1、第四章 態(tài)和力學(xué)量表象,1 態(tài)的表象,到目前為止，體系的狀態(tài)基本上都用坐標(biāo)(x,y,z)的函數(shù)表示，也就是說描寫狀態(tài)的波函數(shù)是坐標(biāo)的函數(shù)。力學(xué)量則用作用于坐標(biāo)函數(shù)的算符表示。但是這種描述方式在量子力學(xué)中并不是唯一的，這正如幾何學(xué)中選用坐標(biāo)系不是唯一的一樣。坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系等，但它們對空間的描寫是完全是等價的。,波函數(shù)也可以選用其它變量的函數(shù)，力學(xué)量則相應(yīng)的表示為作用于這種函數(shù)上的算符。,表象：量子力學(xué)中態(tài)函數(shù)（波函數(shù)）和力學(xué)量算符的具體表示方式稱為表象。以前采用的是坐標(biāo)表象，下面我們要介紹其他表象。,在坐標(biāo)表象中，體系的狀態(tài)用波函數(shù)(x,t)描寫，這樣一個態(tài)如何用動量為變

2、量的波函數(shù)描寫在前面幾章中已經(jīng)有所介紹。,動量本征函數(shù)：,組成完備系，任一狀態(tài)可按其展開,展開系數(shù),（一）動量表象,假設(shè) (x,t) 是歸一化波函數(shù)，則 C(p,t) 也是歸一化。,C(p,t) 物理意義,(x,t) 與 C(p,t) 一 一 對應(yīng)，描述同一狀態(tài)。 (x,t)是該狀態(tài)在坐標(biāo)表象中的波函數(shù)； 而 C(p,t)就是該狀態(tài)在動量表象中的波函數(shù)。,若(x,t)描寫的態(tài)是具有確定動量 的自由粒子狀態(tài)，即平面波：,則相應(yīng)動量表象中的波函數(shù)：,所以，在動量表象中，具有確定動量 的粒子的波函數(shù)是以動量 p為變量的函數(shù)。 換言之，動量本征函數(shù)在自身表象中是一 個函數(shù)。,展開式,同理，坐標(biāo)本征函數(shù)

3、在自身表象下其實(shí)就是函數(shù) 這可以有如下的本征值方程來證明：,（二）力學(xué)量表象,推廣上述討論：,x, p都是力學(xué)量，分別對應(yīng)有坐標(biāo)表象和動量表象，,因此可以對任何力學(xué)量Q都建立一種表象，稱為力學(xué)量 Q 表象。,根據(jù)量子力學(xué)基本假定，當(dāng)粒子處于狀態(tài) 時，坐標(biāo)位置確定，為,其實(shí)這個問題，自上一章討論波函數(shù)展開系數(shù)的物理意義時已經(jīng)有所提及。,我們將分兩種情況回答這個問題 （1）具有分立本征值的情況 （2）含有連續(xù)本征值情況,設(shè)算符Q的本征值為：Q1，Q2, ., Q，.，相應(yīng)本征函數(shù)為：u1(x),u2(x),.,un(x),.。,將(x,t)按Q的本征函數(shù)展開：,若, un都是歸一化的，則 an(t

4、) 也是歸一化的。,（1）分立譜情況,證：,a1(t), a2(t), ., an(t), .就是(x,t)所描寫狀態(tài)在Q表象中的表示。,由此可知，|an|2表示在(x,t)所描述的狀態(tài)中測量Q得到本征值Qn的幾率。,轉(zhuǎn)置共軛矩陣,歸一化可寫為,寫成矩陣形式,注意：這里的 是列矩陣，不是函數(shù),同樣若 , 都是歸一化的，則 也是歸一化的。關(guān)于這個結(jié)論的證明見上一章的講義。,（2）只含有連續(xù)本征值情況,假如力學(xué)量Q的本征值譜只包含連續(xù)譜，本征值為q，對應(yīng)本征函數(shù)為,則任意波函數(shù)按Q的本征函數(shù)展開為,根據(jù)上一章量子力學(xué)基本假定，|aq(t)|2dq 是在(x,t)描述的態(tài)中測量力學(xué)量Q所得結(jié)果在qq

5、+dq之間的概率。,即,展開系數(shù),我們也可以同剛才一樣把狀態(tài)寫成是列矩陣的形式，即,此時轉(zhuǎn)置共軛矩陣為,此時歸一化式也可以寫成為矩陣相乘的形式,注意：這里 被視為列矩陣中的一個元素。只不過因?yàn)閝是連續(xù)的，因此我們不能把每一項(xiàng)元素分開寫成一個明顯的列矩陣形式,這是個元素不能分開的行矩陣,在Q表象中，由 描述的狀態(tài)被表示為,例如動量表象下的波函數(shù)c(p,t)就是這類表示，其實(shí)我們最常使用的坐標(biāo)表象下的波函數(shù) 也屬于這類表示,設(shè)力學(xué)量 Q 的本征值和本征函數(shù)分別為：,Q1, Q2, ., Qn, ., q,u1(x), u2(x), ., un(x), ., uq(x),即本征值譜中既包含了分立部分

6、，又包含有連續(xù)部分,對應(yīng)本征函數(shù)可記為,這時展開系數(shù)為：,例如氫原子能量就是這樣一種力學(xué)量，既有分立也有連續(xù)本征值。,（3）既包含連續(xù)譜，又包含分立譜情況,同樣若 , 都是歸一化的，則展開系數(shù) 也是歸一化的。,|an(t)|2 是在(x,t) 態(tài)中測量力學(xué)量Q所得 結(jié)果為Qn 的幾率；,|aq(t)|2dq 是在(x,t) 態(tài)中 測量力學(xué)量Q所得結(jié)果在qq+dq 之間的幾率。,我們?nèi)钥梢杂靡粋€列矩陣表示：,歸一化仍可表為：,注意在連續(xù)譜部分使用了積分,在Q表象下，由 描述的狀態(tài)被表示為,這些列矩陣一般來說都是無限行的。本章我們統(tǒng)一使用列矩陣形式的波函數(shù)。,（三）討論,同一狀態(tài)可以在不同表象用波

7、函數(shù)描寫，表象不同，波函數(shù)的形式也不同，但是它們描寫同一狀態(tài)。,由該表還可以看到在兩種表象中動量本征方程的形式完全類似，在本章第二三節(jié)我們將看到前面章節(jié)中所提及的所有方程 公式（包括薛定諤方程和各種力學(xué)量算符的本征方程）的形式在不同表象中都是類似的。區(qū)別在于方程里面的波函數(shù)要寫成各自表象下的波函數(shù)，算符要寫成各自表象下的算符。關(guān)于這一點(diǎn)將在下面兩節(jié)闡明。,這類似于一個矢量可以在不同坐標(biāo)系描寫一樣。矢量A在直角坐標(biāo)系由 三分量描述；在球坐標(biāo)系用 三個分量描述。 和 形式不同，但描寫同一矢量A。,列矩陣記法,類 比,狀態(tài)被算符Q正交歸一函數(shù)系 展開,Q表象下的列矩陣表示形式,所以我們可以把狀態(tài)類比

8、成一個矢量態(tài)矢量。選取一個特定力學(xué)量 Q 表象，相當(dāng)于選取特定的坐標(biāo)系。,算符Q 的正交歸一本征函數(shù)系 u1(x),u2(x),.,un(x),.uq(x)是Q表象下的基本矢量簡稱基矢。,a1(t), a2(t), ., an(t),. aq(t)是 Q 表象 的態(tài)矢量沿各基矢方向的分量。,Q表象的基矢有無限多個，所以態(tài)矢量所在的空間是一個無限維的抽象的函數(shù)空間，稱為Hilbert空間。,狀態(tài)在Q表象下的形式叫做Q表象下的波函數(shù),前面所提的Q只是指一個力學(xué)量，事實(shí)上它也可以是一組力學(xué)量。,如果力學(xué)量F，G擁有共同的完備的本征函數(shù)un(x),n=1,2,3，則任意波函數(shù) 可以被其展開為,我們同樣

9、可以把系數(shù)寫為列矩陣形式,被稱為狀態(tài) 在F，G的共同表象下的表示,例： 本征函數(shù) um(x) 在A表象中的矩陣表示。,同樣將 um(x) 按 的本征函數(shù)展開：,顯然：,所以 um(x) 在A表象中的矩陣表示如下：,證明:,假設(shè) (x,t) 是歸一化波函數(shù)，則 C(p,t) 也是歸一。,作 業(yè), 算符的矩陣表示,在上一節(jié)，我們統(tǒng)一使用列矩陣來表示同一個狀態(tài)在不同表象下的形式。歸一化公式被統(tǒng)一的寫成矩陣相乘的形式。下面我們將使用矩陣表示同一個算符在不同表象下的形式。,以下是一個坐標(biāo)表象形式下的方程：,假設(shè)Q只有分立本征值，將, 按Q的正交歸一本征函數(shù)系un(x)展開：,（一）力學(xué)量算符的矩陣表示,

10、兩邊左乘,下面我們來看這個方程在Q表象下的形式,把展開式代入上面的方程,設(shè),可得,兩邊對空間坐標(biāo)取積分,參照矩陣乘法的定義式，這個關(guān)系式可以寫成如下的矩陣形式,對照原來的方程,上面的矩陣形式是從下面的方程推導(dǎo)出來的，因此只要下面的方程成立，則這個矩陣等式必然成立。當(dāng)然上面的矩陣等式成立的話，下面的方程也成立。因此上下兩個關(guān)系是等價的。而且很容易看出這兩個等式具有非常明顯的對應(yīng)性。,因此上面的矩陣等式可以看成是下面方程在Q表象下的形式,以上式子可以簡寫成,=F,矩陣,稱為是算符 在Q表象下的表示,注意矩陣元素的計(jì)算公式,狀態(tài)在Q表象下的列矩陣表示,狀態(tài)在Q表象下的列矩陣表示,算符 在Q表象下的方

11、陣表示,（二）Q表象中力學(xué)量算符 F 的性質(zhì),F矩陣m行n列元素的共軛,F轉(zhuǎn)置矩陣n行m列元素的共軛,這里的矩陣 叫做矩陣F的共軛矩陣。它被定義為矩陣F轉(zhuǎn)置之后再取共軛,下面我們要探討力學(xué)量算符 在Q表象下的矩陣F有什么性質(zhì),算符 是厄米算符,由此可知，矩陣F與它的共軛矩陣相等，這樣的矩陣叫做厄米矩陣。因此，力學(xué)量算符 在Q表象下的矩陣是厄米矩陣。,力學(xué)量算符在自身表象中的形式,結(jié)論： 算符在自身表象中是一對角矩陣，對角元素就是算符的本征值。,由矩陣元公式，我們可按如下方式得到算符 在Q表象下的矩陣形式。注意：這時候,下面我們驗(yàn)證一下這兩個矩陣是厄密矩陣。,例：我們已經(jīng)知道 Lx,Ly在 L2

12、, Lz共同表象中具有如下的矩陣形式（我們只考慮 l =1的情況，即L2具有確定值 此時L2, Lz 共同本征函數(shù)只有Y10，Y1-1，Y11，所有狀態(tài)都可由這三個狀態(tài)展開）,由此我們證明了兩個矩陣確實(shí)是厄密矩陣,如果 Q只有連續(xù)本征值q ，上面的討論仍然適用，只需將u, a, b的角標(biāo)從可數(shù)的 n, m 換成連續(xù)變化的 q，求和換成積分,算符F在Q表象仍是一個矩陣，矩陣元由下式確定：,只是該矩陣的行列是不可數(shù)的，而是用連續(xù)下標(biāo)表示,（三） Q 有連續(xù)本征值的情況,例:求坐標(biāo)表象中算符F的矩陣元,篩選性原理,例： 求動量表象中F的矩陣元,如果Q的本征值既包含分立譜又包含連續(xù)譜，則Q表象中任何表

13、示算符的矩陣既包含可數(shù)的行列，又包含連續(xù)不可數(shù)的行列,3 量子力學(xué)公式的矩陣表述,為簡化起見，本節(jié)我們只舉Q的本征值只構(gòu)成分立譜的例子，其他一般情況結(jié)果類似。,坐標(biāo)表象下的平均值公式,現(xiàn)在我們想知道在Q表象中的平均值公式,我們知道任意波函數(shù)可被Q的本征函數(shù) 展開為如下形式：,代入平均值公式,（一）平均值公式,式右寫成矩陣相乘形式,坐標(biāo)表象下的本征值方程,在上一節(jié)我們已經(jīng)知道，在Q表象中這類方程可直接寫成矩陣的形式,（二）本征方程,把等號式子移到左邊,以上等式其實(shí)是一個齊次線性方程組，未知數(shù)是a1,a2,a3,an,以上方程可以簡寫為,在坐標(biāo)表象下求解本征值方程的問題轉(zhuǎn)換為在某個Q表象下求解線性

14、方程組的問題。只要未知數(shù)a1,a2,a3,an,確定了，狀態(tài)也就確定了。,下面我們討論一下這方程組的求解。,在線性代數(shù)中，我們已經(jīng)知道如上方程組有非平庸解的條件是方程組系數(shù)構(gòu)成的行列式等于零,首先，這個方程組，肯定存在一組解。即未知數(shù)全部為零。這組解在線性代數(shù)中被稱之為平庸解。在物理上，意味著波函數(shù)為常數(shù)零，這是沒有意義的。因此我們把注意力主要放在求非平庸解,補(bǔ)充:行列式：,設(shè)有一方陣B,行列式是一個多元函數(shù)，其自變量是方陣陣列中的所有元素?，F(xiàn)在給出幾個最簡單行列式的求法,如下記法稱為方陣B的行列式,交叉乘再相減,總之，行列式是方陣元素的乘積和式,由于行列式是方陣各項(xiàng)的乘積和式，因此如上的行列

15、式其實(shí)是一個關(guān)于本征值 的冪級數(shù)，即以上等式具有如下的形式,這是一個關(guān)于 （本征值）的高次線性方程，我們稱為久期方程。,由于Fmn都是確定的，因此以上行列式的取值由本征值的 決定。要使行列式等于零，則必然要對 的取值有所限定。因此為了使原來的線性方程組具有非平庸解，我們首先要找到滿足如上等式的本征值 。,只要求出久期方程的根，我們就找到了符合如上行列式等式的本征值,求解此久期方程得到一組值：1,2,.,n, .就是F的本征值。,在這里我們看到了從另一個角度求解本征值的方法。再次強(qiáng)調(diào)一下，這里求得的本征值與前面使用本征值方程求得的本征值是完全相同的。我們只不過是另一表象下求解相同的問題。,將求得的求其方程的根 分別代入原齊次線性方程組,求解以上的方程組，我們就可以得到一組解。即算符 在Q表象下的本征矢量,本征值,此時m只能取-1，0，1。根據(jù)前面的例子，我們已經(jīng)知道L2, Lz的共同本征函數(shù)只有 Y11, Y10, Y1-1.在 L2, Lz 的共同表象中的矩陣形式就特別簡單。即可以記為：,例：求 Lx本征態(tài)在 L2, Lz共同表象中的矩陣表示，只討論(=1