1、,2,一、重點與難點,重點：,難點：,函數(shù)展開成泰勒級數(shù)與洛朗級數(shù),函數(shù)展開成洛朗級數(shù),3,復(fù)數(shù)項級數(shù),函數(shù)項級數(shù),充 要 條 件,必 要 條 件,冪級數(shù),收斂半徑R,復(fù) 變 函 數(shù),絕 對 收 斂,運算與性質(zhì),收斂條件,條 件 收 斂,復(fù)數(shù)列,收斂半徑的計算,泰勒級數(shù),洛朗級數(shù),二、內(nèi)容提要,4,1.復(fù)數(shù)列,記作,5,表達式,稱為復(fù)數(shù)項無窮級數(shù).,其最前面 項的和,稱為級數(shù)的部分和.,部分和,2.復(fù)數(shù)項級數(shù),1) 定義,6,2) 復(fù)級數(shù)的收斂與發(fā)散,充要條件,必要條件,7,非絕對收斂的收斂級數(shù)稱為條件收斂級數(shù).,3)復(fù)級數(shù)的絕對收斂與條件收斂,如果 收斂, 那末稱級數(shù) 為絕對收斂.,絕對收斂

2、 條件收斂,8,稱為這級數(shù)的部分和.,3.復(fù)變函數(shù)項級數(shù),其中各項在區(qū)域 D內(nèi)有定義.表達式,稱為復(fù)變函數(shù)項級數(shù), 記作,9,4. 冪級數(shù),1) 在復(fù)變函數(shù)項級數(shù)中, 形如,的級數(shù)稱為冪級數(shù).,10,11,此時, 級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點外處處發(fā)散.,3)收斂圓與收斂半徑,對于一個冪級數(shù), 其收斂半徑的情況有三種:,對所有的正實數(shù)都收斂.即級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處 處收斂.,12,13,方法1: 比值法,方法2: 根值法,4)收斂半徑的求法,那末收斂半徑,那末收斂半徑,14,5)冪級數(shù)的運算與性質(zhì),15,(2)冪級數(shù)的代換(復(fù)合)運算,16,(3),在收斂圓內(nèi)可以逐項積分, 即,或,17,5. 泰勒級數(shù),

3、18,2)常見函數(shù)的泰勒展開式,19,20,6. 洛朗級數(shù),定理,1),21,某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開為含有正、負冪項的級數(shù)是唯一的, 這就是 f (z) 的洛朗級數(shù).,22,2)將函數(shù)展為洛朗級數(shù)的方法,(1) 直接展開法,23,三、典型例題,例1 判別級數(shù)的斂散性.,解,發(fā)散，,收斂，,24,三、典型例題,例1 判別級數(shù)的斂散性.,解,25,解,收斂,收斂,三、典型例題,例1 判別級數(shù)的斂散性.,26,解,由正項級數(shù)的比值判別法知,絕對收斂.,三、典型例題,例1 判別級數(shù)的斂散性.,27,例2 求下列冪級數(shù)的收斂半徑,解,28,29,例3 展開函數(shù) 成 的冪級數(shù)到 項.,解,由此得,所以,解析函數(shù)展為冪級數(shù)的方法,利用定義來求.,30,分析：采用間接法即利用已知的展開式來求.,解,例4 求 在 的泰勒展式.,31,由于,32,例5,分析：利用級數(shù)的乘除運算較為簡單.,解,故乘積也絕對收斂.,33,例6,設(shè),又,由泰勒展式的唯一性,又,所以,解 利用待定系數(shù)法,34,比較兩端系數(shù)得,35,例7,分析：利用逐項求導(dǎo)、逐項積分法.,解,所以,36,例8,解 利用微分方程法,對上式求導(dǎo)得,37,由此可得,故,38,例9,分析:利用部分分式與幾何級數(shù)結(jié)合法. 即把函數(shù) 分成部分分式后, 應(yīng)用等比級數(shù)求和公式.,解,39,故,兩端求導(dǎo)得,40,41,例10,解,42,例1