1、第五章 留數(shù)（殘數(shù)）,第一節(jié) 孤立奇點,第二節(jié) 留數(shù),第三節(jié) 留數(shù)在定積分計算上的應(yīng)用,第四節(jié) 對數(shù)留數(shù)與輻角原理,留數(shù)理論是Cauchy積分理論的繼續(xù)，在復(fù)變函數(shù)論中及實際應(yīng)用中都很重要。留數(shù)的概念是在計算函數(shù)沿繞“孤立奇點”圓域的復(fù)積分引出的，從而和計算考察圍線積分的問題密切相關(guān)。,第一節(jié) 孤立奇點,1.定義:,解:,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,解:,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,2.孤立奇點的分類,定義:(1)可去奇點:,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,特性:,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,2）極點,特性:,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,3）本性奇點,3.綜上論述，有下列奇點判別方法,第 一 節(jié)

2、孤 立 奇 點,證明:,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,證:,證:,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,證:,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,例2 求下列各函數(shù)的奇點，并判別類型.,解:,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,解:,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,解:,解:,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,解:,補充定理:,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,4.零點與極點的關(guān)系:,定義:,解:,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,解:,解:,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,定理1.,證明:,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,解:,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,解:,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,定理

3、2. 極點與零點的關(guān)系,證明:,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,解:,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,5.函數(shù)在無窮遠點的性態(tài),定義:,注:,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,規(guī)定:,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,此外，與有限奇點類似:,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,例8 討論下列函數(shù)在擴充復(fù)平面內(nèi)的奇點，并判別,解:,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,類型.,解:,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,解:,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,解:,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,第 一 節(jié) 孤 立

4、 奇 點,解:,第 一 節(jié) 孤 立 奇 點,第二節(jié) 留數(shù)（或殘數(shù) Residue）,1.定義:,第 二 節(jié) 留 數(shù),注:,例1 求下列各函數(shù)在孤立奇點的留數(shù),第 二 節(jié) 留 數(shù),解:,第 二 節(jié) 留 數(shù),定理1（留數(shù)定理）:,第 二 節(jié) 留 數(shù),證明:,第 二 節(jié) 留 數(shù),2. 留數(shù)的計算方法,規(guī)則I:,第 二 節(jié) 留 數(shù),證明:,第 二 節(jié) 留 數(shù),規(guī)則II:,證明:,第 二 節(jié) 留 數(shù),注:,第 二 節(jié) 留 數(shù),例2 求下列各函數(shù)在有限奇點處的留數(shù),解:,第 二 節(jié) 留 數(shù),第 二 節(jié) 留 數(shù),第 二 節(jié) 留 數(shù),規(guī)則III:,證明:,第 二 節(jié) 留 數(shù),例3 計算下列積分.,解:,第 二

5、 節(jié) 留 數(shù),解:,第 二 節(jié) 留 數(shù),解:,第 二 節(jié) 留 數(shù),3. 無窮遠點的留數(shù),定義:,第 二 節(jié) 留 數(shù),C,定理2（擴充復(fù)平面內(nèi)的留數(shù)定理）:,第 二 節(jié) 留 數(shù),注:,證明:,第 二 節(jié) 留 數(shù),規(guī)則IV:,解:,第 二 節(jié) 留 數(shù),第 二 節(jié) 留 數(shù),解:,第 二 節(jié) 留 數(shù),解:,第 二 節(jié) 留 數(shù),第三節(jié) 留數(shù)在定積分計算中的應(yīng)用,本節(jié)介紹利用留數(shù)計算幾種特殊類型的定積分.,解法:,第 三 節(jié) 留 數(shù) 在 定 積 分 計 算 中 的 應(yīng) 用,第 三 節(jié) 留 數(shù) 在 定 積 分 計 算 中 的 應(yīng) 用,解:,第 三 節(jié) 留 數(shù) 在 定 積 分 計 算 中 的 應(yīng) 用,注:,第 三 節(jié) 留 數(shù) 在 定 積 分 計 算 中 的 應(yīng) 用,解:,第 三 節(jié) 留 數(shù) 在 定 積 分 計 算 中 的 應(yīng) 用,若用萬能代換計算較繁.,另解:,第 三 節(jié) 留 數(shù) 在 定 積 分 計 算 中 的 應(yīng) 用,條件:,第 三 節(jié) 留 數(shù) 在 定 積 分 計 算 中 的 應(yīng) 用,解法:,第 三 節(jié) 留 數(shù) 在 定 積 分 計 算 中 的 應(yīng) 用,解:,第 三 節(jié) 留 數(shù) 在 定 積 分 計 算 中 的 應(yīng) 用,條件:,解法:,第 三 節(jié)