數(shù)列的極限及運(yùn)算同濟(jì)大學(xué)高數(shù)（第七版）上冊(cè)_第1頁
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1、三、收斂數(shù)列的性質(zhì),1.2 數(shù)列的極限,二、數(shù)列極限的定義,一、概念的引入,四、數(shù)列的運(yùn)算法則,割圓術(shù)：劉徽,一、概念的引入,設(shè)有一圓，首先作內(nèi)接正六邊形，將其面積記為A1；再作內(nèi)接正十二邊形，將其面積記為A2；作內(nèi)接二十四邊形，將其記為A3；依此類推，內(nèi)接正6 2n-1邊形的面積記為An,正十二邊形的面積,正 形的面積,當(dāng)n越大時(shí)，An的面積與圓的面積的差別也就越??；當(dāng)n時(shí)，內(nèi)接正多邊形的面積就無線接近于圓，這就是極限的概念.,正六邊形的面積,二、數(shù)列極限的定義,數(shù)列是整標(biāo)函數(shù):,在幾何上：,例如：,1、數(shù)列的定義,數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取x1，x2，x3， xn

2、，,兩個(gè)數(shù)的接近程度可用這兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值來度量！,問題：當(dāng)n無限增大時(shí)，對(duì)應(yīng)的f(n)能否無限接近于某個(gè)確定的數(shù)值？,“無限接近”意味著什么？如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它？,2、數(shù)列極限的定義,推論,收斂數(shù)列的幾何意義：,具體方法：,思考：如何根據(jù)極限定義驗(yàn)證數(shù)列極限？,用定義驗(yàn)證數(shù)列極限,關(guān)鍵是如何由任意給定的0 ，尋找N！,注：該定義并未提供如何求數(shù)列極限，但可以去驗(yàn)證數(shù)列的極限！,例1,證,例2,證,注:,放大的原則：,例3,證,例4,證,三、 收斂數(shù)列的性質(zhì),定理1（唯一性）,證,定理2（有界性）,證,推論2,推論1,證明之前函數(shù)有界性的概念,證,推論3,定理3 （保號(hào)性）,證,推論,子數(shù)列的概念,定義,定理4,證,推論,此推論常用于證明某個(gè)數(shù)列是發(fā)散的！例如數(shù)列,四、數(shù)列極限的運(yùn)算法則,注：前兩項(xiàng)可推廣到有限個(gè)收斂數(shù)列的情形！,無窮多個(gè)收斂數(shù)列,這是錯(cuò)誤的.,例5,練習(xí),P26第1題（5） （6） （8） 第3題 第5題

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