1、九年級 上冊,南寧三十五中 蒙永寧,用二次函數(shù)求圖形面積的最值,一、審題分析： 題目背景 ，學情分析， 教材編寫意圖,二、解題過程： 知識準備 ，說題目意思 說題目的解法 ，解題操作，解題歸納,三、總結提升:解題方法總結 ，題目變式延伸,四、評價分析： 教法設計 ，教學反思,說題流程,原題展現(xiàn) 習題22.3,7. 如圖，點E，F(xiàn)，G，H分別位于正方形ABCD的四條邊上，四邊形EFGH也是正方形，當點E位于何處時，正方形EFGH的面積最小。,一、審題分析- 題目背景,1、題材背景：本題出自人教版九年級上冊22.3的第7題.,3、方法背景：學生從小學開始就知道正方形面積公式是正方形面積等于邊長乘邊

2、長，邊長大正方形面積也就大，邊長小面積就小，所以此題的關鍵在于怎么求出正方形EFGH邊長的最小值。,2、知識背景：本題涉及的知識點有： 正方形的性質及面積， 全等三角形的證明， 勾股定理， 拋物線的頂點、二次函數(shù)的最值,幾何圖形中的動點問題。,4.思想背景：化歸思想、函數(shù)思想、數(shù)形結合思想 。,一、審題分析- 學情分析,1.學生特點：本題的教學對象是九年級學生，他們的觀察能力有所發(fā)展，有一定的模仿能力，會想到課本49頁探究1是通過二次函數(shù)性質求圖形面積最大或最小值，具有了一定化歸思想 。,2.估計學生會出現(xiàn)的錯誤：有學生直接認為四個直角三角形全等，也就有了AE=BF，先求出小正方形的邊長，然后

3、再利用邊長的平方求面積。甚至會選取E在幾個特殊點時求正方形EFGH的面積，然后從中取個最小面積所對的AE值作為題目的答案。,一、審題分析- 編者意圖,此題作為二次函數(shù)與實際問題的一個綜合運用題目，編者要求學生能用運動變化的觀點看數(shù)學問題，進一步發(fā)展學生的數(shù)形結合思想。,本題從旨在引導利用二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質，特別是頂點坐標的意義來求面積的最小值，也是對課本49頁探究1的變式與拓展。也讓學生去感受數(shù)學來源于生活并服務于生活。,二、解題過程-知識準備,1能拋物線y=ax2+bx+c（a0）的開口向 ， 頂點坐標是 ，當x= 時，y有最 值是 .,2學生看課本49頁探究1的解法，

4、再次感受把圖形面積化為二次函數(shù)關系式來表示的化歸思想。,二、解題過程-說題目意思,題目類型：本題從二次函數(shù)與實際問題的關系考察學生數(shù)形結合思想，是個綜合性較強的題目。,已知條件：有兩個正方形，內部小正方形的頂點E，F(xiàn)，G，H分別位于外部大正方形ABCD的四條邊上。,待求的結論是：問我們當點E位于何處時，正方形EFGH的面積最小？這樣的一個問題情景學生還是比較熟悉的。當AE的長改變時會引起EF也發(fā)生變化，正方形EFGH的面積也就隨之改變。所以此題是一個動態(tài)幾何問題，題目就是相當于問AE等于多少時EF最長。,二、解題過程-說題目意思,待求的結論是：問我們當點E位于何處時，正方形EFGH的面積最?。?/p>

5、這樣的一個問題情景學生還是比較熟悉的。當AE的長改變時會引起EF也發(fā)生變化，正方形EFGH的面積也就隨之改變。所以此題是一個動態(tài)幾何問題，題目就是相當于問AE等于多少時EF最長。,畫出函數(shù)y=x2-2x-3的圖象，這是題目對我們的第一要求。到這個階段應該如何作圖？列表、描點、連線是作函數(shù)圖象的三步曲，但現(xiàn)在我們已經對二次函數(shù)圖象比較熟悉，就應采用五點作圖法。,說題目,說題目,此題分為三問，第一問：方程 的解是什么，第二、三都是x取什么值時，函數(shù)的值大于或小于0。由易到難，步步為營，符合數(shù)學設問由淺入深的原則。,做好這個題對以后高中數(shù)學求函數(shù)值域、解一元二次不等式有很大的幫助，所以此題也是初高中

6、數(shù)學的連接紐帶。,x2-2x-3=0,-1,1,-4,-3,y=x2-2x-3 =x2-2x+1-1-3 =(x-1)2-4,3,2,y=x2-2x-3,畫函數(shù)圖象的步驟： 1)列表 2)描點 3)連線(用圓滑的曲線),畫出函數(shù)圖象：,-1 0,0 -3,1 -4,2 -3,3 0,說解法,分析：這道題作為二次函數(shù)的典型復習題，用于復習和鞏固二次函數(shù)的圖象及其性質。 （1）分別令x=0，y=0即可求得交點坐標；（2）把函數(shù)解析式轉化為頂點坐標形式，即可得頂點坐標；（3）根據(jù)圖象與x軸交點可知方程的解； 、根據(jù)圖象即可得知x的取值范圍。,說解法,y=x2-2x-3,解：由圖象知 方程x2-2x-

7、3=0的 解為x1=-1，x2=3,解答,y=x2-2x-3 =(x+1)(x-3),x-1或x3,-1x3,當 時，函數(shù)值小于0.,當 時，函數(shù)值大于0；,說思想,本題的設計先考察了把一元二次方程一般式化成頂點式、化歸的數(shù)學思想方法，其次有效地考查了學生的作圖能力，最后要求學生充分展現(xiàn)數(shù)形結合思想。,數(shù)學是研究現(xiàn)實世界中數(shù)與形關系的學科。我國著名數(shù)學家華羅庚教授有這么一段名言：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事非?！?此名言見人教版教師教學用書九上P105,二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題

8、：(1)寫出方程ax2+bx+c=0的兩個根； (2)寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍(3)寫出不等式ax2+bx+c0的解集。,題形變式,解:(1)由拋物線y=ax2+bx+c(a0) 的圖象, 可得x1=1，x2=3；(2) 由圖先找到拋物線的對稱軸， 要y隨x的增大而減小 則x的取值范圍為x2; (3) ax2+bx+c0 不等式解集為1x3。,問題:(1)寫出方程ax2+bx+c=0的兩個根； (2)寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍 (3)寫出不等式ax2+bx+c0的解集。,說反思,實際解題時有些學生為什么會對這類題感到困惑呢？ 我想主要是因為他們不能較快的由關系

9、式作出拋物線草圖，或者不能理解圖象上點的坐標的意義，也就是缺乏數(shù)形結合思想。,原題引申1,1. 畫出函數(shù)y=x2-2x-3的圖象，利用圖象回答： (1)方程x2-2x-3=5的解是什么； (2)x取什么值時，函數(shù)的值大于5； (3)x取什么值時，函數(shù)的值小于5。,-1,1,-4,-3,y=x2-2x-3 =x2-2x+1-1-3 =(x-1)2-4,3,2,y=x2-2x-3,畫出函數(shù)圖象：,-1 0,0 -3,1 -4,2 -3,3 0,說解法,-1,1,-4,-3,3,2,y=x2-2x-3,解答,解：由圖象知 方程x2-2x-3=5的 解為x1=-2，x2=4,當 時，函數(shù)值小于5.,當 時，函數(shù)值大于5；,x-2或x4,-2x4,2. 二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）與一次函數(shù)y=mx+n的圖象如圖所示，直線與拋物線交于（0，3），（3，1）兩點,根據(jù)圖象解答問題：(1)寫出方程ax2+bx+c=mx+n的根； (2)寫出不等式ax2+bx+cmx+n的解集;(3)寫出不等式ax2+bx+cmx+n的解集。,原題引申2,一葉知秋，題海不是解決問題的最好方法，如果能夠深