1、選修 2-2 第二章 推理與證明,2.3 數(shù)學(xué)歸納法,從前，有個小孩叫萬百千，他開始上學(xué)識字。第一天先生教他個“一”字。第二天先生又教了個“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并預(yù)先在紙上劃了三橫。果然這天教了個“三”字。于是他得了一個結(jié)論：“四”一定是四橫，“五”一定是五橫，以此類推， 從此，他不再去上學(xué)，家長發(fā)現(xiàn)問他為何不去上學(xué)，他自豪地說：“我都會了”。家長要他寫出自己的名字，“萬百千”寫名字結(jié)果可想而知。,萬百千的笑話,故事情境,問題情境一,問題1:你知道諺語“天下烏鴉一般黑”的由來嗎？,師生互動 探求新知,問題2:盒子中有5個小球，如何證明它們都是紅色的？,問題3:數(shù)列的通項

2、公式是：an= (n25n+5)2 請算出a1= ，a2= ，a3= ，a4= ,猜測,1,1,1,1,猜測是否正確呢？,問題情境二,由于a525 1，所以猜測是不正確的,問題4:在數(shù)列,中,1,(n ),（1）求,，,，,的值；,（2）試猜想該數(shù)列的通項公式,像這種由一系列特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，叫做歸納法。,（結(jié)論一定可靠，但需逐一核對，實施較難）,（結(jié)論不一定可靠，但有利于發(fā)現(xiàn)問題，形成猜想）,（1）完全歸納法：考察全體對象，得到一般結(jié)論的推理方法,（2）不完全歸納法，考察部分對象，得到一般結(jié)論的推理方法,歸納法分為 完全歸納法 和 不完全歸納法,問題 1:大球中有5個小球，如何

3、證明它們都是綠色的？,完全歸納法,不完全歸納法,問題2:在數(shù)列,中,試猜想該數(shù)列的通項公式。,1,(n ),數(shù)學(xué)家費馬運用歸納法得出費馬猜想的事例：,思考：歸納法有什么優(yōu)點和缺點？,優(yōu)點：可以幫助我們從一些具體事 例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律,缺點：僅根據(jù)有限的特殊事例歸納 得到的結(jié)論有時是不正確的,在使用歸納法探究數(shù)學(xué)命題時，必須對任何可能的情況進(jìn)行論證后，才能判別命題正確與否。,思考1：與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題能否通過一一驗證的辦法來加以證明呢？,思考2：如果一個數(shù)學(xué)命題與正整數(shù)n有關(guān),我們能否找到一種既簡單又有效的證明方法呢？,多 米 諾 骨 牌 游戲,問題情境三,這個游戲中，能使所有多米若骨牌全部

4、倒下的條件是什么？,需滿足以下兩個條件：,（1）第一塊骨牌倒下； （2）任意相臨兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下.,思考：你認(rèn)為條件（2）的作用是什么？,思考：能否類比這種方法來解決不完全歸納法存在的問題呢？,你能證明這個猜想是正確的嗎？,引例 在數(shù)列,中,1,(n ),（1）求,，,，,的值；,（2）試猜想該數(shù)列的通項公式,探究發(fā)現(xiàn) 形成概念,證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題步驟如下：,(2) 假設(shè)當(dāng)nk (kN*, kn0 ) 時命題成立, 證明 當(dāng)nk1時命題也成立,完成這兩個步驟后, 就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù) n都正確,(1) 證明當(dāng)n取第一個值n = n0 時命題成立,

5、這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法,歸納奠基,歸納遞推,框圖表示了數(shù)學(xué)歸納法的基本過程：,（1）驗證：n=n0 （n0N+） 時命題成立。,（2）證明：假設(shè)n=k（kn0） 時命題成立， 證明n=k+1時命題也成立。,結(jié)論：命題對所有的n （n0N+， nn0）成立,歸納奠基,歸納遞推,情境1.觀察下列各等式，你發(fā)現(xiàn)了什么？,思考：你由不完全歸納法所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論正確嗎？若不正確，請舉一個反例;若正確，如何證明呢？,師生互動 講練結(jié)合,類比多米諾骨牌游戲證明猜想 的步驟為：,(1)證明當(dāng)n=1時猜想成立,(2)證明若當(dāng)n=k時命題成立，則n=k+1時命題也成立.,完成了這兩個步驟以后就可以證明上述猜想對于

6、所有的正整數(shù)n都是成立的。,相當(dāng)于第一張牌能倒下,相當(dāng)于使所有骨牌倒下的第2個條件,證明 當(dāng)n=1時，左邊1 右邊,等式顯然成立。,例1 證明：,遞推基礎(chǔ),遞推依據(jù),假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，即,那么,當(dāng)n=k+1時，有,即當(dāng)n=k+1時,等式也成立。,綜上可知，對任何nN*等式都成立。,湊結(jié)論,變式訓(xùn)練1：2+4+6+8+2n=n2+n+1(nN*),證明 ：假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，即 2+4+6+8+2k=k2+k+1(kN*),那么，當(dāng)n=k+1時，有 2+4+6+8+2k+2（k+1) =k2+k+1+2(k+1) =(k+1)2+(k+1)+1 , 因此，對于任何nN*等式都成立。,缺

7、乏“遞推基礎(chǔ)”,事實上，我們可以用等差數(shù)列求和公式驗證原等式是不成立的！,證明 當(dāng)n=1時,左邊= ,假設(shè)n=k(kN*)時原等式成立 ，即,右邊=,此時，原等式成立。,那么n=k+1時,綜上 知,對一切正整數(shù)n,原等式均正確.,變式訓(xùn)練2：,缺乏“遞推依據(jù)”,證明 當(dāng)n=1時,左邊= ,這才是數(shù)學(xué)歸納法,假設(shè)n=k(kN*)時原等式成立 ，即,右邊=,此時，原等式成立。,那么n=k+1時,這就是說，當(dāng)n=k+1時,命題也成立.,綜上 知,對一切正整數(shù)n,原等式均正確.,用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)命題的步驟是：,（1）證明當(dāng) 取第一個值 （如 或2等）時結(jié)論正確；,（2）假設(shè)時 結(jié)論正確，證

8、明 時結(jié)論也正確,遞推基礎(chǔ),遞推依據(jù),“找準(zhǔn)起點，奠基要穩(wěn)”,“用上假設(shè)，遞推才真”,“綜合（1）（2），”不可少！,注意:數(shù)學(xué)歸納法使用要點： 兩步驟,一結(jié)論。,(2)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟：兩個步驟，一個結(jié)論；,(3)數(shù)學(xué)歸納法優(yōu)點：即克服了完全歸納法的繁雜的缺點，又克服了不完全歸納法結(jié)論不可靠的不足。,(4)數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：運用“有限”的手段來解決“無限”的問題,(1)數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法,合作交流 總結(jié)提高,課后作業(yè),陽光課堂 與課本： 第95頁練習(xí) 1 第96頁習(xí)題2.3 B組 1,舉例說明：用數(shù)學(xué)歸納法證明 n邊形的對角線的條數(shù)是,此時n取的第一

9、值,分析下列各題用數(shù)學(xué)歸納法證明過程中的錯誤：,深入探究 發(fā)現(xiàn)問題,（1）2+4+6+8+2n=n2+n+1(nN*),證明 ：假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，即 2+4+6+8+2k=k2+k+1(kN*),那么，當(dāng)n=k+1時，有 2+4+6+8+2k+2（k+1) =k2+k+1+2(k+1) =(k+1)2+(k+1)+1 , 因此，對于任何nN*等式都成立。,缺乏“遞推基礎(chǔ)”,事實上，我們可以用等差數(shù)列求和公式驗證原等式是不成立的！,這就是說，當(dāng)n=k+1時,命題也成立.,沒有用上“假設(shè)”，故此法不是數(shù)學(xué)歸納法,請修改為數(shù)學(xué)歸納法,證明 當(dāng)n=1時,左邊= ,假設(shè)n=k(kN*)時原等式成立

10、 ，即,此時，原等式成立。,那么n=k+1時,由 知,對一切正整數(shù)n,原等式均正確.,用數(shù)學(xué)歸納法證明 122334n(n1) ,練習(xí)鞏固,=,即當(dāng) n=k+1時命題正確。 綜上(1)(2)可知，當(dāng) ，命題正確。,（3）（糾錯題）課本P87 T3 2nn2(nN*),證明 ：當(dāng)n=1時，2112,不等式顯然成立。 假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，即2kk2, 那么當(dāng)n=k+1時，有 2k+1=22k=2k+2kk2+k2k2+2k+1=(k+1)2. 這就是說，當(dāng)n=k+1時不等式也成立。 根據(jù)（1）和（2），可知對任何nN*不等式都成立。,雖然既有“遞推基礎(chǔ)”，又用到假設(shè)（“遞推依據(jù)”），但在證明過

11、程中出現(xiàn)錯誤，故上述證法錯誤！,事實上，原不等式不成立，如n=2時不等式就不成立。,練習(xí)鞏固,C,C,3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明: 122334n(n1) ,練習(xí)鞏固,4、用數(shù)學(xué)歸納法證明：,5求證:當(dāng)nN*時，,練習(xí) 用數(shù)學(xué)歸納法證明,證明（1）當(dāng)n=1時，左邊=1，右邊=1，等式成立,這就是說，當(dāng)n=k+1時，等式也成立,由（1）和（2），可知等式對任何正整數(shù)n都成立,（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，即,遞推基礎(chǔ),遞推依據(jù),那么當(dāng)n=k+1時，,3.用數(shù)學(xué)歸納法證明 122334n(n1) ,練習(xí)鞏固,練習(xí)鞏固,4、用數(shù)學(xué)歸納法證明, n=k+1時命題正確。 由(1)和(2)知，當(dāng) ，命題正確。,提什么 好呢?,注意結(jié)論的形式,練習(xí)鞏固,5求證:當(dāng)nN*時，,證明:,