1、3.3.1 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù),問題對(duì)于二維隨機(jī)變量(X ，Y )：,已知聯(lián)合分布,邊緣分布,這說明對(duì)于二維隨機(jī)變量，除了每個(gè)隨機(jī)變量各自的概率特性以外，相互之間可能還有某種聯(lián)系問題是用一個(gè)什么樣的數(shù)去反映這種聯(lián)系,數(shù),Y 之間的某種關(guān)系,反映了隨機(jī)變量X ，,定義 稱,協(xié)方差記為,稱,為(X，Y)的協(xié)方差矩陣,可以證明協(xié)方差矩陣為半正定矩陣,協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的定義,為X，Y的,若D (X) 0， D (Y) 0 ，稱,為X，Y 的相關(guān)系數(shù)，記為,事實(shí)上，,若,稱 X，Y 不相關(guān), 利用函數(shù)的期望或方差計(jì)算協(xié)方差,若(X，Y)為離散型，,若(X，Y)為連續(xù)型，,協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的計(jì)算,求 cov

2、 (X，Y)，XY ,例1已知 X，Y 的聯(lián)合分布為：,X,Y,pij,1 0,1 0,p 0,0 q,0 p 1 p + q = 1,解,例2設(shè) ( X ，Y ) N ( 1，12，2，22，)， 求 XY ,解,若 ( X，Y ) N (1，12，2，22，)，則X，Y相互獨(dú)立,X，Y 不相關(guān),例3設(shè) X，Y 相互獨(dú)立，且都服從 N (0， 2)，U = aX + bY，V= aX - bY，a，b為常數(shù)，且都不為零，求UV ,解,由,而,故,繼續(xù)討論：a，b 取何值時(shí)，U，V 不相關(guān)？ 此時(shí)，U，V 是否獨(dú)立？,協(xié)方差的性質(zhì),當(dāng)D(X ) 0， D(Y ) 0 時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)，等式成立

3、,Cauchy-Schwarz不等式,協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),證明令,對(duì)任何實(shí)數(shù) t ，,即,等號(hào)成立,有兩個(gè)相等的實(shí)零點(diǎn),即,又顯然,即,即Y 與X 有線性關(guān)系的概率等于1，這種線性關(guān)系為,相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),Cauchy-Schwarz不等式的等號(hào)成立,即Y 與X 有線性關(guān)系的概率等于1，這種線性關(guān)系為,X，Y 不相關(guān),X，Y 相互獨(dú)立,X，Y 不相關(guān),若 X，Y 服從二維正態(tài)分布，X，Y 相互獨(dú)立,X，Y 不相關(guān),在例1中已知 X ，Y 的聯(lián)合分布為,例4設(shè) ( X，Y ) N (1，4；1，4；0.5)，Z = X + Y，求 XZ,解,定義設(shè)X1，Xn為n個(gè)r.v.，記bij=cov(X

4、i，Xj)，i，j=1，2，n則稱由bij組成的矩陣為隨機(jī)變量X1，Xn的協(xié)方差矩陣B即,以前講過的n維正態(tài)分布的形式中就有協(xié)方差矩陣,3.3.2 協(xié)方差矩陣,顯然,bii=DXi，i =1，2，n bik=bki，i，k =1，2，n,故協(xié)方差矩陣B是對(duì)稱矩陣由柯西-許瓦茲不等式有,如果我們記,則有,因此B為,稱為列隨機(jī)向量X的數(shù)學(xué),的方差，其中,期望,對(duì)任意實(shí)數(shù)t1，tn，有,如果記t=(t1，tn)，上式即為,證明設(shè),協(xié)方差矩陣的性質(zhì),的概率密度函數(shù)，則,以及,分別為,這表示B是非負(fù)定的，由矩陣論的二次型理論知，對(duì)任意正整數(shù)k(1kn)，有,如果X1， ，Xn相互獨(dú)立，則B為對(duì)角矩陣,證明因?yàn)閄1， , Xn相互獨(dú)立，所以當(dāng)kI時(shí)，,所以B為對(duì)角矩陣,作業(yè) P208 習(xí)題三,35，36,單擊此處編輯母版文本樣式 第二級(jí) 第三級(jí) 第四級(jí) 第五級(jí),放映結(jié)束 感謝各位的批評(píng)指導(dǎo)！,讓我們共同進(jìn)步,母 愛母愛是傘，為你遮風(fēng)擋雨。 母愛是衣，為你送去溫暖。 母愛是燈，為你送去光明。 母愛是