1、小學(xué)數(shù)學(xué),容斥原理,容斥原理,在計(jì)數(shù)時(shí)，為了使重疊部分不被重復(fù)計(jì)算，人們研究出一種新的計(jì)數(shù)方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的數(shù)目先計(jì)算出來(lái)，然后再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)目排斥出去，使得計(jì)算的結(jié)果既無(wú)遺漏又無(wú)重復(fù)，這種計(jì)數(shù)的方法稱為容斥原理。,容斥原理（第一講）,一次期末考試，某班有15人數(shù)學(xué)得滿分，有12人語(yǔ)文得滿分，并且有4人語(yǔ)、數(shù)都是滿分，那么這個(gè)班至少有一門得滿分的同學(xué)有多少人？ 15+12-4=23（人）,數(shù)學(xué) 語(yǔ)文 15 4 12 數(shù)學(xué)和語(yǔ)文,容斥原理,上題中語(yǔ)文滿分人數(shù)是12，數(shù)學(xué)滿分人數(shù)是15，一門滿分的人數(shù)應(yīng)該是27，但我們重復(fù)計(jì)算了語(yǔ)文

2、數(shù)學(xué)都是滿分人數(shù)4，所以應(yīng)該減去4，答案就是23 結(jié)論：（公式一） 如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B兩類，那么， A類或B類事物個(gè)數(shù)= A類事物個(gè)數(shù)+ B類事物 個(gè)數(shù)既是A類又是B類的事物個(gè)數(shù)。,某班學(xué)生每人家里至少有空調(diào)和電腦兩種電器中的一種，已知家中有空調(diào)的有41人，有電腦的有34人，二者都有的有27人，這個(gè)班有學(xué)生多少人？ 41+34-27=48人 41 27 34,試一試：,一個(gè)班有45名學(xué)生，訂閱小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)的有15人，訂閱今日少年報(bào)的有10人，兩種報(bào)紙都訂閱的有6人。 （1）訂閱報(bào)紙的總?cè)藬?shù)是多少？ 15+10-6=19人 15 6 10 （2）兩種報(bào)紙都沒訂閱的有多少人？ 45-19=2

3、6人,容斥原理,在1到1000的自然數(shù)中，能被3或5整除的數(shù)共有多少個(gè)？不能被3或5整除的數(shù)共有多少個(gè)？ 能被3整除的個(gè)數(shù)： 10003=333個(gè)1 能被5整除的個(gè)數(shù)： 10005=200個(gè) 能被3和5整除的個(gè)數(shù)： 100015=66個(gè)10 所以根據(jù)容斥原理，能被3或5整除的數(shù)共有： 333+200-66=467個(gè) 不能被3或5整除的個(gè)數(shù)： 1000-467=533個(gè),試一試：,某校選出50名學(xué)生參加區(qū)作文比賽和數(shù)學(xué)競(jìng)賽，作文比賽獲獎(jiǎng)的有16人，數(shù)學(xué)比賽獲獎(jiǎng)的有12人，有5人兩項(xiàng)比賽都獲獎(jiǎng)了。 （1）共有多少人獲獎(jiǎng)？ 16+12-5=23人 （2）兩項(xiàng)比賽都沒獲獎(jiǎng)的有多少人？ 50-23=27

4、人,試一試：,習(xí)題 1、四（1）班有40個(gè)學(xué)生，其中25人參加數(shù)學(xué)小組，23人參加航模小組，有19個(gè)人兩個(gè)小組都參加了，那么，有多少人兩個(gè)小組都沒有參加？ 25+23-19=29人 40-29=11人 2、有100位旅客，其中有10人既不懂英語(yǔ)又不懂俄語(yǔ)，有75人懂英語(yǔ)，83人懂俄語(yǔ)，問(wèn)既懂英語(yǔ)又懂俄語(yǔ)的有多少人？ 100-10=90人 75+83=158人 158-90=68人,3、在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，所有同學(xué)都答了第1、2兩題，其中答對(duì)第1題的有35人，答對(duì)第2題的有28人，這兩題都答對(duì)的有20人，沒有人兩題都答錯(cuò)。一共有多少人參加了這次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)？ 35+28-20=42人 4、一個(gè)俱樂(lè)部里

5、，會(huì)下中國(guó)象棋的有69人，會(huì)下國(guó)際象棋的有52人，這兩種棋都不會(huì)下的有12人，都會(huì)下的有30人。這個(gè)俱樂(lè)部里有多少人？ 69+52-30=91人 91+12=103人,5、全班有50人，不會(huì)騎車的有23人，不會(huì)滑旱冰的有35人，兩樣都會(huì)的有5人。問(wèn)：兩樣都不會(huì)的有多少人？ 50-5=45人 23+35-45=15人 6、六年級(jí)（2）班有48名學(xué)生，其中會(huì)騎自行車的有27個(gè)，會(huì)游泳的有18人，既會(huì)騎自行車又會(huì)游泳的有10人。問(wèn)兩樣都不會(huì)的有多少人？ 27+18-10=35人 48-35=13人,容斥原理（第二講）,某校六（1）班，每人在暑假里都參加體育訓(xùn)練隊(duì)，其中參加足球隊(duì)的有25人，參加排球隊(duì)

6、的有22人，參加游泳隊(duì)的有34人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有18人，排球、游泳都參加的有14人，三項(xiàng)都參加的有8人，這個(gè)班有多少人？ 25+22+34 -12-18-14+8=45人,足球 排球 游泳,如果我們用這七個(gè)字母分別代表各字母所在區(qū)域的學(xué)生人數(shù)，那么根據(jù)題意，我們有以下七條等式：(1) A+D+E+G =25；(2) B+D+F+G =34；(3) C+E+F+G = 22；(4) D+G =18； (5) E+G =12；(6) F+G =14；(7) G = 8?，F(xiàn)在我們要求的是A+B+C+D+E+F+G=？。如何利用以上資料求得答案？我們利用等式的性質(zhì)來(lái)試

7、試看. 把頭三條等式加起來(lái)，我們得到A+B+C+2D+2E+2F+3G = 81?？墒沁@結(jié)果包含了多余的D、E、F和G，必須設(shè)法把多余的部分減去。由于等式(4)(6)各有一個(gè)D、E和F，若從上述結(jié)果減去這三條等式，便可以把多余的D、E和 F減去，得A+B+C+D+E+F = 37。可是這么一來(lái)，本來(lái)重復(fù)重現(xiàn)的G卻變被完全減去了，所以最后還得把等式(7)加上去，得最終結(jié)果為A+B+C+D+E+F+G = 45，即該班共有45名學(xué)生。,結(jié)論（公式二） 如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B、C三類，那么，A類或B類或C類事物個(gè)數(shù)= A類事物個(gè)數(shù)+ B類事物個(gè)數(shù)+C類事物個(gè)數(shù)既是A類又是B類的事物個(gè)數(shù)既是A類又是

8、C類的事物個(gè)數(shù)既是B類又是C類的事物個(gè)數(shù)+既是A類又是B類而且是C類的事物個(gè)數(shù)。,例1：設(shè)某班每名學(xué)生都要選修至少一種外語(yǔ)，其中選修英語(yǔ)的學(xué)生人數(shù)為25，選修法語(yǔ)的學(xué)生人數(shù)為18，選修德語(yǔ)的學(xué)生人數(shù)為20，同時(shí)選修英語(yǔ)和法語(yǔ)的學(xué)生人數(shù)為8，同時(shí)選修英語(yǔ)和德語(yǔ)的學(xué)生人數(shù)為13 ，同時(shí)選修法語(yǔ)和德語(yǔ)的學(xué)生人數(shù)為6，而同時(shí)選修上述三種外語(yǔ)的學(xué)生人數(shù)則為3，問(wèn)該班共有多少名學(xué)生？ 25+18+20-8-13-6+3=39人,例2、在一個(gè)炎熱的夏日，幾個(gè)小朋友去冷飲店，每人至少要了一樣冷飲，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的沒有，只要汽水和雪碧的有1

9、人；三樣都要的有1人。問(wèn)：共有幾個(gè)小朋友去了冷飲店？ 6+6+4-（3+1）-（0+1）-（1+1）+1=10人,分析與解：根據(jù)題意畫圖。,例3. 某校六年級(jí)二班有49人參加了數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、語(yǔ)文學(xué)習(xí)小組，其中數(shù)學(xué)有30人參加，英語(yǔ)有20人參加，語(yǔ)文小組有10人。老師告訴同學(xué)既參加數(shù)學(xué)小組又參加語(yǔ)文小組的有3人，既參加數(shù)學(xué)又參加英語(yǔ)和既參加英語(yǔ)又參加語(yǔ)文的人數(shù)均為質(zhì)數(shù)，而三種全參加的只有1人，求既參加英語(yǔ)又參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)。 分析與解：根據(jù)已知條件畫出圖。,三圓蓋住的總體為49人，假設(shè)既參加數(shù)學(xué)又參加英語(yǔ)的有x人，既參加語(yǔ)文又參加英語(yǔ)的有y人，可以列出這樣的方程： 整理后得： 由于x、y均為質(zhì)數(shù)

10、，因而這兩個(gè)質(zhì)數(shù)中必有一個(gè)偶質(zhì)數(shù)2，另一個(gè)質(zhì)數(shù)為7。 答：既參加英語(yǔ)又參加數(shù)學(xué)小組的為2人或7人。,例5. 某班同學(xué)參加升學(xué)考試，得滿分的人數(shù)如下：數(shù)學(xué)20人，語(yǔ)文20人，英語(yǔ)20人，數(shù)學(xué)、英語(yǔ)兩科滿分者8人，數(shù)學(xué)、語(yǔ)文兩科滿分者7人，語(yǔ)文、英語(yǔ)兩科滿分者9人，三科都沒得滿分者3人。問(wèn)這個(gè)班最多多少人？最少多少人？ 分析與解：根據(jù)題意畫圖。,設(shè)三科都得滿分者為x 全班人數(shù) 整理后：全班人數(shù)39x 39+x表示全班人數(shù)，當(dāng)x取最大值時(shí)，全班人數(shù)就最多，當(dāng)x取最小值時(shí)，全班人數(shù)就最少。x是數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)三科都得滿分的同學(xué)，因而x中的人數(shù)一定不超過(guò)兩科得滿分的人數(shù)，即 且 ，由此我們得到 ，另一方面x最小可能是0，即沒有三科都得滿分的。 當(dāng)x取最大值7時(shí)，全班有 人，當(dāng)x取最小值0時(shí)，全班有39人。 答：這個(gè)班最多有46人，最少有39人。,試一試,1. 某班45名同學(xué)參加體育測(cè)試，其中百米得優(yōu)者20人，跳遠(yuǎn)得優(yōu)者18人，又知百米、跳遠(yuǎn)都得優(yōu)者7人，跳高、百米得優(yōu)者6人，跳高、跳遠(yuǎn)均得優(yōu)者8人，跳高得優(yōu)者22人，全班只有1名同學(xué)各項(xiàng)都沒達(dá)優(yōu)秀，求三項(xiàng)都是優(yōu)秀的人數(shù)。 45-1=44 20+18+22-6-7-8=39 44-39=5人 2. 某班四年級(jí)時(shí)，五年級(jí)時(shí)和六年級(jí)時(shí)分別評(píng)出10名三好學(xué)生，