1、用概率判生死：法庭上的數(shù)學(xué)證據(jù)如果你哪天不留神做錯(cuò)了一道概率題會(huì)有什么不堪設(shè)想的嚴(yán)重后果？自然是沒(méi)有的。我想最多也就是考試掛科，補(bǔ)考重修而已?？墒菍?duì)于法庭上那幫戴著假發(fā)的人來(lái)說(shuō)，概率沒(méi)算好可以讓無(wú)辜的人進(jìn)監(jiān)獄，讓真正的罪犯逍遙法外。聽(tīng)起來(lái)似乎不可思議，但這樣的事情真的發(fā)生過(guò)。洛杉磯搶劫案歷史上最著名的案例要數(shù)1964年夏天發(fā)生在美國(guó)洛杉磯的一起劫案。一天中午，一位老婦人從雜貨店買了東西推著小車回家，途經(jīng)一條小巷時(shí)，突然被一位沖過(guò)來(lái)的年輕女子推倒，等老婦人醒過(guò)神來(lái)，發(fā)現(xiàn)自己身上的錢包已被偷走，女賊也早跑了很遠(yuǎn)。雖然老婦人沒(méi)有看清罪犯是什么樣子，可小巷周圍的不少住戶都曾與這位女子擦肩而過(guò)，并且看到

2、她在街頭跳上一輛車逃離現(xiàn)場(chǎng)。后來(lái)警方根據(jù)目擊者描述的犯罪者特征，幾天后在附近逮捕了一對(duì)夫妻（MalcolmCollins和JanetCollins.Malcolm）。可是在法庭上，目擊者中并沒(méi)有人能夠清晰地指認(rèn)出罪犯，因此檢方很難將2人定罪。于是檢察官們想出了一個(gè)“新穎的辦法”，他們把目擊證人說(shuō)出的幾條主要特征列了出來(lái)，并且根據(jù)洛杉磯地區(qū)的數(shù)據(jù)估算了這些特征會(huì)出現(xiàn)的概率：黃色的汽車：1/10嘴上面有短胡子的男性：1/4絡(luò)腮胡子的黑人：1/10馬尾辮女孩：1/10金發(fā)女孩：1/3汽車中有膚色不同的夫妻倆：1/1000檢察官找來(lái)一位“數(shù)學(xué)專業(yè)人士”，計(jì)算了在整個(gè)洛杉磯地區(qū)符合上述各條特征的夫婦存在

3、的概率，這位“數(shù)學(xué)專業(yè)人士”認(rèn)為最后的概率應(yīng)該是6個(gè)概率值乘到一起，結(jié)果就是1/1200萬(wàn)。檢察官據(jù)此告知評(píng)審團(tuán)，如此小的概率很難發(fā)生，附近地區(qū)很難再找到另外一對(duì)6項(xiàng)特征全部符合的夫婦，所以這對(duì)嫌疑人一定是罪犯。陪審團(tuán)最終采納了檢方的意見(jiàn)，判定這對(duì)夫婦搶劫罪成立?？墒呛髞?lái)加州高等法院駁回了這個(gè)判決，他們認(rèn)為檢方使用的概率作為證據(jù)的方式是錯(cuò)誤的。首先，概率乘法公式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一定要在A,B,C都是獨(dú)立事件的時(shí)候才成立，可是目擊者提供的那些特征并不相互獨(dú)立，比如留八字胡的男性和留絡(luò)腮胡的男性這兩項(xiàng)，“男性”這個(gè)信息是重疊的，而喜歡留胡子的人往往兩個(gè)位置都會(huì)留胡子，兩個(gè)特征

4、高度關(guān)聯(lián)，同時(shí)發(fā)生的概率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于兩個(gè)數(shù)字相乘。馬尾辮女孩和短發(fā)女孩也是同樣的道理。這樣的話，正確的概率可能會(huì)是1/1200萬(wàn)的很多倍，并沒(méi)有那么低。退一步說(shuō)，假定概率真的是1/1200萬(wàn)，以案發(fā)附近地區(qū)有400萬(wàn)人算，至少有2對(duì)夫婦符合目擊者全部特征的概率是1-(11999999/12000000)4000000，超過(guò)30%，也就是說(shuō)，僅僅根據(jù)1/1200萬(wàn)的概率斷就判定這對(duì)夫婦是唯一的也沒(méi)有道理。母親殺子案類似的用數(shù)學(xué)計(jì)算來(lái)判案還不止一次。1999年，英國(guó)也有一次“概率定罪”的案件。一個(gè)SallyClark的婦女第一個(gè)孩子出生之后幾個(gè)星期離奇死亡，醫(yī)生查不出其他病因，只診斷為一種叫SIDS（

5、嬰兒猝死綜合癥）的罕見(jiàn)疾病。隨后Clark再次懷孕，第2個(gè)孩子也在出生后幾個(gè)星期死亡，原因再次被診斷為SIDS。這件事引起了警方的懷疑，警方認(rèn)為2個(gè)孩子有可能是“被猝死”的，將Clark逮捕。在法庭上，檢方引用醫(yī)生的證明，聲稱SIDS這種病發(fā)病率很低，而且不是遺傳病，所以可以把兩個(gè)孩子的SIDS死亡看作獨(dú)立事件，相乘之后的概率只有1/7300萬(wàn)。和洛杉磯劫案類似，概率在這里再次被當(dāng)做一個(gè)關(guān)鍵證據(jù)。檢方以此說(shuō)服了陪審團(tuán)，法庭最后認(rèn)為兩個(gè)孩子連續(xù)得這種突發(fā)罕見(jiàn)疾病的概率很低，很難發(fā)生，Clark殺死孩子罪行應(yīng)該成立，被送入監(jiān)獄。和上一個(gè)故事的結(jié)局一樣，這個(gè)判決后來(lái)也被推翻了，Clark被無(wú)罪釋放。

6、不妨讓我們來(lái)看看檢方的觀點(diǎn)。他們認(rèn)為P(兩個(gè)孩子都死于SIDS)=1/73000000，那么P(Clark殺了兩個(gè)孩子)=1-1/73000000=72999999/73000000，幾乎是鐵定的事實(shí)。但是，檢方疏忽了一個(gè)非常關(guān)鍵的事實(shí)，那就是上面這個(gè)推理只有在P(兩個(gè)孩子都死于SIDS)+P(Clark殺了孩子)=1時(shí)才成立。事實(shí)上，除了這兩種情況外還有其他可能，檢方并不能完全排除。英國(guó)皇家統(tǒng)計(jì)學(xué)會(huì)后來(lái)指出，真要計(jì)算的話，一位母親連續(xù)殺死自己兩個(gè)親骨肉這樣極其變態(tài)行為發(fā)生的可能性同樣是極低的，甚至低于兩個(gè)孩子都死于SIDS病的可能性。在判斷概率的時(shí)候，不能只看P(兩個(gè)孩子都死于SIDS)有多

7、小，還要看和P（母親連續(xù)殺死兩個(gè)孩子）做相對(duì)比較。最后上訴的一方憑借更加全面的解釋和一些新證據(jù)（比如第二個(gè)孩子可能受過(guò)細(xì)菌感染，有可能既不是死于SIDS，也不是被殺）成功地為Clark洗脫罪名。辛普森案【辛普森在法庭上演示將手伸進(jìn)手套（證物）時(shí)，非常費(fèi)力和勉強(qiáng)?！康谌齻€(gè)案件是美國(guó)的1994年到1995年的Simpson辛普森案件,辛普森是當(dāng)年著名的橄欖球明星，因?yàn)樯嫦託⒑ψ约旱钠拮颖黄鹪V，引起軒然大波，當(dāng)時(shí)估計(jì)全美有1億人看了對(duì)這個(gè)案件的電視轉(zhuǎn)播。腰纏萬(wàn)貫的辛普森花高價(jià)聘請(qǐng)“夢(mèng)幻組合律師團(tuán)”為自己辯護(hù)，其中包括哈佛大學(xué)法學(xué)院的教授AlanDershowitz，作為一位百戰(zhàn)百勝的律師，Alan在

8、這個(gè)案件中作為辯方一員再次大展身手。本來(lái)警方在案件現(xiàn)場(chǎng)收集到了很多證據(jù)，包括帶血的手套、血跡、現(xiàn)場(chǎng)DNA檢驗(yàn)。為了證實(shí)辛普森是有意圖殺害自己妻子的，警方還特意收集了大量辛普森長(zhǎng)期毆打虐待妻子的證據(jù)。似乎辛普森難逃被定罪伏法的命運(yùn)，可是辯護(hù)律師們通過(guò)各種方法一一化解掉了檢方的所有證據(jù)，護(hù)律師團(tuán)還宣稱洛杉磯警察局有其他失職行為。在經(jīng)歷了長(zhǎng)達(dá)9個(gè)月的審判后，辛普森被宣判無(wú)罪。在9個(gè)月的馬拉松式審判中，有一個(gè)用數(shù)學(xué)來(lái)辯護(hù)的小插曲。就是在對(duì)于虐待妻子這一條上，大律師Alan用概率的方法在法庭上辯解，“美國(guó)每年有400萬(wàn)婦女被丈夫或男友毆打，可是美國(guó)每年只有1432名婦女被丈夫殺死，這樣說(shuō)明那些長(zhǎng)期虐待妻子的男人最后出手殺人的概率也就1/2500，檢方的說(shuō)法不靠譜”。Alan的辯詞似乎聽(tīng)起來(lái)挺有道理，檢察官一時(shí)“反應(yīng)不過(guò)來(lái)”，提不出好的理由進(jìn)行反駁?？墒菑母怕实慕嵌壬峡矗珹lan的辯詞只是狡辯而已。我們定義事件A是一個(gè)美國(guó)人虐待了妻子，B是一個(gè)美國(guó)人殺了妻子。在事先沒(méi)有任何給定信息的前提下，Alan律師估計(jì)的條件概率是P(B|A)=1/2500。但現(xiàn)實(shí)是，事件A已經(jīng)發(fā)生，辛普森確實(shí)虐待了妻子，概率為1。他的妻子被殺的事情也已經(jīng)發(fā)生，只是不清楚是誰(shuí)