1、1,1. 對稱操作,一幾何體在旋轉(zhuǎn)、反演、鏡面反映等變換下不變，則該變換就稱為幾何體的對稱操作,1.2. 0 晶體的對稱性,反演,2,2. 晶體許可的旋轉(zhuǎn)對稱軸,設(shè)繞通過格點B垂直于紙面的軸旋轉(zhuǎn)a角度為對稱操作,C C,根據(jù)格點的等價性，繞通過C點垂直于紙面的軸旋轉(zhuǎn)-a角度也為對稱操作,B B,BC / BC,BC = m BC, m Z,BC = BC1+2cos(p-a),3,如繞軸旋轉(zhuǎn)2p/n角度及其整數(shù)倍為對稱操作，則稱該軸為 n 度軸（n 重軸）. n=1，稱為不變操作，旋轉(zhuǎn)2p角度相當(dāng)于不動,m BC= BC1+2cos(p-a),cosa = (1-m)/2,-1m3,結(jié)論：晶體

2、中不存在5度軸，也不存在7度以及7度以上的對稱軸,4,3. 反演,對原點O的反演，使 的操作稱為中心反演，用符號 i 表示,4. 旋轉(zhuǎn)反演,旋轉(zhuǎn)與反演的結(jié)合的對稱操作，稱為 n 度旋轉(zhuǎn)反演對稱,受周期性制約，同樣不存在5度、7度及7度以上的旋轉(zhuǎn)反演軸,5,5. 立方體的對稱操作,總的對稱操作數(shù)： 24+24=48,6,6. 正四面體的對稱操作,總的對稱操作數(shù)： 12+12=24,7,7. 對稱操作的標(biāo)記,1、2、3、4、6度軸可用數(shù)字1、2、3、4、6表示；1、2、3、4、6度旋轉(zhuǎn)反演軸，可用 、 、 、 、 表示；鏡面反映用m表示,注意： n 度旋轉(zhuǎn)代表所有的繞軸旋轉(zhuǎn)(2p/n)s 的操作，

3、s 為任意整數(shù),顯然：,8,8. 群,一組定義了群乘運算的元素的集合G，如果滿足以下條件，就稱為群，群元的個數(shù)稱為群的階,單位元存在，設(shè)為E，有 AE=EA=A，AG 逆元存在，BA=AB=E, 記 B=A-1, A,BG 滿足結(jié)合律 (AB)C=A(BC), A,B,CG 具有封閉性, 若A,B G，則 AB=C G,9,9. 點群,晶體的對稱操作滿足群的性質(zhì)，因此常用對稱性群來描述晶體的宏觀對稱性，對稱操作即為群的元素,上述晶體的宏觀對稱操作都不改變一個特殊點的位置，即選定的原點，常稱晶體宏觀對稱性群為晶體點群。晶體點群共32種。,10,32個點群（熊夫利符號記法）,1. 只含一個元素（不

4、動），用C1標(biāo)記，表示沒有任何對稱的晶體，1個,2. 只包含一個旋轉(zhuǎn)軸的點群稱為回旋群，標(biāo)記為 C2， C3， C4， C6 ，共4個,3. 包含一個 n 度軸和 n 個與之垂直的2度軸的點群稱為雙面群，標(biāo)記為 D2， D3， D4， D6 ，共4個,11,4. C1群加上中心反演組成 Ci 群； C1群加上鏡面反映組成 Cs 群，2個,5. Cn群加上與 n 度軸垂直的鏡面反映組成 Cnh 群，共4個； Cn群加上 n 個含 n 度軸的鏡面反映組成 Cnv 群，共4個,6. Dn群加上與 n 度軸垂直的鏡面反映組成 Dnh 群，共4個；Dn群加上通過 n 度軸及兩2度軸角平分線的鏡面反映組成

5、 Dnd 群，只有D2d、D3d，共2個,12,7. 只包含旋轉(zhuǎn)反演軸的點群，標(biāo)記為Sn 群，但S1=Ci， S2=Cs， S3=C3h，只有S4，S6群，共2個,8. 立方對稱的48個對稱操作稱為立方點群，用Oh標(biāo)記；正四面體的24個對稱操作，稱為正四面體群，用Td 標(biāo)記。共2個,9. Oh 群中的24個純轉(zhuǎn)動操作組成 O 群；Td 群中的12個純轉(zhuǎn)動操作組成 T 群； T 群加中心反演組成 Th 群。共3個,13,1. n/m表示有一垂直于Cn軸的鏡面,點群的國際符號記法的一些說明,2. mm，mmm 表示有兩組或三組不等價的鏡面,14,1. 斜方,布拉維格子：簡單斜方,1.2. 2 二維晶格的分類,四大晶系和五種布拉維格子,15,2. 長方,簡單長方,有心長方,16,3. 正方,簡單正方,17,4. 六角,簡單六角,18,二維晶格的晶系和布拉維格子,19,1.2. 3 三維晶格的分類,1. 三斜,布拉維格子：簡單三斜,七大晶系和十四種布拉維格子,20,2. 單斜,布拉維格子： 1. 簡單單斜 2. 底心單斜,21,3. 正交,布拉維格子： 1. 簡單正交 2. 底心正交 3. 體心正交 4. 面心正交,22,4. 四方,布拉維格子： 1. 簡單四方 2. 體心四方,23,5. 立方,布