1、1,2020/7/8,第一節(jié) 解析函數(shù)的洛朗展式,1. 雙邊冪級(jí)數(shù),2. 解析函數(shù)的洛朗展式,3. 洛朗級(jí)數(shù)與泰勒級(jí)數(shù)的關(guān)系,4. 解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的洛朗展式,5. 典型例題,第五章 解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點(diǎn),2,2020/7/8,1. 雙邊冪級(jí)數(shù),定義 稱級(jí)數(shù),（1）,為雙邊冪級(jí)數(shù)（1）的系數(shù)。雙邊冪級(jí)數(shù),為雙邊冪級(jí)數(shù)，其中復(fù)常數(shù),負(fù)冪項(xiàng)部分,非負(fù)冪項(xiàng)部分,主要部分,解析部分,注: 主要部分與解析部分同時(shí)收斂稱冪級(jí)數(shù)收斂,3,2020/7/8,若,收斂域?yàn)?的收斂半徑為R,收斂域?yàn)?時(shí)收斂,兩收斂域無(wú)公共部分,兩收斂域有公共部分H:,這時(shí),級(jí)數(shù)(1)在圓環(huán)H:r|z-a|R 收斂

2、于和函數(shù)f(z)=f1(z)+ f2(z),4,2020/7/8,定理5.1 設(shè)雙邊冪級(jí)數(shù)(1)的收斂圓環(huán)為 H: r|z-a|R (r0, R+) 則(1) 級(jí)數(shù)在H內(nèi)絕對(duì)收斂且內(nèi)閉一致收斂于: f(z)=f1(z)+f2(z).,(2) f(z) 在H內(nèi)解析.,在H內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)p次(p=1,2,).,(4) 函數(shù)f(z)可沿H內(nèi)曲線C逐項(xiàng)積分.,5,2020/7/8,定理5.2 (洛朗定理) 在圓環(huán)H:r|z-a|R, (r0,R+)內(nèi)解析的函數(shù)f(z)必可展成雙邊 冪級(jí)數(shù),其中,(2),2. 解析函數(shù)的洛朗(Laurent)展式,定義5.1 (2)式稱為f(z)在點(diǎn)a處的羅朗展式，(3)

3、稱為其羅朗系數(shù)，而(2)右邊的級(jí)數(shù)則稱為羅朗級(jí)數(shù)。,(3),注: 泰勒級(jí)數(shù)是羅朗級(jí)數(shù)的特殊情形。,3. 洛朗級(jí)數(shù)與泰勒級(jí)數(shù)的關(guān)系,6,2020/7/8,例1 求函數(shù) 分別在圓環(huán) 及 的洛朗級(jí)數(shù)。,(1)在圓環(huán) 內(nèi)， ,于是有洛朗級(jí)數(shù),(2)在圓環(huán) 上, ,于是有洛朗級(jí)數(shù),解,7,2020/7/8,例2 求函數(shù) 在 內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)。,例3 求函數(shù) 在 內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)。,例4 求函數(shù) 在 內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)。,8,2020/7/8,4. 解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的洛朗展式,定義5.2 如果f(z)在點(diǎn)a的某一去心鄰域K-a： 0|z-a|R 內(nèi)解析，點(diǎn)a是f(z)的奇點(diǎn)，則稱為f(z)的孤立奇點(diǎn).,如果a為

4、f(z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，則f(z)在點(diǎn)a的某一去心鄰域K-a：0|z-a|R內(nèi)能展成洛朗級(jí)數(shù)。,將函數(shù)展成洛朗級(jí)數(shù)的常用方法。,1. 直接展開(kāi)法:,利用定理公式計(jì)算系數(shù),然后寫(xiě)出,2. 間接展開(kāi)法,根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級(jí)數(shù)的唯一性, 可,用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開(kāi) .,9,2020/7/8,例1,展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù).,5. 典型例題,例2 求函數(shù) 在 內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)。,例3 試問(wèn)函數(shù) 能否在 內(nèi)展成,洛朗級(jí)數(shù)？,10,2020/7/8,第二節(jié) 解析函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn),2. 孤立奇點(diǎn)的性質(zhì),3. Picard定理,4 . Schwarz引理,1. 孤立奇點(diǎn)的分類,11,2020/7/8

5、,1. 孤立奇點(diǎn)的分類,如a為f(z)的孤立奇點(diǎn),則f(z)在a的某去心鄰域K-a內(nèi)可以展成羅朗級(jí)數(shù),則稱,為f(z)在點(diǎn)a的正則部分,而稱,為f(z)在點(diǎn)a的主要部分。,定義5.3 設(shè)a為f(z)的孤立奇點(diǎn). (1)如果f(z)在點(diǎn)a的主要部分為零,則稱a為f(z)的可去奇點(diǎn);(2)如果f(z)在點(diǎn)a的主要部分為有限多項(xiàng),設(shè)為,則稱a為f(z)的m階極點(diǎn)，一階極點(diǎn)也稱為簡(jiǎn)單極點(diǎn)； (3)如果f(z)在點(diǎn)a的主要部分有無(wú)限多項(xiàng),則稱a為f(z)的本性奇點(diǎn).,12,2020/7/8,定理5.3 若a為f(z)的孤立奇點(diǎn)，則下列三條是等價(jià)的。因此，它們中的任何一條都是可去奇點(diǎn)的特征。,(2),(1

6、) f(z)在點(diǎn)a的主要部分為零;,(3) f(z)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)有界。,2.可去奇點(diǎn)的性質(zhì),13,2020/7/8,證 (1) (2). 由(1)有,因此,(2) (3). 因,(3) (1). 因主要部分的系數(shù),其中 ,可任意小，故,14,2020/7/8,Schwarz引理 如果函數(shù)f(z)在單位圓|z|1內(nèi)解析,并且滿足條件 f(0)=0,|f(z)|1(|z|1)，則在單位圓|z|1內(nèi)恒有|f(z)|z|,且有 .,3. 施瓦茨(Schwarz)引理,如果上式等號(hào)成立,或在圓|z|1內(nèi)一點(diǎn)z00 處前一式等號(hào)成立,則(當(dāng)且僅當(dāng)) 其中為一實(shí)常數(shù).,15,2020/7/8,4.

7、極點(diǎn)的性質(zhì),定理5.4 如果f(z)以a為孤立奇點(diǎn)，則下列三條是等價(jià)的。因此，它們中的任何一條都是m階極點(diǎn)的特征。,(1) f(z)在a點(diǎn)的主要部分為,(2)f(z)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)能表示成,其中(z) 在點(diǎn)a的鄰域內(nèi)解析,且(a)0,以點(diǎn)a為m階零點(diǎn)。,注意 第(3)條表明：f(z)以點(diǎn)a為m階極點(diǎn)的充要條件是,以點(diǎn)a為m階零點(diǎn)。,定理5.5 f(z)的孤立奇點(diǎn)a為極點(diǎn),16,2020/7/8,定理5.6 f(z)的孤立奇點(diǎn)a為本性奇點(diǎn),5. 本性奇點(diǎn)的性質(zhì),定理5.7 若z=a為f(z)的本性奇點(diǎn),且在點(diǎn)a的充分小去心鄰域內(nèi)不為零,則z=a亦必為,的本性奇點(diǎn).,17,2020/7/8,

8、奇點(diǎn),孤立奇點(diǎn),非孤立奇點(diǎn),支點(diǎn),可去奇點(diǎn),極點(diǎn),本性奇點(diǎn),（單值函數(shù)的）,（多值函數(shù)的）,18,2020/7/8,定理5.8 如果a為f(z)的本性奇點(diǎn),則對(duì)于 任何常數(shù)A,不管它是有限數(shù)還是無(wú)窮,都有一個(gè)收斂與a的點(diǎn)列zn,使得,6. Picard(皮卡)定理,定理5.9(皮卡(大)定理)如果a為f(z)的本性奇點(diǎn),則對(duì)于每一個(gè)A,除掉可能一個(gè)值A(chǔ)=A0外,必有趨于a的無(wú)限點(diǎn)列zn使f(zn)=A (n=1,2,).,19,2020/7/8,第三節(jié) 解析函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì),定義5.4 設(shè)函數(shù)f(z)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)(去心)鄰域 N-：+|z|r0 內(nèi)解析,則稱點(diǎn)為f(z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn).,設(shè)點(diǎn)

9、為f(z)的孤立奇點(diǎn),利用變換 ,于是,在去心鄰域:,(5.12),內(nèi)解析，則,20,2020/7/8,(1)對(duì)于擴(kuò)充z平面上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域 N-,有擴(kuò)充z/平面上的原點(diǎn)的去心鄰域;,(2)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)z與z/上,函數(shù),(3),或兩個(gè)極限都不存在.,注：,21,2020/7/8,定義5.5 若z/=0為,的可去奇點(diǎn)(解析點(diǎn))、,m級(jí)極點(diǎn)或本性奇點(diǎn),則相應(yīng)地稱z=為f(z) 的可去奇點(diǎn)(解析點(diǎn))、m級(jí)極點(diǎn)或本性奇點(diǎn).,設(shè)在去心鄰域 內(nèi)將,展成羅朗級(jí)數(shù):,22,2020/7/8,定理5.3/ (對(duì)應(yīng)于定理5.3)f(z)的孤立奇點(diǎn)z=為可去奇點(diǎn)的充要條件是下列三條中的任何一條成立: (1)f(z)

10、在 的主要部分為零; (2) (3)f(z)在 的某去心鄰域N-內(nèi)有界.,23,2020/7/8,定理5.4/(對(duì)應(yīng)于定理5.4)f(z)的孤立奇點(diǎn)z =為m級(jí)極點(diǎn)的充要條件是下列三條中的任何一條成立:,(1) f(z)在 z=的主要部分為,(2) f(z)在z =的某去心鄰域N-內(nèi)能表成,(3) g(z)=1/ f(z)以z =為m級(jí)零點(diǎn)(只要令g()=0).,其中 在z =的鄰域N內(nèi)解析,且,24,2020/7/8,定理5.5(對(duì)應(yīng)于定理5.5) f(z)的孤立奇點(diǎn)為極點(diǎn)的充要條件是,定理5.6(對(duì)應(yīng)于定理5.6) f(z)的孤立奇點(diǎn)為本性奇點(diǎn)的充要條件是下列任何一條成立: (1)f(z)在z=的主要部分有無(wú)窮多項(xiàng)正冪不等于零,廣義不存在(即當(dāng)z趨向于時(shí),f(z)不趨向于任何(有限或無(wú)窮)極限).,(2),25,2020/7/8,第四節(jié) 整函數(shù)與亞純函數(shù),1. 整函數(shù),2. 亞純函數(shù),26,2020/7/8,在整個(gè)z平面上解析的函數(shù)f(z)稱為整函數(shù).,(5.14),設(shè)f(z)為一整函數(shù),則f(z)只以z=為孤立奇點(diǎn),且可設(shè),1. 整函數(shù),27,2020/7/8,定理5.10 若f(z)為一整函數(shù),則 (1)z=為f(z)的可去奇點(diǎn)的充要條為:f(z)=c. (2)z=為f(z)的m級(jí)極點(diǎn)的充要條件:f(z)是一個(gè)m次多項(xiàng)式,(3)z=為f(z)的本性奇點(diǎn)的充要條件為:展