1、第3講：等差數(shù)列求和德國著名數(shù)學(xué)家高斯幼年時代聰明過人，上學(xué)時，有一天老師出了一道題讓同學(xué)們計算：123499100？老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計算，小高斯卻很快算出答案等于5050。高斯為什么算得又快又準(zhǔn)呢？原來小高斯通過細(xì)心觀察發(fā)現(xiàn)：110029939849525051。 1100正好可以分成這樣的50對數(shù)，每對數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為（1+100）10025050。 小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問題。若干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列的第一個數(shù)（第一項）叫首項，最后一個數(shù)（最后一項）叫末項，如果一個數(shù)列從第二項起，每

2、一項與前一項的差是一個不變的數(shù)，這樣的數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個不變的數(shù)則稱為這個數(shù)列的公差。計算等差數(shù)列的和，可以用以下關(guān)系式：等差數(shù)列的和（首項末項）項數(shù)2末項首項公差（項數(shù)1）項數(shù)（末項首項）公差1 例1：計算下列數(shù)列的和（1）1，2，3，4，5，100；（2）8，15，22，29，36，71。其中（1）是首項為1，末項為100，公差為1的等差數(shù)列；（2） 是首項為8，末項為71，公差為7的等差數(shù)列。由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式：和=（首項+末項）項數(shù)2隨堂小練：計算等差數(shù)列1，3，5，7，9，99的和例2：計算下面數(shù)列的和1231999分析：這串加數(shù)1，2，3，1999是等差數(shù)

3、列，首項是1，末項是1999，共有1999個數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得解：原式=（11999）199921999000注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。例3：計算下面數(shù)列的和11121331分析：這串加數(shù)11，12，13，31是等差數(shù)列，首項是11，末項是31，共有31-11121（項）。解：原式=（11+31）212=441在利用等差數(shù)列求和公式時，有時項數(shù)并不是一目了然的，這時就需要先求出項數(shù)。根據(jù)首項、末項、公差的關(guān)系，可以得到項數(shù)=（末項-首項）公差+1，末項=首項+公差（項數(shù)-1）。例4：計算下面數(shù)列的和371199分析：3，7，11，99是

4、公差為4的等差數(shù)列，項數(shù)=（993）4125解：原式=（399）2521275例5：求首項是25，公差是3的等差數(shù)列的前40項的和。解：末項=253（40-1）142，和=（25142）4023340。利用等差數(shù)列求和公式及求項數(shù)和末項的公式，也可以解決各種與等差數(shù)列求和有關(guān)的問題。隨堂小練：（1）求等差數(shù)列：1、3、5、7、9它的第21項是多少?（2） 求等差數(shù)列：2、6、10、14、18它的第60項是多少?例6：已知數(shù)列2、5、8、11、1435，這個數(shù)列共有多少項？分析：第2項比首項多1個公差，第3項比首項多2個公差，第4項比首項多3個公差，那第n項比首項多（n-1)個公差?？筛鶕?jù)，項數(shù)

5、=（末項首項）公差+1進(jìn)行計算，（35-2）3+1=12。所以，這個數(shù)列共有12項。由此可知：項數(shù)=（末項首項）公差+1隨堂小練：（1） 有一個等差數(shù)列：1、3、5、7、999，這個等差數(shù)列共有多少項？（2） 有一個等差數(shù)列：2、5、8、11101，這個等差數(shù)列共有多少項？例7：在下圖中，每個最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長是1根火柴棍。 問：（1）最大三角形的面積是多少平方厘米？（2）整個圖形由多少根火柴棍擺成？分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時，每層的小三角形數(shù)目為1、3、5、7、9等，由此可知，各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列，各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)列。解：（1）最大三角形面積為（

6、13515）12（115）8212768（平方厘米）2）火柴棍的數(shù)目為369+24（324）82=108（根）。答：最大三角形的面積是768厘米2，整個圖形由108根火柴擺成。例8：盒子里放有三只乒乓球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時盒子里共有多少只乒乓球？分析：一只球變成3只球，實際上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了22只球第十次多了210只球。因此拿了十次后，多了21222102（1210）255110（只）。加上原有的3只

7、球，盒子里共有球1103113（只）。解：綜合列式為：（3-1）（1210）32（110）1023113（只）課后練習(xí)：1、求下列等差數(shù)列的和。（1）67897475（2）261014122126（3）1234200720082、 有一個數(shù)列，4、10、16、2252，這個數(shù)列有多少項？3、 一個等差數(shù)列，首項是3，公差是2，項數(shù)是10。它的末項是多少？4、 求等差數(shù)列1、4、7、10，這個等差數(shù)列的第30項是多少？5、 有一個數(shù)列：6、10、14、18、22，這個數(shù)列前100項的和是多少？6、 在等差數(shù)列1、5、9、13、17401中，401是第幾項？第50項是多少？7、 求199個連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字的和。8已知等