1、2020年7月8日,高中數(shù)學(xué)必修四課件全冊（人教A版）,任意角的概念,角的度量方法 （角度制與弧度制）,弧長公式與 扇形面積公式,任意角的 三角函數(shù),同角公式,誘導(dǎo)公式,兩角和與差的三角函數(shù),二倍角的三角函數(shù),三角函數(shù)式的恒等變形 （化簡、求值、證明）,三角函數(shù)的 圖形和性質(zhì),正弦型函數(shù)的圖象,已知三角函數(shù)值，求角,知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),1.角的概念的推廣 （1）正角，負(fù)角和零角.用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)定義角，并規(guī)定了旋轉(zhuǎn)的正方向，就出現(xiàn)了正角，負(fù)角和零角，這樣角的大小就不再限于00到3600的范圍.,（3）終邊相同的角，具有共同的紿邊和終邊的角叫終邊相同的角，所有與角終邊相同的角（包含角在內(nèi)）的集合為.,（4

2、）角在“到”范圍內(nèi)，指.,（2）象限角和軸線角.象限角的前提是角的頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，這樣當(dāng)角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限的角，若角的終邊與坐標(biāo)軸重合，這個(gè)角不屬于任一象限，這時(shí)也稱該角為軸線角.,一、基本概念：,一、任意角的三角函數(shù),1、角的概念的推廣,正角,負(fù)角,o,x,y,的終邊,的終邊,零角,二、象限角：,注：如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，則該角不是象限角。,三、所有與角 終邊相同的角，連同角 在內(nèi)，構(gòu)成集合：,（角度制）,（弧度制）,例1、求在 到 （ ）范圍內(nèi)，與下列各角終邊相同的角,原點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸,角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，我

3、們就說這個(gè)角是第幾象限角。,1、終邊相同的角與相等角的區(qū)別,終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同。,2、象限角、象間角與區(qū)間角的區(qū)別,3、角的終邊落在“射線上”、“直線上”及“互相垂直的兩條直線上”的一般表示式,三、終邊相同的角,(1)與 角終邊相同的角的集合:,1.幾類特殊角的表示方法, | =2k+, kZ.,(2)象限角、象限界角(軸線角),象限角,第一象限角:,第二象限角:,第三象限角:,第四象限角:,一、角的基本概念,軸線角,x 軸的非負(fù)半軸: =k360(2k)(kZ);,x 軸的非正半軸: =k360+180(2k+)(kZ);,x 軸: =k180(k)(kZ);,典型

4、例題,各個(gè)象限的半角范圍可以用下圖記憶，圖中的、分別指第一、二、三、四象限角的半角范圍；,例1.若是第三象限的角，問/2是哪個(gè)象限的角?2是哪個(gè)象限的角?,高考試題精選及分析,C,點(diǎn)評(píng): 本題先由所在象限確定/2所在象限,再/2的余弦符號(hào)確定結(jié)論.,例1 求經(jīng)過1小時(shí)20分鐘時(shí)鐘的分針?biāo)D(zhuǎn)過的角度：,解：分針?biāo)D(zhuǎn)過的角度,評(píng)析： 在解選擇題或填空題時(shí)， 如求角所在象限，也可以不討論k的 幾種情況，如圖所示利用圖形來判斷.,四、什么是1弧度的角？,長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角。,（3）角度與弧度的換算.只要記住，就可以方便地進(jìn)行換算. 應(yīng)熟記一些特殊角的度數(shù)和弧度數(shù). 在書寫時(shí)注意不要同時(shí)混用

5、角度制和弧度制,（4）弧長公式和扇形面積公式.,度 弧度 0,2、角度與弧度的互化,特殊角的角度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表,略解：,例3已知角和滿足求角的范圍.,解：,例4、 已知扇形的周長為定值100，問扇形的半徑和圓心角分別為多少時(shí)扇形面積最大？最大值是多少？,扇形面積最大值為625.,例7.已知一扇形中心角是，所在圓的半徑是R. 若60，R10cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積. 若扇形的周長是一定值C(C0)，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形的面積有最大值?并求出這一最大值?,指導(dǎo):扇形的弧長和面積計(jì)算公式都有角度制和弧度制兩種給出的方式，但其中用弧度制給出的形式不僅易記，而且好用.在使用時(shí)，先要將

6、問題中涉及到的角度換算為弧度.,解：（1）設(shè)弧長為l，弓形面積為S弓。,正弦線：,余弦線：,正切線：,（2）當(dāng)角的終邊在x軸上時(shí)，正弦線，正切線變成一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)角的終邊在y軸上時(shí)，余弦線變成一個(gè)點(diǎn)，正切線不存在。,2.正弦線、余弦線、正切線,有向線段MP,有向線段OM,有向線段AT,注意： （1）圓心在原點(diǎn)，半徑為單位長的圓叫單位圓.在平面直角坐標(biāo)系中引進(jìn)正弦線、余弦線和正切線,三角函數(shù),三角函數(shù)線,正弦函數(shù) 余弦函數(shù) 正切函數(shù),正弦線MP,正弦、余弦函數(shù)的圖象,P,M,A(1,0),T,sin=MP,cos=OM,tan=AT,注意：三角函數(shù)線是有向線段！,余弦線OM,正切線AT,P,O,M,

7、P,O,M,P,O,M,P,O,M,MP為角的正弦線,OM為角的余弦線,10）函數(shù)y=lg sinx+ 的定義域是（A） （A）x|2kx2k+ (kZ) （B）x|2kx2k+ (kZ) （C）x|2kx2k+ (kZ) （D）x|2kx2k+ (kZ),專題知識(shí),三角函數(shù)線的應(yīng)用,一、三角式的證明,2、已知：角 為銳角， 試證：,1、已知：角 為銳角， 試證：（1）,4、在半徑為r的圓中，扇形的周長等于半圓的弧長，那么扇形圓心角是多少？扇形的的面積是多少？,答：圓心角為-2，面積是,5、用單位圓證明sian tan.(00 900,A,T,P,M,提示：利用三角函數(shù)線和三角形面積與扇形面積

8、大小關(guān)系證明。,例5 已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn),例6 若為第一象限角，利用三角函數(shù)線證明：,若為其它象限角呢？,例7 求函數(shù) 的定義域.,4.三角函數(shù)的符號(hào),一、任意角的三角函數(shù)定義,x,y,o,P(x,y),r,二、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,倒數(shù)關(guān)系：,商關(guān)系：,平方關(guān)系：,三角函數(shù)值的符號(hào)：“第一象限全為正，二正三切四余弦”,平方關(guān)系,倒數(shù)關(guān)系,商式關(guān)系,5.同角三角函數(shù)基本關(guān)系:,神奇的六邊形,（1）上述幾個(gè)基本關(guān)系中，必須注意：它們都是同一個(gè)角的三角函數(shù)，因此sin2+sin2 =1不一定成立；這幾個(gè)恒等式都是在所取的角使等式兩邊都有意義的前提下成立. （2）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系常用于：已

9、知角的某個(gè)三角函數(shù)值，求角的其他三角函數(shù)值；化簡三角函數(shù)式；證明三角恒等式,同角三角函數(shù)基本關(guān)系注意事項(xiàng):,三、典型例題分析,【解題回顧】已知三角函數(shù)值求同角的其它三角函數(shù)值是一個(gè)基本題型，解答此問題過程中，通過基本關(guān)系式中正弦、余弦、正切之間的聯(lián)系，必需開方且只需開方一次（有的題型根據(jù)已知條件可以盡量回避開方，使得問題輕松獲解 ），根據(jù)角所在象限，確定正負(fù)號(hào)的取舍.當(dāng)給出的的象限指定唯一，則此時(shí)一般有一解；當(dāng)角的象限沒有定，可根據(jù)已知的函數(shù)值的符號(hào)確定的象限，此時(shí)一般有二解（除軸上角外）；當(dāng)已知的三角函數(shù)值符號(hào)不確定，此時(shí)一般有四解（除軸上角.外）.,例1：已知 是第三象限角，且 ，0求 。

10、,四、主要題型,解：,應(yīng)用：三角函數(shù)值的符號(hào)；同角三角函數(shù)的關(guān)系；,例2已知sin=m (|m|1) ，求tan.,方法指導(dǎo)：此類例題的結(jié)果可分為以下三種情況. (1)已知一個(gè)角的某三角函數(shù)值，又知角所在象限，有一解. (2)已知一個(gè)角的某三角函數(shù)值，且不知角所在象限，有兩解. (3)已知角的三角函數(shù)值是用字母表示時(shí)，要分象限討論.分象限討論的依據(jù)是已知三角函數(shù)值具有平方關(guān)系的那個(gè)三角函數(shù)值符號(hào)，一般有四解.,指導(dǎo)：容易出錯(cuò)的地方是得到x23后，不考慮P點(diǎn)所在的象限，分x取值的正負(fù)兩種情況去討論，一般地，在解此類問題時(shí)，可以優(yōu)先注意角所在的象限，對(duì)最終結(jié)果作一個(gè)合理性的預(yù)測,例4設(shè)為第四象限角

11、，其終邊上的一個(gè)點(diǎn)是 P(x， )，且cos ，求sin和tan.,設(shè)00900，對(duì)于任意一個(gè)00到3600的角,=,， 當(dāng)00，900,1800-， 當(dāng)900，1800,1800+，當(dāng)1800，2700,3600-，當(dāng)2700，3600,如何求非銳角的三角函數(shù)值呢？,角1800-， 1800+， 3600-的三角函數(shù)值與 的三角函數(shù)值有何關(guān)系呢？,6.誘導(dǎo)公式:,公式5：,奇變偶不變，符號(hào)看象限！,（注意：把 看作是銳角）,公式五：,公式六：,偶同奇余,象限定號(hào),（K是奇數(shù)）,（K是偶數(shù)）,（K是奇數(shù)）,（K是偶數(shù)）,誘導(dǎo)公式總結(jié)：,口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限,意義：,利用誘導(dǎo)公式把任意角

12、的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角 函數(shù),一般按下面步驟進(jìn)行:,任意負(fù)角的 三角函數(shù),任意正角的 三角函數(shù),銳角三 角函數(shù),到 的角 的三角函數(shù),特殊角的三角函數(shù)值,你記住了嗎？,三、典型例題分析,【解題回顧】視sin，cos 等為“一次式”，sin2 ，sin cos 等為“二次式”. 象此題中的“分式齊次式”、“齊次二項(xiàng)式”是典型的條件求值，一般化為含tan 的式子.要注重?cái)?shù)字“1”的代換，表面上看增加了運(yùn)算，但同時(shí)它又可以將原表達(dá)式整體結(jié)構(gòu)發(fā)生改變，給解決問題帶來方面，故解題時(shí)，應(yīng)給于足夠的認(rèn)識(shí),1、,若 ，則,分析: 從已知 可求出,同除以 得,例1：,原式可化為,（04 湖南),例5，若tan

13、A=,求2sin2A+sinAcosA-3cos2A 的值。,指導(dǎo)：這是一個(gè)已知角A的三角函數(shù)值，求它的三角函數(shù)式的值。觀察其構(gòu)成特征，可考慮利用“1”的恒等變形，把欲求值的三角函數(shù)式用條件正切來表示。即先變形，后代入計(jì)算。,解：,例5，若tanA=,求2sin2A+sinAcosA-3cos2A 的值。,分析：,屬“給值求值”型,本例若借助題目條件的特殊性來整體考慮使用條件應(yīng)比較簡單些。,齊,例題與練習(xí),例4 化簡,練習(xí)1 求sin(2n+2/3)cos(n+4/3)的值(nZ),2 化簡 cos(4n+1)/4+x+ cos(4n-1)/4-x,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，原式=-2cos(/4+x)

14、當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，原式=2cos(/4+x),當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，,補(bǔ)充: 已知 (1)試判斷 的符號(hào)； (2)化簡,作業(yè),解：由,的終邊在第二、三象限或y軸和x軸的負(fù)半軸上；,又 ， 角的終邊在第二、四象限， 從而 的終邊在第二象限。,（1）易知,（2）原式=,【解題回顧】 證等式常用方法： （1）左邊證明到右邊或右邊證明到左邊（從繁到簡為原則） （2）兩邊向中間證 （3）分析法； （4）用綜合法 證等式的思路要靈活，根據(jù)等式兩邊式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，尋求思路.,三、典型例題分析,三、典型例題分析,【解題回顧】根據(jù)目標(biāo)式子無的特點(diǎn)， 采用消元思想， 三角平方關(guān)系式消元是一重要方法.,四、sin

15、cos， sincos ，sincos 三個(gè)式子中，已知其中一個(gè)式子的值，可以求出其余兩個(gè)式子的值。,例2、:已知,三、典型例題分析,求 的值.,【解題回顧】sin與cos通過公式 sin2+cos2=1形成對(duì)立與統(tǒng)一的整體，它們的和sin+cos、差sin-cos、積sincos、商sin/cos(即tan)密切相聯(lián)，如(sin+cos）2=1+2 sincos，,例6，若 ， 則 。,指導(dǎo):條件是正余弦的乘積，結(jié)論要求的是差，要想聯(lián)系起來只有平方，需注意的是 ( , ) 即,小結(jié)：解決“給值求角”型問題，關(guān)鍵是利用給定的三角函數(shù)值或者首先求出該角的某一個(gè)三角函數(shù)值，在某個(gè)范圍內(nèi)求出具體的角

16、。,練習(xí)：,例3 已知是三角形的內(nèi)角，且sin+cos= ，求tan的值。,解答下列問題： （1）若 在第四象限，判斷 的符號(hào)； （2）若 ，試指出 所在的象限， 并用圖形表示出的取值范圍.,思考題,三、三角函數(shù)圖像和性質(zhì),R,R,-1,1,-1,1,R,奇,奇,偶,無最值,無,2,2,定義域,值域,奇偶性,單調(diào)性,周期性,對(duì)稱性,R,R,R,-1,1,-1,1,奇函數(shù),奇函數(shù),偶函數(shù),增區(qū)間：,增區(qū)間：,增區(qū)間：,減區(qū)間：,減區(qū)間：,對(duì)稱中心：,對(duì)稱中心：,對(duì)稱中心：,對(duì)稱軸：,對(duì)稱軸：,3、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì),y=tanx,圖 象,x,y,o,定義域,值域,R,奇偶性,奇函數(shù),周期性,單

17、調(diào)性,正切函數(shù)的性質(zhì)：,6、對(duì)稱性：對(duì)稱中心,7、漸進(jìn)線：,四、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),圖象,y=sinx,y=cosx,x,o,y,-1,1,x,y,-1,1,性 質(zhì),定義域,R,R,值 域,-1，1,-1，1,周期性,T=2,T=2,奇偶性,奇函數(shù),偶函數(shù),單調(diào)性,o,1、正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),五點(diǎn)作圖法,p,對(duì)稱點(diǎn)：(kp,0),對(duì)稱軸：x=kp,kZ,kZ,練習(xí)：,y=3sin(2x+)的圖像的一條對(duì)稱軸方程是（ ）,（A）x=0 (B)x= (C)x=- （D）x= 3,B,解：,令X= 2x+,則y=3sinX,由此可知y=3sinX的圖像的對(duì)稱軸方程為k + /2 ，k Z,

18、 2x+k + /2 ，k Z，解得x=k /2+ , k Z,y=3sin(2x+)的圖像的對(duì)稱軸方程為： x=k /2+ , k Z,令k=0得x= ,1、作y=Asin(x+)圖象的方法,2、y=Asin(x+)關(guān)于 A、的三種變換,法一：五點(diǎn)法,列表取值方法：是先對(duì)x+取 0，/2，3/2，2,法二：圖象變換法,（1）振幅變換（對(duì)A）,（2）周期變換（對(duì)）,（3）相位變換（對(duì)）,(二) y=Asin(x+)的相關(guān)問題,3、求y=Asin(x+)+K 的解析式的方法,4、y=Asin(x+)(A0,0) 的圖象的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸方程,2、函數(shù) 的圖象（A0, 0 ),第一種變換:,圖象向

19、左( ) 或 向右( ) 平移 個(gè)單位,橫坐標(biāo)伸長( )或縮短( )到原來的 倍 縱坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長(A1 )或縮短( 0A1 )到原來的A倍 橫坐標(biāo)不變,第二種變換：,橫坐標(biāo)伸長( )或縮短( )到原來的 倍 縱坐標(biāo)不變,圖象向左( ) 或 向右( ) 平移 個(gè)單位,縱坐標(biāo)伸長(A1 )或縮短( 0A1 )到原來的A倍 橫坐標(biāo)不變,5、對(duì)于較復(fù)雜的解析式，先將其化為此形式： 并會(huì)求相應(yīng)的定義域、值域、周期、單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱中心、對(duì)稱軸；會(huì)判斷奇偶性,例3、不通過求值，比較tan1350與tan1380的大小。,解：900135013802700,又 y=tanx在x（900，2700）上是

20、增函數(shù), tan1350tan1380 。,例3 求函數(shù) 的定義域值域,解 ,2、函數(shù) 單調(diào)遞增 區(qū)間是,變題：函數(shù) 單調(diào)遞減 區(qū)間是,例4 函數(shù)y=cos(2x+ )圖象的一條對(duì)稱軸方程為_。 (A) x=- (B) x=- (C) x= (D) x= 解：2x+ =k 2x=k - x= - k=0 x=- 選B 例5 函數(shù)y=sin(x+)(0,| )的圖象向左平移 個(gè)單位，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來2倍（縱坐標(biāo)不變）得函數(shù)y=sinx圖象則=_ =_。 解：y=sin2x =sin2(x- )=sin(2x- ) =2 =-,思路:函數(shù)y=sin2x+acos2x可化為,要使它

21、的圖象關(guān)于直線x= -/8對(duì)稱,則圖象在該處必是處于波峰或波谷.即函數(shù)在x=-/8時(shí)取得最大、小值.,例9、(98年)關(guān)于函數(shù) 有下列命題： 的表達(dá)式可改寫為 是以 為最小正周期的周期函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱 其中正確的命題序號(hào)是。, ,（3）連線：,用“五點(diǎn)作圖法”作出 y=A sin (x + ) 在長度為一個(gè)周期閉區(qū)間上的圖象,(2) 描點(diǎn)：,（1）列表：,(1)由最大值點(diǎn)（或最小值點(diǎn)）定A (2)由兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（特殊點(diǎn)）定 和 ,總 結(jié),給出函數(shù) y=Asin(x+) (A0 , 0)的圖象求其解析式的一般方法：,6、已知下圖是函數(shù) 的圖象 (1)求 的值； (2)

22、求函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程.,（2）函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為,即,設(shè)函數(shù),（1）求 ；,（2）求函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間； （3）畫出函數(shù) 在區(qū)間0， 上的圖象.,圖象的一條對(duì)稱軸是直線,例3,解析:,（1）,（2）,函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為,x0,（3）,5 ) 函數(shù) (A0,0)的一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖，則有( ),(A),(B),(C),(D),如圖：根據(jù)函數(shù) y= A sin (x + ) (A0 , 0) 圖象求它的解析式,y,x,0,-4,4,如圖：根據(jù)函數(shù)y = A sin (x + ) (A0 , 0) 圖象 求它的解析式,如圖：根據(jù)函數(shù)y = A sin (x + ) (A0 , 0) 圖

23、象求它的解析式,如圖：根據(jù)函數(shù)y = 2 sin(x + ) (0) 圖象 求它的解析式,如圖：根據(jù)函數(shù)y = 2 sin(x + ) (0) 圖象 求它的解析式,4.11 已知三角函數(shù)值求角,的意義：,4.11 已知三角函數(shù)值求角,4.11 已知三角函數(shù)值求角,的意義：,4、已知三角函數(shù)值求角,y=sinx , 的反函數(shù) y=arcsinx ,y=cosx, 的反函數(shù)y=arccosx,y=tanx, 的反函數(shù)y=arctanx,已知角x ( )的三角函數(shù)值求x的步驟,先確定x是第幾象限角 若x 的三角函數(shù)值為正的，求出對(duì)應(yīng)的銳角 ；若x的三角函數(shù) 值為負(fù)的，求出與其絕對(duì)值對(duì)應(yīng)的銳角 根據(jù)x

24、是第幾象限角，求出x 若x為第二象限角，即得x= ；若x為第三象限角，即得 x= ；若x為第四象限角，即得x= 若 ，則在上面的基礎(chǔ)上加上相應(yīng)函數(shù)的周期的整數(shù)倍。,反三角函數(shù),已知三角函數(shù)值求角,已知三角函數(shù)值求角x（僅限于0，2 ）的解題步驟：,1、如果函數(shù)值為正數(shù)，則求出對(duì)應(yīng)的銳角x0；如果函數(shù)值為負(fù)數(shù)，則求出與其絕對(duì)值相對(duì)應(yīng)的銳角x0 ；,2、由函數(shù)值的符號(hào)決定角x可能的象限角；,3、根據(jù)角x的可能的象限角得出0，2 內(nèi)對(duì)應(yīng)的角：,如果x是第二象限角，那么可以表示為 x0,如果x是第三象限角，那么可以表示為 x0,如果x是第四象限角，那么可以表示為2 x0,說明:三角函數(shù)值求角，關(guān)鍵在于

25、角所屬范圍，這點(diǎn)不容忽視.,(1)判斷角的象限； (2)求對(duì)應(yīng)銳角； 如果函數(shù)值為正數(shù)，則先求出對(duì)應(yīng)的銳角x1； 如果函數(shù)值為負(fù)數(shù)，則先求出與其絕對(duì)值對(duì)應(yīng)的銳角x1. (3)求出(0，2)內(nèi)對(duì)應(yīng)的角； 如果它是第二象限角，那么可表示為x1； 如果它是第三或第四象限角，則可表示為x1或x12. (4)求出一般解 利用終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值這一規(guī)律寫出結(jié)果.,（三）已知三角函數(shù)值求角”的基本步驟,1、基本步驟,2、表示角的一種方法反三角函數(shù)法,1、反正弦：,這時(shí)sin(arcsina)=a,2、反余弦：,這時(shí)cos(arccosa)=a,這時(shí)tan(arctana)=a,3、反正切：,三、

26、兩角和與差的三角函數(shù),1、預(yù)備知識(shí)：兩點(diǎn)間距離公式,x,y,o,2、兩角和與差的三角函數(shù),注：公式的逆用 及變形的應(yīng)用,公式變形,3、倍角公式,二、知識(shí)點(diǎn),（一） 兩角和與差公式,（二）倍角 公式,公式,=1-cos2 2cos2=1+cos2 1+cos2=2cos2 1-cos2=2sin2,tan+tan=tan(+)(1-tantan) tan-tan=tan(-)(1+tantan),注意1、公式的變形如：,注意2、公式成立的條件（使等式兩邊都有意義）.,C：,S ：,C2：,S 2：,T2：,T：,3、倍角公式,注：正弦與余弦的倍角公式的逆用實(shí)質(zhì)上就是降冪的過程。特別,返回,和角公

27、式的一個(gè)重要變形,其 它 公 式(1),1、半角公式,2、萬能公式,十二、兩角和與差的正弦、余弦、正切：,注意： 、 的變形式以及運(yùn)用和差公式時(shí)要會(huì)拼角,如：,要熟悉公式逆用！,十三、一個(gè)化同角同函數(shù)名的常用方法：,如：,例7、求 的值,十四、二倍角公式：,例4化簡：,解法1：從“角”入手，“復(fù)角”化為“單角”，利用“升冪公式”。,例4化簡：,解法2：從“冪”入手，利用“降冪公式”。,例4化簡：,解法3：從“名”入手，“異名化同名”。,例4化簡：,解法4：從“形”入手，利用“配方法”。,三角解題常規(guī),宏觀思路,分析差異,尋找聯(lián)系,促進(jìn)轉(zhuǎn)化,指角的、函數(shù)的、運(yùn)算的差異,利用有關(guān)公式，建立差異間關(guān)

28、系,活用公式，差異轉(zhuǎn)化，矛盾統(tǒng)一,微觀直覺,1、以變角為主線，注意配湊和轉(zhuǎn)化； 2、見切割，想化弦；個(gè)別情況弦化切； 3、見和差，想化積；見乘積，化和差； 4、見分式，想通分，使分母最簡； 5、見平方想降冪，見“1cos”想升冪； 6、見sin2，想拆成2sincos； 7、見sincos或,9、見coscoscos，先運(yùn)用,sin+sin=p cos+cos=q,8、見a sin+b cos，想化為 的形式,若不行，則化和差,10、見cos+cos(+)+cos(+2 )， 想乘,想兩邊平方或和差化積,總結(jié)： 多種名稱想切化弦；遇高次就降次消元； asinA+bcosA提系數(shù)轉(zhuǎn)換； 多角湊和

29、差倍半可算； 難的問題隱含要顯現(xiàn)； 任意變元可試特值算； 求值問題縮角是關(guān)鍵； 字母問題討論想優(yōu)先； 非特殊角問題想特角算； 周期問題化三個(gè)一再算； 適時(shí)聯(lián)想聯(lián)想是關(guān)鍵！,【解題回顧】找出非特殊角和特殊角之間的關(guān)系,這種技巧在化簡求值中經(jīng)常用到，并且三角式變形有規(guī)律即堅(jiān)持“四化”：,多角同角化 異名同名化 切割弦化 特值特角互化,公式體系的推導(dǎo)：,首先利用兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo) ，,然后利用換元及等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想方法，以 為中心推導(dǎo)公式體系。,sin+cos=1,二【述評(píng)】 1、變?yōu)橹骶€，抓好訓(xùn)練。變是本章的主題，在三角變換考查中，角的變換（恒等）、三角函數(shù)名的變換（誘導(dǎo)公式）、三角函數(shù)次數(shù)的變換

30、（升、降冪公式）、三角函數(shù)表達(dá)式的變換（綜合）等比比皆是。在訓(xùn)練中，強(qiáng)化變化意識(shí)是關(guān)鍵。但題目不可以太難。較特殊技巧的題目不做。立足課本，掌握課本中常見問題的解法，把課本中的習(xí)題進(jìn)行歸類，并進(jìn)行分析比較，尋找解題規(guī)律。 2、基本解題規(guī)律：觀察差異（角或函數(shù)或運(yùn)算） 尋找聯(lián)系（借助于熟知的公式、方法或技巧） 分析綜合（由因?qū)Ч驁?zhí)果索因） 實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。,1、值域與最值問題,利用有界性,化二次函數(shù)型,運(yùn)用合一變換,換元,十七、求值域問題：,主要是將式子化成同角度同函數(shù)名的形式，再利用正弦 函數(shù)與余弦函數(shù)的有界性求解。,例10、求函數(shù) 的值域,有時(shí)還要運(yùn)用到 的關(guān)系,2、對(duì)稱性問題,3、奇偶性與周期性

31、問題,注意絕對(duì)值的影響,化為單一三角函數(shù),4、單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間,復(fù)后函數(shù) 單調(diào)性,注意負(fù)號(hào) 的處理,5、圖像變換問題,相位變換、周期變換、振幅變換,求函數(shù)解析式,例4:已知函數(shù) 求：函數(shù)的最小正周期；函數(shù)的單增區(qū)間；,解：,應(yīng)用：化同一個(gè)角同一個(gè)函數(shù),例4:已知函數(shù) 求： 函數(shù)的最大值 及相應(yīng)的x的值； 函數(shù)的圖象可以由函數(shù) 的圖象經(jīng)過怎 樣的變換得到。,解：,圖象向左平移 個(gè)單位,圖象向上平移2個(gè)單位,應(yīng)用：化同一個(gè)角同一個(gè)函數(shù),例5：已知,解：,應(yīng)用：化簡求值,例1,化簡：,解:,原式=,練習(xí)題,(1)證明：,化簡得：,解:,解：,應(yīng)用：化簡求值,2、解:,由2+2得:,即,所以,由2 2

32、得:,解:,例15. （06陜西理17）已知函數(shù)f(x) sin(2x )2sin2(x ) (xR) （1）求函數(shù)f(x)的最小正周期； （2）求使函數(shù)f(x)取最大值的x的集合,解：f(x) sin(2x ) 1 cos2(x ) sin(2x ) cos(2x ) 1 2 sin(2x ) 1 函數(shù)f(x)的最小正周期T . 使函數(shù)f(x)取最大值的x的集合為 x|x=k ,k Z ,5、已知f(x)=2sin(x+ )cos(x+ )+2 cos2(x+ )- 。 （1）化簡f(x)的解析式； （2）若0，求，使函數(shù)f(x)為偶函數(shù)。 （3）在（2）成立的條件下，求滿足f(x)=1，x

33、-,的x的集合。 解：(1)f(x)=sin(2x+)+ 2cos2(x+ )-1 =sin(2x+)+ cos(2x+)=2cos(2x+- ) (2)當(dāng)= 時(shí) f(x)為偶函數(shù)。 (3) 2cos2x=1 cos2x= x= 或x=,2、已知函數(shù)f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cosx+a (aR,a常數(shù))。 （1）求函數(shù)f(x)的最小正周期； （2）若x- , 時(shí)，f(x)的最大值為1，求a的值。,解：（1）f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cosx+a = sinx+cosx+a =2sin(x+ )+a f(x)最小正周期T=2,（2）x - , x+ -

34、, f(x)大=2+a a=-1,例3、求函數(shù) 的值域.,解：,又-1sinx1,原函數(shù)的值域?yàn)椋?變題：已知函數(shù) （a為常 數(shù)，且a0），求該函數(shù)的最小值.,當(dāng)-2 0時(shí)，,當(dāng) -2時(shí)，,3、函數(shù)f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值為g(a)(aR)： （1）求g(a)； （2）若g(a)= ，求a及此時(shí)f(x)的最大值。,解：（1）f(x)=2(cosx- )2- 2-2a-1,-1cosx1 當(dāng)-1 1即-2a2時(shí) f(x)小=- 2-a-1,當(dāng) 1 即a2時(shí) f(x)小=f(1)=1-4a,當(dāng) -1 即a-2時(shí) f(x)小=f(-1)=1,（2）a=-1 此時(shí) f(x

35、)=2(cosx+ )2+ f(x)大=5,3、函數(shù)f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值為g(a)(aR)： （1）求g(a)； （2）若g(a)= ，求a及此時(shí)f(x)的最大值。,1、已知a0函數(shù)y=-acos2x- asin2x+2a+b x0, ，若函數(shù)的值域?yàn)?5,1，求常數(shù)a,b的值。,解：,3、函數(shù)f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值為g(a)(aR)： （1）求g(a)； （2）若g(a)= ，求a及此時(shí)f(x)的最大值。,解：（1）f(x)=2(cosx- )2- 2-2a-1,-1cosx1 當(dāng)-1 1即-2a2時(shí) f(x)小=- 2-a-

36、1,當(dāng) 1 即a2時(shí) f(x)小=f(1)=1-4a,當(dāng) -1 即a-2時(shí) f(x)小=f(-1)=1,（2）a=-1 此時(shí) f(x)=2(cosx+ )2+ f(x)大=5,3、函數(shù)f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值為g(a)(aR)： （1）求g(a)； （2）若g(a)= ，求a及此時(shí)f(x)的最大值。,5、已知f(x)=2sin(x+ )cos(x+ )+2 cos2(x+ )- 。 （1）化簡f(x)的解析式； （2）若0，求，使函數(shù)f(x)為偶函數(shù)。 （3）在（2）成立的條件下，求滿足f(x)=1，x-,的x的集合。 解：(1)f(x)=sin(2x+)+ 2c

37、os2(x+ )-1 =sin(2x+)+ cos(2x+)=2cos(2x+- ) (2)當(dāng)= 時(shí) f(x)為偶函數(shù)。 (3) 2cos2x=1 cos2x= x= 或x=,例12.（2006年天津文9）已知函數(shù)f(x)asinxbcosx（a，b為常數(shù)，a0，xR） 在x 處取得最小值， 則函數(shù)yf( x)的對(duì)稱中心坐標(biāo)是_,解：由 (ab) 化簡得ab 所以f(x) asin(x )，a0 從而f( x) asinx， 其對(duì)稱中心坐標(biāo)為(k，0)，kZ.,平 面 向 量 復(fù) 習(xí),向量的三種表示,表示,運(yùn)算,向量加 法與減法,向量的相關(guān)概念,實(shí)數(shù)與 向量 的積,三 角 形 法 則,平行四邊

38、形法則,向量平行、 垂直的條件,平面向量 的基本定理,平 面 向 量,向量的數(shù)量積,向量的應(yīng)用,幾何表示,: 有向線段,向量的表示,字母表示,坐標(biāo)表示,: (x，y),若 A(x1,y1), B(x2,y2),則 AB =,(x2 x1 , y2 y1),返回,1.向量的概念: 2.向量的表示: 3.零向量: 4.單位向量: 5.平行向量: 6.相等向量: 7.共線向量:,既有大小又有方向的量,1.有向線段 2.字母 3.有向線段起點(diǎn)和終點(diǎn)字母,長度為零的向量(零向量與任意向量都平行,長度為1個(gè)單位的向量,1.方向相同或相反的非零向量 2.零向量與任一向量平行,長度相等且方向相同的向量,平行向量就是共線向量,向量的模（長度）,1. 設(shè) a = ( x , y ),則,2. 若表示向量 a 的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別 為A(x1,y1)、B (x2,y2) ，則,返回,例1：思考下列問題：,1、下列命題正確的是 （1）共線向量都相等 （2）單位向量都相等 （3）平行向量不一定是共線向量 （4）零向量與任一向量平行,四、例題,一、第一層次知識(shí)回顧：,1.向量的加法運(yùn)算,三角形法則,平行四邊形法則,“首尾相接首尾連”,2.向量的減法運(yùn)算,設(shè) 則,思考