1、解圓錐曲線問題的常用方法大全 1、定義法（1）橢圓有兩種定義。第一定義中，r1+r2=2a。第二定義中，r1=ed1 r2=ed2。 （2）雙曲線有兩種定義。第一定義中，當r1r2時，注意r2的最小值為c-a：第二定義中，r1=ed1，r2=ed2，尤其應注意第二定義的應用，常常將 半徑與“點到準線距離”互相轉化。 （3）拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物線問題用定義解決更直接簡明。2、韋達定理法 因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之

2、一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用。 3、解析幾何的運算中，常設一些量而并不解解出這些量，利用這些量過渡使問題得以解決，這種方法稱為“設而不求法”。設而不求法對于直線與圓錐曲線相交而產生的弦中點問題，常用“點差法”，即設弦的兩個端點a(x1,y1),b(x2,y2),弦ab中點為m(x0,y0)，將點a、b坐標代入圓錐曲線方程，作差后，產生弦中點與弦斜率的關系，這是一種常見的“設而不求”法，具體有： （1）與直線相交于a、b，設弦ab中點為m(x0,y0)，則有。 （2）與直線l相交于a、b，設弦ab中點為m(x0,y0)則有（3）y2=2px（

3、p0）與直線l相交于a、b設弦ab中點為m(x0,y0),則有2y0k=2p,即y0k=p.【典型例題】例1、(1)拋物線c:y2=4x上一點p到點a(3,4)與到準線的距離和最小,則點 p的坐標為_ (2)拋物線c: y2=4x上一點q到點b(4,1)與到焦點f的距離和最小,則點q的坐標為 。分析：（1）a在拋物線外，如圖，連pf，則，因而易發(fā)現(xiàn)，當a、p、f三點共線時，距離和最小。（2）b在拋物線內，如圖，作qrl交于r，則當b、q、r三點共線時，距離和最小。解：（1）（2，）連pf，當a、p、f三點共線時，最小，此時af的方程為 即 y=2(x-1),代入y2=4x得p(2,2)，（注：

4、另一交點為()，它為直線af與拋物線的另一交點，舍去）（2）（）過q作qrl交于r，當b、q、r三點共線時，最小，此時q點的縱坐標為1，代入y2=4x得x=，q()點評：這是利用定義將“點點距離”與“點線距離”互相轉化的一個典型例題，請仔細體會。例2、f是橢圓的右焦點，a(1,1)為橢圓內一定點，p為橢圓上一動點。（1）的最小值為 （2）的最小值為 分析：pf為橢圓的一個焦半徑，常需將另一焦半徑或準線作出來考慮問題。解：（1）4- 設另一焦點為，則(-1,0)連a,p 當p是a的延長線與橢圓的交點時, 取得最小值為4-。（2）3 作出右準線l，作phl交于h，因a2=4，b2=3，c2=1，

5、a=2，c=1，e=，當a、p、h三點共線時，其和最小，最小值為例3、動圓m與圓c1:(x+1)2+y2=36內切,與圓c2:(x-1)2+y2=4外切,求圓心m的軌跡方程。分析：作圖時，要注意相切時的“圖形特征”：兩個圓心與切點這三點共線（如圖中的a、m、c共線，b、d、m共線）。列式的主要途徑是動圓的“半徑等于半徑”（如圖中的）。解：如圖， （*）點m的軌跡為橢圓，2a=8，a=4，c=1，b2=15軌跡方程為點評：得到方程（*）后，應直接利用橢圓的定義寫出方程，而無需再用距離公式列式求解，即列出，再移項，平方，相當于將橢圓標準方程推導了一遍，較繁瑣！例4、abc中，b(-5,0),c(5

6、,0),且sinc-sinb=sina,求點a的軌跡方程。分析：由于sina、sinb、sinc的關系為一次齊次式，兩邊乘以2r（r為外接圓半徑），可轉化為邊長的關系。解：sinc-sinb=sina 2rsinc-2rsinb=2rsina即 （*）點a的軌跡為雙曲線的右支（去掉頂點）2a=6，2c=10a=3， c=5， b=4所求軌跡方程為 （x3）點評：要注意利用定義直接解題，這里由（*）式直接用定義說明了軌跡（雙曲線右支）例5、定長為3的線段ab的兩個端點在y=x2上移動，ab中點為m，求點m到x軸的最短距離。分析：（1）可直接利用拋物線設點，如設a(x1,x12)，b(x2，x22

7、)，又設ab中點為m(x0y0)用弦長公式及中點公式得出y0關于x0的函數(shù)表達式，再用函數(shù)思想求出最短距離。（2）m到x軸的距離是一種“點線距離”，可先考慮m到準線的距離，想到用定義法。解法一：設a(x1，x12)，b(x2，x22)，ab中點m(x0，y0)則由得(x1-x2)21+(x1+x2)2=9即(x1+x2)2-4x1x21+(x1+x2)2=9 由、得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得 (2x0)2-(8x02-4y0)1+(2x0)2=9， 當4x02+1=3 即 時，此時法二：如圖， 即， 當ab經過焦點f時取得最小值。m到x軸的最短距離為點評：解法一是

8、列出方程組，利用整體消元思想消x1，x2，從而形成y0關于x0的函數(shù)，這是一種“設而不求”的方法。而解法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將中點m到x軸的距離轉化為它到準線的距離，再利用梯形的中位線，轉化為a、b到準線的距離和，結合定義與三角形中兩邊之和大于第三邊（當三角形“壓扁”時，兩邊之和等于第三邊）的屬性，簡捷地求解出結果的，但此解法中有缺點，即沒有驗證ab是否能經過焦點f，而且點m的坐標也不能直接得出。例6、已知橢圓過其左焦點且斜率為1的直線與橢圓及準線從左到右依次變于a、b、c、d、設f(m)=,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。分析：此題初看很復雜，對f(m)的結構不知如何運

9、算，因a、b來源于“不同系統(tǒng)”，a在準線上，b在橢圓上，同樣c在橢圓上，d在準線上，可見直接求解較繁，將這些線段“投影”到x軸上，立即可得防 此時問題已明朗化，只需用韋達定理即可。解：（1）橢圓中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦點f1(-1,0)則bc:y=x+1,代入橢圓方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0設b(x1,y1),c(x2,y2),則x1+x2=-（2）當m=5時， 當m=2時，點評：此題因最終需求，而bc斜率已知為1，故可也用“點差法”設bc中點為m(x0,y0),通過將b、

10、c坐標代入作差，得，將y0=x0+1，k=1代入得，可見當然，解本題的關鍵在于對的認識，通過線段在x軸的“投影”發(fā)現(xiàn)是解此題的要點?！就骄毩暋?、已知：f1，f2是雙曲線的左、右焦點，過f1作直線交雙曲線左支于點a、b，若，abf2的周長為（ ）a、4a b、4a+m c、4a+2m d、4a-m 2、若點p到點f(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離小1，則p點的軌跡方程是 （ ）a、y2=-16x b、y2=-32x c、y2=16x d、y2=32x3、已知abc的三邊ab、bc、ac的長依次成等差數(shù)列，且，點b、c的坐標分別為(-1，0)，(1，0)，則頂點a的軌跡方程是（ ）a

11、、 b、 c、 d、4、過原點的橢圓的一個焦點為f(1，0)，其長軸長為4，則橢圓中心的軌跡方程是 （ ）a、 b、c、 d、5、已知雙曲線上一點m的橫坐標為4，則點m到左焦點的距離是 6、拋物線y=2x2截一組斜率為2的平行直線，所得弦中點的軌跡方程是 7、已知拋物線y2=2x的弦ab所在直線過定點p(-2，0)，則弦ab中點的軌跡方程是 8、過雙曲線x2-y2=4的焦點且平行于虛軸的弦長為 9、直線y=kx+1與雙曲線x2-y2=1的交點個數(shù)只有一個，則k= 10、設點p是橢圓上的動點，f1，f2是橢圓的兩個焦點，求sinf1pf2的最大值。11、已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，左焦點

12、到坐標原點、右焦點、右準線的距離依次成等差數(shù)列，若直線l與此橢圓相交于a、b兩點，且ab中點m為(-2，1)，求直線l的方程和橢圓方程。12、已知直線l和雙曲線及其漸近線的交點從左到右依次為a、b、c、d。求證：?！緟⒖即鸢浮?1、c，選c2、c點p到f與到x+4=0等距離，p點軌跡為拋物線 p=8開口向右，則方程為y2=16x，選c3、d，且點a的軌跡為橢圓在y軸右方的部分、又a、b、c三點不共線，即y0，故選d。4、a設中心為(x，y)，則另一焦點為(2x-1，2y)，則原點到兩焦點距離和為4得， 又ca,(x-1)2+y2)7、y2=x+2(x2)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，a

13、b中點m(x，y)，則，即y2=x+2又弦中點在已知拋物線內p，即y22x，即x+228、4，令代入方程得8-y2=4y2=4，y=2，弦長為49、y=kx+1代入x2-y2=1得x2-(kx+1)2-1=0(1-k2)x2-2kx-2=0得4k2+8(1-k2)=0，k=1-k2=0得k=110、解：a2=25，b2=9，c2=16設f1、f2為左、右焦點，則f1(-4，0)f2(4，0)設則 2-得2r1r2(1+cos)=4b2 1+cos= r1+r2， r1r2的最大值為a21+cos的最小值為，即1+coscos， 則當時，sin取值得最大值1，即sinf1pf2的最大值為1。11

14、、設橢圓方程為由題意：c、2c、成等差數(shù)列，a2=2(a2-b22ddfff2+2222222大案要案 000),a2=2b2橢圓方程為，設a(x1，y1)，b(x2，y2)則 -得2222222即 k=1直線ab方程為y-1=x+2即y=x+3， 代入橢圓方程即x2+2y2-2b2=0得x2+2(x+3)2-2b2=03x2+12x+18-2b2=0， 解得b2=12， 橢圓方程為，直線l方程為x-y+3=012、證明：設a(x1，y1)，d(x2，y2)，ad中點為m(x0，y0)直線l的斜率為k，則 -得 設，則 -得 由、知m、均在直線上，而m、又在直線l上 ，若l過原點，則b、c重合

15、于原點，命題成立若l與x軸垂直，則由對稱性知命題成立若l不過原點且與x軸不垂直，則m與重合橢圓與雙曲線的對偶性質總結橢 圓1. 點p處的切線pt平分pf1f2在點p處的外角.2. pt平分pf1f2在點p處的外角，則焦點在直線pt上的射影h點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3. 以焦點弦pq為直徑的圓必與對應準線相離.4. 以焦點半徑pf1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切.5. 若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.6. 若在橢圓外 ，則過po作橢圓的兩條切線切點為p1、p2，則切點弦p1p2的直線方程是.7. 橢圓 (ab0)的左右焦點分別為f1，f 2，點p為橢圓上任意一點，

16、則橢圓的焦點角形的面積為.8. 橢圓（ab0）的焦半徑公式：,( , ).9. 設過橢圓焦點f作直線與橢圓相交 p、q兩點，a為橢圓長軸上一個頂點，連結ap 和aq分別交相應于焦點f的橢圓準線于m、n兩點，則mfnf.10. 過橢圓一個焦點f的直線與橢圓交于兩點p、q, a1、a2為橢圓長軸上的頂點，a1p和a2q交于點m，a2p和a1q交于點n，則mfnf.11. ab是橢圓的不平行于對稱軸的弦，m為ab的中點，則，即。12. 若在橢圓內，則被po所平分的中點弦的方程是.13. 若在橢圓內，則過po的弦中點的軌跡方程是.雙曲線1. 點p處的切線pt平分pf1f2在點p處的內角.2. pt平分

17、pf1f2在點p處的內角，則焦點在直線pt上的射影h點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3. 以焦點弦pq為直徑的圓必與對應準線相交.4. 以焦點半徑pf1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.（內切：p在右支；外切：p在左支）5. 若在雙曲線（a0,b0）上，則過的雙曲線的切線方程是.6. 若在雙曲線（a0,b0）外 ，則過po作雙曲線的兩條切線切點為p1、p2，則切點弦p1p2的直線方程是.7. 雙曲線（a0,bo）的左右焦點分別為f1，f 2，點p為雙曲線上任意一點，則雙曲線的焦點角形的面積為.8. 雙曲線（a0,bo）的焦半徑公式：( , 當在右支上時，,.當在左支上時，,9

18、. 設過雙曲線焦點f作直線與雙曲線相交 p、q兩點，a為雙曲線長軸上一個頂點，連結ap 和aq分別交相應于焦點f的雙曲線準線于m、n兩點，則mfnf.10. 過雙曲線一個焦點f的直線與雙曲線交于兩點p、q, a1、a2為雙曲線實軸上的頂點，a1p和a2q交于點m，a2p和a1q交于點n，則mfnf.11. ab是雙曲線（a0,b0）的不平行于對稱軸的弦，m為ab的中點，則，即。12. 若在雙曲線（a0,b0）內，則被po所平分的中點弦的方程是.13. 若在雙曲線（a0,b0）內，則過po的弦中點的軌跡方程是.橢圓與雙曲線的經典結論橢 圓1. 橢圓（abo）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓

19、于p1、p2時a1p1與a2p2交點的軌跡方程是.2. 過橢圓 (a0, b0)上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于b,c兩點，則直線bc有定向且（常數(shù)）.3. 若p為橢圓（ab0）上異于長軸端點的任一點,f1, f 2是焦點, , ，則.4. 設橢圓（ab0）的兩個焦點為f1、f2,p（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在pf1f2中，記, ,，則有.5. 若橢圓（ab0）的左、右焦點分別為f1、f2，左準線為l，則當0e時，可在橢圓上求一點p，使得pf1是p到對應準線距離d與pf2的比例中項.6. p為橢圓（ab0）上任一點,f1,f2為二焦點，a為橢圓內一定點，則,當且僅當三點共線時

20、，等號成立.7. 橢圓與直線有公共點的充要條件是.8. 已知橢圓（ab0），o為坐標原點，p、q為橢圓上兩動點，且.（1）;（2）|op|2+|oq|2的最大值為;（3）的最小值是.9. 過橢圓（ab0）的右焦點f作直線交該橢圓右支于m,n兩點，弦mn的垂直平分線交x軸于p，則.10. 已知橢圓（ ab0）,a、b、是橢圓上的兩點，線段ab的垂直平分線與x軸相交于點, 則.11. 設p點是橢圓（ ab0）上異于長軸端點的任一點,f1、f2為其焦點記，則(1).(2) .12. 設a、b是橢圓（ ab0）的長軸兩端點，p是橢圓上的一點，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2)

21、.(3) .13. 已知橢圓（ ab0）的右準線與x軸相交于點，過橢圓右焦點的直線與橢圓相交于a、b兩點,點在右準線上，且軸，則直線ac經過線段ef 的中點.14. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直.15. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16. 橢圓焦三角形中,內點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率). （注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點.）17. 橢圓焦三角形中,內心將內點與非焦頂點連線段分成定比e.18. 橢圓

22、焦三角形中,半焦距必為內、外點到橢圓中心的比例中項.雙曲線1. 雙曲線（a0,b0）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交雙曲線于p1、p2時a1p1與a2p2交點的軌跡方程是.2. 過雙曲線（a0,bo）上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于b,c兩點，則直線bc有定向且（常數(shù)）.3. 若p為雙曲線（a0,b0）右（或左）支上除頂點外的任一點,f1, f 2是焦點, , ，則（或）.4. 設雙曲線（a0,b0）的兩個焦點為f1、f2,p（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在pf1f2中，記, ,，則有.5. 若雙曲線（a0,b0）的左、右焦點分別為f1、f2，左準線為l，則當1e時，可在雙曲線上求一點p，使得pf1是p到對應準線距離d與