1、2.3平面向量的基本定理及坐標表示23.1平面向量基本定理學習目標1.理解平面向量基本定理的內容，了解向量的一組基底的含義.2.在平面內，當一組基底選定后，會用這組基底來表示其他向量.3.會應用平面向量基本定理解決有關平面向量的綜合問題知識點一平面向量基本定理思考1如果e1，e2是兩個不共線的確定向量，那么與e1，e2在同一平面內的任一向量a能否用e1，e2表示？依據(jù)是什么？答案能依據(jù)是數(shù)乘向量和平行四邊形法則思考2如果e1，e2是共線向量，那么向量a能否用e1，e2表示？為什么？答案不一定，當a與e1共線時可以表示，否則不能表示梳理(1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共

2、線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2.(2)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底知識點二兩向量的夾角與垂直思考1平面中的任意兩個向量都可以平移至起點，它們存在夾角嗎？若存在，向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？答案存在夾角，不一樣思考2ABC為正三角形，設a，b，則向量a與b的夾角是多少？答案如圖，延長AB至點D，使ABBD，則a，ABC為等邊三角形，ABC60，則CBD120，故向量a與b的夾角為120.梳理(1)夾角：已知兩個非零向量a和b，作a，b，則AOB(0180)叫做向量a與b的夾角(如圖所示)當0時，a與b同向；當

3、180時，a與b反向(2)垂直：如果a與b的夾角是90，則稱a與b垂直，記作ab.1平面內任意兩個向量都可以作為平面內所有向量的一組基底()提示只有不共線的兩個向量才可以作為基底2零向量可以作為基向量()提示由于0和任意向量共線，故不可作為基向量3平面向量基本定理中基底的選取是唯一的()提示基底的選取不是唯一的，不共線的兩個向量都可作為基底.類型一對基底概念的理解例1(2020衡水高一檢測)設e1，e2是平面內所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的是()Ae1e2和e1e2B3e14e2和6e18e2Ce12e2和2e1e2De1和e1e2考點平面向量基本定理題點基底的判定答案B

4、解析選項B中，6e18e22(3e14e2)，6e18e2與3e14e2共線，不能作為基底，選項A，C，D中兩向量均不共線，可以作為基底故選B.反思與感悟考查兩個向量是否能構成基底，主要看兩向量是否非零且不共線此外，一個平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個向量都可以由這個基底唯一線性表示出來跟蹤訓練1若e1，e2是平面內的一組基底，則下列四組向量能作為平面向量的基底的是()Ae1e2，e2e1B2e1e2，e1e2C2e23e1,6e14e2De1e2，e13e2考點平面向量基本定理題點基底的判定答案D解析選項A中，兩個向量為相反向量，即e1e2(e2e1)，則e1e2，e2e1為共線向量；

5、選項B中，2e1e22，也為共線向量；選項C中，6e14e22(2e23e1)，為共線向量根據(jù)不共線的向量可以作為基底，只有選項D符合類型二用基底表示向量例2如圖所示，在ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，DC邊上的中點，若a，b，試以a，b為基底表示，.考點平面向量基本定理題點用基底表示向量解四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是BC，DC邊上的中點，2，2，b，a.babab，ba.引申探究若本例中其他條件不變，設a，b，試以a，b為基底表示，.解取CF的中點G，連接EG.E，G分別為BC，CF的中點，b，ab.又，ab.又，bab.反思與感悟將不共線的向量作為基底表示其他向量的方法有兩種：一

6、種是利用向量的線性運算及法則對所求向量不斷轉化，直至能用基底表示為止；另一種是列向量方程組，利用基底表示向量的唯一性求解跟蹤訓練2如圖，在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，若，其中，R，則_.考點平面向量基本定理的應用題點利用平面向量基本定理求參數(shù)答案解析設a，b，則ab，ab，又ab，()，即，.類型三向量的夾角例3已知|a|b|2，且a與b的夾角為60，設ab與a的夾角為，ab與a的夾角是，求.考點平面向量的夾角求向量的夾角題點求向量的夾角解如圖，作a，b，且AOB60，以OA，OB為鄰邊作OACB，則ab，ab，a.因為|a|b|2，所以OAB為正三角形，所以OAB6

7、0ABC，即ab與a的夾角60.因為|a|b|，所以平行四邊形OACB為菱形，所以OCAB，所以COA906030，即ab與a的夾角30，所以90.反思與感悟(1)求兩個向量夾角的關鍵是利用平移的方法使兩個向量起點重合，作兩個向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出(2)特別地，a與b的夾角為，1a與2b(1，2是非零常數(shù))的夾角為0，當120時，0.跟蹤訓練3在ABC中，C90，BCAB，則與的夾角是()A30B60C120D150考點平面向量的夾角求向量的夾角題點求向量的夾角答案C解析如圖，作向量，則BAD是與的夾角，在ABC中，因為C90，BCAB，所以ABC60，所以BAD120.1

8、給出下列三種說法：一個平面內只有一組不共線的向量可作為表示該平面內所有向量的基底；一個平面內有無數(shù)組不共線向量可作為表示該平面內所有向量的基底；零向量不可作為基底中的向量其中，說法正確的為()ABCD考點平面向量基本定理題點基底的判定答案B2.如圖所示，設O是平行四邊形ABCD的兩條對角線的交點，給出下列向量組：與；與；與；與.其中可作為該平面內所有向量的基底的是()ABCD考點平面向量基本定理題點基底的判定答案B解析中與共線，中與共線，中兩向量不共線，故選B.3已知向量e1，e2不共線，實數(shù)x，y滿足(2x3y)e1(3x4y)e26e13e2，則x_，y_.考點平面向量基本定理的應用題點利

9、用平面向量基本定理求參數(shù)答案1512解析向量e1，e2不共線，解得4設D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點，ADAB，BEBC，若12(1，2為實數(shù))，則12的值為_考點平面向量基本定理的應用題點利用平面向量基本定理求參數(shù)答案解析()，又與不共線，1，2，12.5在ABC中，點D，E，F(xiàn)依次是邊AB的四等分點，試以e1，e2為基底表示.考點平面向量基本定理題點用基底表示向量解e1e2，因為D，E，F(xiàn)依次是邊AB的四等分點，所以(e1e2)，所以e2(e1e2)e1e2.1對基底的理解(1)基底的特征基底具備兩個主要特征：基底是兩個不共線向量；基底的選擇是不唯一的平面內兩向量不共線是這兩個向量

10、可以作為這個平面內所有向量的一組基底的條件(2)零向量與任意向量共線，故不能作為基底2準確理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的實質是向量的分解，即平面內任一向量都可以沿兩個不共線的方向分解成兩個向量和的形式，且分解是唯一的(2)平面向量基本定理體現(xiàn)了轉化與化歸的數(shù)學思想，用向量解決幾何問題時，我們可以選擇適當?shù)幕?，將問題中涉及的向量向基底化歸，使問題得以解決.一、選擇題1如圖所示，矩形ABCD中，5e1，3e2，則等于()A.(5e13e2)B.(5e13e2)C.(3e25e1)D.(5e23e1)考點平面向量基本定理題點用基底表示向量答案A解析()()(5e13e2)2如圖所示，

11、用向量e1，e2表示向量ab為()A4e12e2B2e14e2Ce13e2D3e1e2考點平面向量基本定理題點用基底表示向量答案C3已知A，B，D三點共線，且對任一點C，有，則等于()A.B.CD考點平面向量基本定理的應用題點利用平面向量基本定理求參數(shù)答案C解析因為A，B，D三點共線，所以存在實數(shù)t，使t，則t()所以t()(1t)t.所以解得.4(2020石嘴山第三中學四模)設點D為ABC中BC邊上的中點，O為AD邊上靠近點A的三等分點，則()A.B.C.D.考點平面向量基本定理題點用基底表示向量答案D解析依題意，得()，故選D.5若1a，2b，2(1)，則等于()AabBa(1)bCabD

12、.ab考點平面向量基本定理題點用基底表示向量答案D解析，1(2)，(1)12，12ab.6已知點O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足(0，)，則點P的軌跡一定通過ABC的()A外心B內心C重心D垂心考點平面向量基本定理題點用基底表示向量答案B解析為方向上的單位向量，為方向上的單位向量，則的方向為BAC的角平分線的方向又(0，)，所以的方向與的方向相同而，所以點P在上移動，所以點P的軌跡一定通過ABC的內心7若|a|b|ab|r(r0)，則a與b的夾角為()A30B45C60D90考點平面向量的夾角求向量的夾角題點求向量的夾角答案C二、填空題8已知ae1e2，b2e1e

13、2，c2e14e2(e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量)，則c_.(用a，b表示)考點平面向量基本定理題點用基底表示向量答案2a2b解析設cab，則2e14e2(e1e2)(2e1e2)(2)e1()e2，因為e1，e2不共線，所以解得故c2a2b.9已知10，20，e1，e2是一組基底，且a1e12e2，則a與e1_，a與e2_.(填“共線”或“不共線”)考點平面向量基本定理題點用基底表示向量答案不共線不共線解析e1，e2不共線，10，20，a與e1，e2都不共線10如圖，在MAB中，C是邊AB上的一點，且AC5CB，設a，b，則_.(用a，b表示)考點平面向量基本定理題點用基底表示向量

14、答案ab解析()ab.11已知e1，e2不共線，ae12e2，b2e1e2，要使a，b能作為平面內的一組基底，則實數(shù)的取值范圍為_考點平面向量基本定理的應用題點利用平面向量基本定理求參數(shù)答案(，4)(4，)解析若能作為平面內的一組基底，則a與b不共線ae12e2，b2e1e2，由akb，即得4.三、解答題12在梯形ABCD中，M，N分別是DA，BC的中點，且k.設e1，e2，以e1，e2為基底表示向量，.考點平面向量基本定理題點用基底表示向量解方法一如圖所示，e2，且k，kke2.又0，e1(k1)e2.又0，且，e2.方法二如圖所示，過C作CEDA，交AB于點E，交MN于點F.同方法一可得k

15、e2.則()e1(k1)e2，()e2.方法三如圖所示，連接MB，MC.同方法一可得ke2，e1(k1)e2.由()，得()()e2.13設e1，e2是不共線的非零向量，且ae12e2，be13e2.(1)證明：a，b可以作為一組基底；(2)以a，b為基底，求向量c3e1e2的分解式；(3)若4e13e2ab，求，的值考點平面向量基本定理的應用題點利用平面向量基本定理求參數(shù)(1)證明若a，b共線，則存在R，使ab，則e12e2(e13e2)由e1，e2不共線，得不存在，故a與b不共線，可以作為一組基底(2)解設cmanb(m，nR)，則3e1e2m(e12e2)n(e13e2)(mn)e1(2m3n)e2.e1與e2不共線，c2ab.(3)解由4e13e2ab，得4e13e2(e12e2)(e13e2)()e1(23)e2.故所求，的值分別為3和1.四、探究與拓展14已知非零向量a，b，c滿足abc0，向量a，b的夾角為120，且|b|2|a|，則向量a與c的夾角為