1、2,1,線性代數(shù)第7講,分塊矩陣,2,2,把一個5階矩陣,用水平和垂直的虛線分成4塊.,2,3,把一個mn矩陣A, 在行的方向上分成s塊, 在列的方向分成t塊, 稱為A的st分塊矩陣, 記作A=Aklst, 其中Akt(k=1,2,.,s,l=1,2,.,t)稱為A的子塊, 它們是各種類型的小矩陣.常用的分塊矩陣, 除了上面的4塊矩陣, 還有以下幾種形式:,2,4,按行分塊,2,5,按列分塊,2,6,當(dāng)n階矩陣C中非零元素都集中在主對角線附近, 有時可以分塊成對角塊矩陣(準(zhǔn)對角矩陣),其中Ci是ri階方陣(i=1,2,.,m; r1+r2+.+rm=n),2,7,例如,2,8,下面討論分塊矩陣

2、的運(yùn)算1. 分塊矩陣的加法設(shè)分塊矩陣A=Aklst, B=Bklst, 如果A與B對應(yīng)的子塊Akl和Bkl都是同型矩陣, 則A+B=Akl+Bklst例如,其中A11與B11, A12與B12, A21與B21, A22與B22分別都是同型小矩陣(子塊).,2,9,2. 分塊矩陣的數(shù)量乘法設(shè)分塊矩陣A=Aklst, h是一個數(shù), 則hA=hAklst.,2,10,3. 分塊矩陣的乘法 設(shè)A是mn矩陣, B是np矩陣, 如A分塊為rs分塊矩陣Aklrs, B分塊為st分塊矩陣Bklst, 且A的列的分塊法和B的行的分塊法完全相同, 則,2,11,可以證明(但略去), 用分塊乘法求得的AB與不分塊

3、作乘法求得的AB是相等的.,2,12,例1 將下列5階矩陣A,B分成4塊陣, 并用分塊矩陣的乘法計(jì)算AB.,2,13,解 由觀察, 可將A分成如下4塊陣,2,14,將B分塊為,2,15,則,2,16,故,2,17,例2 設(shè)A是mn矩陣, B是ns矩陣, B按列分塊成1s分塊矩陣, 將A看成11分塊矩陣, 則 AB=AB1,B2,.,Bs=AB1,AB2,.,ABs.若已知AB=0, 則顯然有ABi=0, i=1,2,.,n. 因此, B的每一列都是線性方程組Ax=0的解.,2,18,例3 若n階矩陣C,D可以分塊成同型對角塊矩陣, 即,其中Ci和Di是同階方陣(i=1,2,.,m), 則,2,

4、19,例4 證明:若n階上三角矩陣A可逆, 則其逆A-1也是上三角陣.證 對n作數(shù)學(xué)歸納法, n=1時, a-1=1/a, 結(jié)論成立.(一階矩陣可認(rèn)為是上三角矩陣).假設(shè)命題對n-1階可逆上三角陣成立, 考慮n階情況, 設(shè),2,20,其中A1是n-1階可逆的上三角陣. 設(shè)A的逆矩陣為,則,2,21,于是: A1g=O=g=A-1O=OA1B1=In-1=B1=A1-1, 根據(jù)歸納假設(shè), B1是n-1階上三角矩陣, 因此,是上三角矩陣(其中b11=a11-1; b=-a11-1aA1-1).,2,22,4. 分塊矩陣的轉(zhuǎn)置,2,23,5. 可逆分塊矩陣的逆矩陣對角塊矩陣(準(zhǔn)對角矩陣),的行列式為

5、|A|=|A1|A2|.|Am|, 因此, 對角塊矩陣A可逆的充要條件為|Ai|0 i=1,2,.,m, 這時,2,24,例5,解 |A|=|B|D|0, A可逆. 設(shè),其中X與B, T與D分別是同階方陣, 于是由,2,25,BX=I1, 故 X=B-1.BY=O, 故 Y=B-1O=O.CX+DZ=O, 故 DZ=-CX=-CB-1,Z=-D-1CB-1.CY+DT=I2,故 DT=I2, T=D-1.所以,2,26,例如,2,27,則,2,28,6. 分塊矩陣的初等變換與分塊初等陣這里僅就22分塊矩陣為例來討論. 對于分塊矩陣,可以同樣定義它的三種初等行變換和列變換, 并相應(yīng)地定義三類分塊初等矩陣: (i) 分塊倍乘陣(C1,C2是可逆陣),2,29,(ii) 分塊倍加陣,(iii)分塊對換陣,分塊初等矩陣是方陣, 它們左乘(或右乘)分塊矩陣A(不一定是方陣), 在保證可乘的情況下, 其作用與前述初等矩陣相同.,2,30,例6 設(shè)n階矩陣A分塊表示為,解 先對分塊陣A作初等變換, 將其化為上三角塊矩陣, 為此左乘分塊倍加陣,其中I1,I2為單位陣, 其階數(shù)分別與A11,A22相同.,2,31,于是,2,32,為求A-1, 將B化為