1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題四解答習(xí)題四解答 3. 利用定理 2 的結(jié)論計(jì)算 2分布的期望與方差。 解：設(shè)隨機(jī)變量，由定理 2 知， )( 2 ny, )()(, )()( 1 2 1 2 = = n i i n i i xdydxeye 其中xi為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且ninxi, 2 , 1),1 , 0(l=.于是 1 2 1 2 1 2 1 )( 222 22 222 = = + + + dxexedxexxe xxx i 所以 nye=)(. 又 1 2 1 )()()( 2 42242 2 = + dxexxexexd x iii 2131)(31 2 3 2 1 2

2、2 2 2 3 22 = = + + i xx xedxe x ex ， 所以 . nyd2)(= 解二：. nxexdxeye n i n i ii n i i =+= =11 2 1 2 01 )()()()( 4.試證明定理 5. 證：因?yàn)椋杂啥ɡ?1 得：),( 2 nx) 1 , 0( / n n x .再由定理 4 得： ) 1() 1( ) 1( / 2 2 ntn sn n x 即： ) 1( / )( nt ns x . 6.設(shè)總體),(x試求)()( 2 sexd及. 解：因?yàn)?,(x 所以=)(,)(xdxe.于是 n n xd n x n dxd n i n i i

3、 n i i = = =1 2 1 2 1 1 )( 11 )( = = = = )()( 1 1 1 1 )( 1 1 )( 2 1 2 2 1 2 1 22 xnexe n xnxe n xx n ese n i i n i i n i i = = + = + = = )( 1 1 1 1 )()()()( 1 1 22 2 1 2 n nn nnn n xexdnxexd n n i ii 7. 設(shè)總體x在0，b上服從均勻分布，b 未知。試就樣本值(1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1)，求 b，及及的矩估計(jì)值。 )(xe)(xd 解：2 . 1) 1 . 13 . 02 .

4、27 . 16 . 03 . 1 ( 6 1 =+=x. 2 )(, 0 b xebx=的均勻分布，q. 令2 . 1)( 4 . 2 2 . 1 2 =xeb b 得 又 ),()()( 22 xexexd= 14. 02 . 1)1 . 13 . 02 . 27 . 16 . 03 . 1 ( 6 1 )( 2222222 +=xd所以. 8. 已知總體x在a, b上服從均勻分布，a, b 未知，是一個(gè)樣本，試求 a, b 的 極大似然估計(jì)量。 ),( 21n xxxl 分析：x 的概率密度為 = 其它, 0 , 1 )( bxa ab xf， 似然函數(shù)為, )( 1 ),( n ab b

5、al = nixi, 2 , 1, 21 l= ，)ln(),(lnabnbal=. 顯然 = = = = 0 ),(ln 0 ),(ln ab n b bal ab n a bal 無解。由此不能求得 a, b 的極大似然估計(jì)量。 解：x 的概率密度為 = 其它, 0 , 1 )( bxa ab xf， 似然函數(shù)為, )( 1 ),( n ab bal = nixi, 2 , 1, 21 l= ， 對于給定的樣本值，現(xiàn)在要求出使得),( 21n xxxl n ab bal )( 1 ),( =最大的 a, b 的值。 ）盡可能地小，最大，則應(yīng)使（欲使abbal),(而相對于給定的樣本值來說，

6、),( 21n xxxl 對于，若將 xbxai i 有, 1,x2,xn 按由小到大重新排序，記為 ，則a, b必須滿足的是，故a, b的極大似然估計(jì)值應(yīng)取為 * 2 * 1n xxxl bxxxa n * 2 * 1 l . = = max min * * 1 i i n i i xxb xxa 9. 給定一個(gè)容量為n的樣本(x1, x2,， xn),試用極大似然估計(jì)法估計(jì)總體的未知參數(shù)， 設(shè)總體 的概率密度為 （1） = 0, 0 0, )( x xe xf x （3） = 0, 0 , 0,)( )( 1 x xex xf x 已知 解： （1）似然函數(shù)為， = = += n i i

7、n i i n n i i xnlxxl 11 1 1 1 ) 1(ln)(ln,)( 令 = = =+= n i i n i i x n x n l d d 1 1 , 0)(ln 的極大似然估計(jì)量為：得 （ 2 ） 似 然 函 數(shù) 為， = = = = n i i x n n i x xnleel n i i i 11 ln)(ln,)( 1 = = = n i i n i i x n x n l d d 1 1 , 0)(ln 的極大似然估計(jì)量為：得 （3）似然函數(shù)為 ,)()( 1 1 1 1 1 = = = = n i i x n n i x i xeexl n i i i ）（ =

8、 += n i i n i i xxnnl 11 ) 1(lnln)(ln = = = n i i n i i x n x n l d d 1 1 , 0)(ln 的極大似然估計(jì)量為：得 10設(shè)(x1, x2,，xn)為)(的一個(gè)樣本。試證 （1）樣本方差s2是的無偏估計(jì)。 （2）對任一， 2 )1 (, 10sx+也是的無偏估計(jì)。 解： （1）因?yàn)?= = = 2 1 2 1 22 1 1 )( 1 1 )(xnxe n xx n ese n i i n i i + = = = n i ii n i i xexdnxexd n xnexe n 1 222 1 2 )()()()( 1 1 )

9、()( 1 1 = = + = = n nn n n n i 1 1 )( 1 1 2 1 2 所以s2是的無偏估計(jì)。 （2）因?yàn)閤與s2均是無偏估計(jì)，所以=)(,)( 2 xsxe，故 =+=+=+)1 ()()1 ()()1 ( 22 sexesxe 于是對任一， 2 )1 (, 10sx+也是的無偏估計(jì)。 11對方差為已知的正態(tài)總體來說，需抽取容量 n 為多大的樣本，才能使總體均值 2 的置 信度為)1 (的置信區(qū)間的長度不大于給定的正數(shù) l？ 解：因方差為已知，由 2 ) 1 , 0( / n n x u =得： = 1 / 22 z n x zp 所以的置信度為)1 (的置信區(qū)間的長

10、度為 n z 2 2 ，要使 n z 2 2 l z n . 12. 已知樣本值為 (3.3,-0.3,-0.6,-0.9 )，求 （1）當(dāng) =3 時(shí)，正態(tài)總體均值 的 95%的置信區(qū)間； （2）當(dāng) 未知時(shí)，正態(tài)總體均值 的 95%的置信區(qū)間。 解：965. 1375. 0=sx （1）當(dāng) =3 時(shí)，由) 1 , 0( 2/3 / n x n x u = =，所以 95. 096. 1 2/3 96. 195. 0 2/3 22 = = x pz x zp 故，正態(tài)總體均值 的 95%的置信區(qū)間為)94. 2,94. 2(+xx 代入樣本值得正態(tài)總體均值 的 95%的置信區(qū)間為（-2.565，

11、3.315） 。 （2）當(dāng) 未知時(shí)，由)3( 2/ ) 1( / t s x tnt ns x t = =即，所以 95. 01824. 3 2/ 1824. 395. 0) 3( 2/ ) 3( 22 = = s x pt s x tp 故正態(tài)總體均值 的 95%的置信區(qū)間為)5912. 1,5912. 1(sxsx+ 代入樣本值得正態(tài)總體均值 的 95%的置信區(qū)間為（-2.751，3.501） 。 13. 隨機(jī)地從某廠所生產(chǎn)的兩批同種產(chǎn)品中分別抽查，獲得質(zhì)量指標(biāo)的數(shù)據(jù)如下： a 批: 0.143, 0.142, 0.143, 0.137 b 批:0.140, 0.142, 0.136, 0

12、.138, 0.140 設(shè)測試的數(shù)據(jù)分別服從和，且相互獨(dú)立，未知。試求),( 2 1 n),( 2 2 n 2 21 的 95% 的置信區(qū)間，并說明是否可以認(rèn)為這兩批產(chǎn)品的質(zhì)量上有明顯差異？ 解： 由 )7( 7 43 20 9 )()( )2( 11 )()( 2 2 2 1 21 21 21 21 t ss yx nnt nn s yx + + + 即得： 95. 0)7( 7 43 20 9 )()( )7( 2 05. 0 2 2 2 1 21 2 05. 0 = + t ss yx tp 故 21 的 95%的置信區(qū)間為 + + + 7 43 20 9 3646. 2)(, 7 43

13、 20 9 3646. 2)( 2 2 2 1 2 2 2 1 ss yx ss yx 代入樣本值0023. 01392. 00029. 01413. 0 21 =sysx得： 21 的 95%的置信區(qū)間 為（-0.002，0.006）. 14. 現(xiàn)有某種型號電子管的容量為 100 的樣本，其壽命的樣本標(biāo)準(zhǔn)差45=s。試給出這批電子 管壽命總體（設(shè)為正態(tài)總體）標(biāo)準(zhǔn)差的 95%置信區(qū)間。 解：由) 1( ) 1( 2 2 2 =n sn k ，知95. 0) 1( ) 1( ) 1( 2 2 2 2 2 2 1 = n sn np ， 即 95. 0 ) 1( ) 1( ) 1( ) 1( 2

14、2 1 2 2 2 2 2 = n sn n sn p 因?yàn)?5. 0,45,100=sn，12811002 2 1 )99( 2 2 05. 0 2 2 05. 0 = +z， 96.7211002 2 1 )99( 2 2 05. 0 1 2 2 05. 0 1 = + z，代入不等式 ) 1( ) 1( ) 1( ) 1( 2 2 1 2 2 2 2 2 n sn n sn 得的 95%置信區(qū)間為(1566.21,2747.74), 從而標(biāo)準(zhǔn)差 2 的 95%置信區(qū)間(39.58,52.42)。 15. 今為檢查兩工人生產(chǎn)技能的穩(wěn)定性， 從其在某天里所出產(chǎn)品中分別抽取容量為 25 和 15 的 兩個(gè)樣本，求得樣本方差分別為。設(shè)兩樣本均來自正態(tài)總體，試求方差 比 15. 5, 4 . 2 2 2 2 1 =ss 2 2 2 1 的 90%置信區(qū)間，并說明能否確認(rèn)他們倆人在生產(chǎn)水平的穩(wěn)定性方面有明顯差異？ 解： 1 . 0,15. 5, 4 . 2,15,25 2 2 2 121 =ssnn 由) 115, 125( 2 2 2 1 2 2 2 1 =f ss f