列 式的某行（列）化成只含有一個非零元素，然后 按此行（列）展開，每展開一次，行列式的階數(shù) 可降低 1階，如此繼續(xù)進行，直到行列式能直接 計算出來為止（一般展開成二階行列式）這種 方法對階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用,練習計算 （見 P52 25（3）,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式

12、,(其中n 2,x a).,例4. 計算n階行列式,3. 利用初等變換化為三角形.,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,解:,= x+(n1)a(xa)n1.,練習 計算,解法一,解法二,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,4. 遞推/歸納.,(未寫出的元素都是0).,例5. 計算2n階行列式,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,解: D2n=,= a,+(1)2n+1b,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,= ad D2(n1) bc D2(n1) = (ad bc) D2(n1) = (ad bc)2D2(n2) = (ad bc)3D2(n3) = = (ad bc)n1 D2 = (a

13、d bc)n.,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,例6. 證明n階級(n2)范德蒙行列式,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,四. 行列式的應用,設A = aijnn為方陣, 元素aij的代數(shù)余子 式為Aij, 則稱如下矩陣,為方陣A的伴隨矩陣(adjoint).,1. 伴隨矩陣與逆矩陣,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,解:,A11 = d,A21 = b,A12 = c,A22 = a.,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,例8. 設A為方陣, A*為其伴隨矩陣. 證明: AA* = A*A = |A|E.,證明:,AA* =,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,定理1.9.方陣A可逆

14、的充分必要條件是|A| 0.,當|A| 0時, 有,推論. 設A, B為方陣, 若AB = E(或BA = E), 則B = A1.,事實上, AB = E, |A| 0, A可逆, B = EB = (A1A)B,= A1(AB) = A1E = A1.,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,例9. 求下列方陣的逆矩陣.,解: (1),(2) |B| = 2 0,B21 =6,B31 = 4, B12 = 3, B22 = 6, B32 = 5,B13 = 2, B23 = 2, B33 = 2.,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,例10. 設方陣A滿足A2+3AE = 0. 證明: A及A

15、2E可逆, 并求它們的逆矩陣.,定理1.10. 分塊對角矩陣A =diag(A1, A2, , As),可逆的充分必要條件是:,A1, A2, , As都可逆.,當A1, A2, , As都可逆時,A1 = diag(A11, A21, , As1).,類似題 P54 34,例10 （P47 4） 已知 ，求A-1,2. 克拉默法則(Cramers Rule),第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,可以表示為Ax = b.,則線性方程組,下面討論A為n階方陣的情形.,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,對于n元線性方程組,第一章 矩陣,1.6 方陣的行列式,定理1.11. 設A為n階方陣, |A| 0, 則方程組