1、,第六部分定積分的應(yīng)用,習(xí)題課,一. 基本要求： 1.深刻理解定積分的基本思想，熟練運用公式計算平面圖形的面積、 平行截面面積已知的立體體積、旋轉(zhuǎn)體體積和側(cè)面積、曲線弧長等。 2.初步掌握運用“元素法”解決物理、力學(xué)及應(yīng)用中的某些問題。 二. 重點、難點與例子（共11例）. 1. 幾何應(yīng)用方面： (1) 求面積 (2) 求體積 (3) 求弧長 (4) 求側(cè)面積 2. 物理應(yīng)用方面： (1) 求平行力作功 (2) 求壓力 3. 定積分其他應(yīng)用: (1)求函數(shù)平均值 (2) 實際問題 三. 課堂練習(xí)(共7題) 四. 綜合題(共3題) 綜合題解答,第六部分 定積分的應(yīng)用,一. 基本要求,(1) 因為

2、平面圖形都是由曲邊梯形或曲邊扇形組成，所以定積分能 解決任意（邊界是已知函數(shù)的）平面圖形求面積的問題。 (2) 由于定積分是一維的積分，所以只能解決截面面積已知的立體 求體積問題。 旋轉(zhuǎn)體是其中一種，所以各種旋轉(zhuǎn)體的體積問題基本可以解決。 一般立體的求體積問題以后用二重積分或三重積分可以解決。 (3) 利用弧微分（在局部，用切線長 ds 近似曲線長 s），可以解 決任意平面曲線（曲線函數(shù)已知）求弧長的問題。 一般空間曲線的求弧長問題以后用第一型曲線積分可以解決。 (4) 通過弧微分，求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積問題也可以用定積分解決。 求一般曲面的面積問題以后用第一型曲面積分可以解決。,1. 定積分的幾何

3、應(yīng)用,2. 元素法,(1) 怎樣的量 U 可以用定積分計算？,1o 量 U 與給定區(qū)間a, b有關(guān)；,2o 量 U 對區(qū)間a, b具有可加性.,(2) 計算步驟：,1o 根據(jù)實際問題，選取坐標(biāo)系、積分變量和積分區(qū)間a, b ；,2o x a, b,求小區(qū)間x, x+dx上的部分量 dU ; 稱 dU= f (x)dx為元素 .,(3) 計算中的關(guān)鍵和難點：,找到 f (x) .,f (x)的表示式與選擇的坐標(biāo)系有關(guān)。,3o,S,.,.,.,(1) 求面積,S,直角坐標(biāo)系,極坐標(biāo)系,邊界 函數(shù),圖形,面積公式,y=f(x),x = (y), = ( ),S,a,b,x = a, x = b, y

4、 = 0,y = c, y = d, x = 0, = , =,二. 重點、難點與例子. 1. 幾何應(yīng)用方面,例 1.,解：,3,1,3,先畫圖.,S1,S2,2,.,需分塊兒！,1,例 2,2,1,解：,先畫圖.,用極坐標(biāo)：,.,r = 4 cos,.,還有別的方法嗎？,方法 I.,例,2,1,解：,方法 II.,用初等方法求圖示部分：,.,2,例 3,解：,a,a,a,a,.,(2) 求體積,1o 已知平行截面面積為A(x)的立體體積,2o 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積,x,A(x),x,b,a,曲邊梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 繞 x 軸,f(x),b,x,a,.,.,3o

5、 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積,x=g(y),c,d,.,.,4o 用柱殼法求繞 y 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積,曲邊梯形 y= f (x), x = a, x = b, y = 0 繞 y 軸.,a,f (x),.,如下例：,b,2a,例4：用柱殼法求旋轉(zhuǎn)體體積.,a,解：,由柱殼法的公式：,.,.,.,分塊兒求,怎么分？,S1,S2,1,顯然柱殼法簡便。,a,b,y = f (x),(),(),.,(3) 求弧長,.,.,(a b ),( ),( ),例 5,解：,先作圖 .,圖形關(guān)于 y 軸對稱.,.,1,1,C,B,A,得A(1,1), B(1,1),.,.,例 6,解：,.,曲線 y= f (

6、x) 繞 x 軸旋轉(zhuǎn),.,(4) 求旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積 A .,.,曲線繞 y 軸旋轉(zhuǎn)有類似的結(jié)果。,b,ba,解：,曲線用極坐標(biāo)：,例 7,由已知公式：,.,平行力：指大小變而方向不變的力。 一般變力（大小、方向都變）的作功問題用第二型 曲線積分解決。,2. 物理應(yīng)用方面,x,F(x),a,b,0,.,一般情況下，力函數(shù)F(x)需要自己尋找。,如下例：,解法 I：,選擇圖示坐標(biāo)系.,例8.,.,x,y,2米,1,0,x,x+dx,上所消耗的功近似地為：,= 9.8,= 9.8,W = 9.8,.,將這薄層水抽到地面,解法 II：,選擇圖示坐標(biāo)系.,例8,.,y,x,2米,1,0,y,y+dy,將這

7、薄層水抽到地面上所消耗的功 近似地為：,= 9.8 ,= 9.8,W = 9.8,解法 III：,選擇圖示坐標(biāo)系.,.,.,y,x,2米,1,0,y,y+dy,將這薄層水抽到地面上所消耗的功 近似地為：,顯然，選擇方法 I和方法 II的坐標(biāo)系計算功比用方法 III簡便一些.,例8,=9.8,=9.8,W = 9.8,(2) 求壓力,比如，求水對閘門的壓力。壓力在不同深度是不同 的。水對閘門的總壓力等于閘門在不同深度處所受壓力 之總和。因此，可以用定積分求壓力。 那么，如何求垂直豎立的一塊面積所受的壓力呢？ 由物理學(xué)中“帕斯卡定律”：在同一深度，液體在各 個方向產(chǎn)生同樣的壓強。因此，垂直豎立的一

8、塊面積所 受的壓力等于把此塊面積水平放置在同一深度所受的壓 力，即此塊水平面積上承受的液體重量。 看下例：,例 9,解：,選擇圖示坐標(biāo)系.,x,o,y,a,h,x+dx,x,先求這一薄層的長 b :,這一薄層的面積約為:,所以這一薄層受的水壓力約為:,.,a,b,f (x),3. 定積分其他應(yīng)用：,.,.,解：,.,解：,.,(2) 需要用元素法解決的實際問題,2,r,0,dr,三. 課堂練習(xí),5.,四. 綜合練習(xí)題,1,1,a,謝 謝 使 用,返回首頁,習(xí)題課,.,三. 課堂練習(xí)解答,= 4,解：,2.,.,1,2,2,1,解：,曲線有漸近線： y = 0 .,= 2,3.,解：,由對稱性,.,.,4.,解：,這是一條雙曲螺線.,由弧長公式.,.,5.,解：,1,2,1,x,把 x 坐標(biāo)軸平移至 y = 1處.,體積：,