1、.一. 異面直線所成角的求法1、正確理解概念（1）在異面直線所成角的定義中，空間中的點(diǎn)O是任意選取的，異面直線和b所成角的大小，與點(diǎn)O的位置無關(guān)。（2）異面直線所成角的取值范圍是（0，2、熟練掌握求法（1）求異面直線所成角的思路是：通過平移把空間兩異面直線轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的相交直線，進(jìn)而利用平面幾何知識(shí)求解，整個(gè)求解過程可概括為：一作二證三計(jì)算。（2）求異面直線所成角的步驟：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，這里的點(diǎn)通常選擇特殊點(diǎn)。求相交直線所成的角，通常是在相應(yīng)的三角形中進(jìn)行計(jì)算。因?yàn)楫惷嬷本€所成的角的范圍是090，所以在三角形中求的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所

2、成的角。3、“補(bǔ)形法”是立體幾何中一種常見的方法，通過補(bǔ)形，可將問題轉(zhuǎn)化為易于研究的幾何體來處理，利用“補(bǔ)形法”找兩異面直線所成的角也是常用的方法之一。例1如圖，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，點(diǎn)E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中點(diǎn)，則異面直線B1E與GF所成角的余弦是 。 例2已知S是正三角形ABC所在平面外的一點(diǎn)，如圖SASBSC，且ASBBSCCSA，M、N分別是AB和SC的中點(diǎn)求異面直線SM與BN所成的角的余弦值BMANCSBMANCSBMANCS例3長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求異面直線B1D與BC1所成角的大小

3、。例4如圖，平面，且，則異面直線PB與AC所成角的正切值等于_ 練習(xí)：1.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn)，那么直線AM與CN所成角的余弦值是( )(第2題)F1ABCD1C1A1B1B1(第1題)A1ABC1D1CDMN2.如圖，A1B1C1ABC是直三棱柱(三側(cè)面為矩形)，BCA=90，點(diǎn)D1、F1 分別是A1B1、A1C1的中點(diǎn)若BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是( ) 3.正方體ABCDA1B1C1D1中，直線BC1與AC (A)相交且垂直 (B)相交但不垂直 (C)異面且垂直 (D)異面但不垂直4.設(shè)a、b、c是空間中

4、的三條直線，下面給出四個(gè)命題： 如果ab、bc，則ac； 如果a和b相交，b和c相交，則a和c也相交；如果a、b是異面直線，c、b是異面直線，則a、c也是異面直線；如果a和b共面，b和c共面，則a和c也共面在上述四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)05.如果直線l和n是異面直線，那么和直線l、n都垂直的直線 (A)不一定存在 (B)總共只有一條FABCES(第6題) (C)總共可能有一條，也可能有兩條 (D)有無窮多條6.如圖，四面體SABC的各棱長(zhǎng)都相等，如果E、F分別為SC、AB的中點(diǎn)，那么異面直線EF與SA所成的角等于(A)90 (B)60 (

5、C)45 (D)307右圖是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中， BM與ED平行； CN與BE是異面直線；CN與BM成角；DM與BN垂直以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是 （ ）（A） （B） （C） （D） ABCDM(第8題)N438如圖，四面體ABCD中，ACBD,且AC4，BD3，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，則求MN和BD所成角的正切值為 。9異面直線a、b成60，過空間一點(diǎn)P的直線c與a、b成角都為60，則這樣的直線c有 條。10異面直線a、b成60，直線ca，則直線b與c所成的角的范圍為 （ ）（A）30，90 （B）60，90 （C）30，60 （D）60，120(第11題)MA

6、BCNC1A1B111.如圖，正三棱柱的九條棱都相等，三個(gè)側(cè)面都是正方形，M、N分別是BC和A1C1的中點(diǎn)求MN與AB1所成角的余弦值。8ABCDE(第12題)78544512.如圖，四面體ABCD中，E為AD中點(diǎn)，若ACCDDA8，ABBD5，BC7，求BE與AC所成角的余弦值。二.共面、共線、共點(diǎn)問題共點(diǎn)問題:證明線共點(diǎn)，就是要證明這些直線都過其中兩條直線的交點(diǎn)解決此類問題的一般方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證該點(diǎn)也在其他直線上共線問題:證明點(diǎn)共線，常常采用以下兩種方法：轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，然后根據(jù)公理3證得這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上；證明多點(diǎn)共線問題時(shí)，通常是過

7、其中兩點(diǎn)作一直線，然后證明其他的點(diǎn)都在這條直線上共面問題:證明空間的點(diǎn)、線共面問題，通常采用以下兩種方法：根據(jù)已知條件先確定一個(gè)平面，再證明其他點(diǎn)或直線也在這個(gè)平面內(nèi)；分別過某些點(diǎn)或直線作兩個(gè)平面，證明這兩個(gè)平面重合1.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為A1A的中點(diǎn).求證：（1）E、C、D1、F四點(diǎn)共面；（2）CE、D1F、DA三線共點(diǎn)。2.D三點(diǎn)共線。練習(xí)：1. 共點(diǎn)的四條直線最多能確定 個(gè)平面。2. 空間四點(diǎn)中，若任意三點(diǎn)不共線，那么經(jīng)過三點(diǎn)的平面有 個(gè)。3. 已知平面，設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的平面為，則是（ ） A. 直線AC B. 直線BC C. 直線CRD.

8、 以上全錯(cuò)4. 已知ABC三邊AB、BC、CA分別交平面于P、Q、R，求證：P、Q、R共線。5. 如果ABC和A1B1C1不在同一平面內(nèi)，且AA1、BB1、CC1兩兩相交，求證：三直線AA1、BB1、CC1交于一點(diǎn)。三.平行問題ABCDA1B1C1D11、“線線”的證明：(1)平行四邊形法：如圖,在正方體中, 由,ABCDPQO得四邊形為平行四邊形,于是；(2)中位線法：如圖,四棱錐的底面ABCD為平行四邊形, 點(diǎn)Q是PC的中點(diǎn),則由OQ是PAC的中位線,得到OQ/PA；ABCDA1B1C1D1MBN(3)“線面”平行法：如圖,若平面ABCD,過的平面交平面ABCD于MN,則MN；ABCDA1

9、B1C1D1MBNEBFEB(4)“面面”法：如圖,若平面平面ABCD,平面與平面、平面ABCD分別交于EF、MN,則有EF MN;(5)“平行線分線段成比例定理的推論”：ABCDA1B1C1D1EFG平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。E如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別為面對(duì)角線D1B1，A1B上的動(dòng)點(diǎn)，且D1E= A1F，則ABCDPQO，故，所以EF/GB。2、“線面”的證明： (1)“線線”法： 如圖,Q為PC的中點(diǎn)，則,所以平面PAD； ABCDA1B1C1D1MBN (2)“面面”法： 如圖,若平面ABCD,直線MN在平面, 則MN平面ABCD；3

10、、“面面”的證明：“線面”法：如圖,在平面上ABCDA1B1C1D1MBN找到兩條相交直線MN、均平行于平面ABCD,則有平面平面ABCD；例題分析：1，則與的位置關(guān)系（ ）A平行 B異面 C相交 D以上情況均有可能2，是兩條不相交的直線，則過直線且平行于的平面（ ）A有且只有一個(gè) B至少有一個(gè) C至多有一個(gè) D以上答案都不對(duì)ABCDABCDEFABCDABCDEF3、已知正方體ABCD-ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)。求證：EF面ADC。 4、如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，E、F分別是AB, PC的中點(diǎn) ，CBDAPEFCBDAPEF求證：EF平面PAD；5. 如圖，四棱

11、錐PABCD的底面是正方形，點(diǎn)E、F分別為棱AB、PD的中點(diǎn)。 求證：AF平面PCE； A11ED1C1B1DCBAA11ED1C1B1DCBA6、如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，求證：平面。7. 如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，點(diǎn)是的中點(diǎn) 求證：平面 8已知正四棱錐PABCD，M、N分別是PA、BD上的點(diǎn)，且PMMA=BNND=58，求證：直線MN平面PBC； _P_B_A_N_M_E_D_C_P_B_A_N_M_E_D_C_P_B_A_N_M_E_D_C 9、正方體ABCD-A1B1C1D1，P、Q分別是正方形AA1D1D和A1B1C1D1的中心。求證PQ平面DD1C1C；10已知正三棱柱ABCA1B1C1，D為AC中點(diǎn)。求證：直線AB1平面C1DB；A1C1CBAB1DA1C1CBAB1D11如圖:已知A1B1C1ABC是正三棱柱,D是AC中點(diǎn).證明:AB1平面DBC1; BCADA1B1C1BCADA1B1C112如圖，在斜三棱柱中， E、F分別是棱的中點(diǎn)，證明平面13如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是平行四邊形，E是PC的三等分點(diǎn)，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)，求證：AF面BDE；14、如圖PA平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB，PD的中點(diǎn)。求證：AF/平面PCE；15.如圖，平面分別平行于，分別在上，且，（1）求證：是矩形；（2）求當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)