1、5.3平面向量的數(shù)量積與平面向量的應(yīng)用,-2-,知識梳理,雙基自測,自測點(diǎn)評,1.兩向量的夾角與垂直 (1)夾角:已知兩個非零向量a和b,如上圖,作 =b,則AOB=(0180)叫向量a與b的夾角. 范圍:向量a與b的夾角的范圍是0180. 當(dāng)=0時,a與b同向. 當(dāng)=180時,a與b反向. (2)垂直:如果a與b的夾角是90,則稱a與b垂直,記作ab. 2.射影的概念:|b|cos 叫向量b在a方向上的射影.,-3-,知識梳理,雙基自測,自測點(diǎn)評,3.向量的數(shù)量積 (1)定義:已知兩個向量a與b,它們的夾角為,則數(shù)量|a|b|cos 叫a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作ab,即ab=|a|b|c

2、os ,由定義可知零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即0a=0. (2)數(shù)量積的幾何意義:數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的射影|b|cos 的乘積,或b的長度|b|與a在b方向上的射影|a|cos 的乘積.,-4-,知識梳理,雙基自測,自測點(diǎn)評,4.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),為向量a,b的夾角. (1)數(shù)量積:ab=|a|b|cos =x1x2+y1y2.,(5)已知兩非零向量a與b,abab=0 x1x2+y1y2=0;abab=|a|b|. (6)|ab|a|b|(當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立),即,-5-,知識梳理,雙基自測,自測

3、點(diǎn)評,5.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)ab=ba(交換律). (2)ab=(ab)=a(b)(結(jié)合律). (3)(a+b)c=ac+bc(分配律). 6.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式 (1)(a+b)(a-b)=a2-b2. (2)(ab)2=a22ab+b2.,知識梳理,雙基自測,自測點(diǎn)評,7.向量在平面幾何中的應(yīng)用,8.向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用 對于向量與三角函數(shù)結(jié)合的題目,其解題思路是用向量運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化,化歸為三角函數(shù)問題或三角恒等變形等問題或解三角形問題.,知識梳理,雙基自測,自測點(diǎn)評,9.向量在解析幾何中的應(yīng)用 向量在解析幾何中的應(yīng)用,主要是以向量的數(shù)量積給出一種條件,通過向量轉(zhuǎn)化,

4、進(jìn)而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系等相關(guān)知識來解答. 10.向量在物理中的應(yīng)用 物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量,它們的分解、合成與向量的加減法相似,因此可以用向量的知識來解決某些物理問題;物理學(xué)中的功是一個標(biāo)量,是力F與位移s的數(shù)量積,即W=|F|s|cos (為F與s的夾角).,2,-8-,知識梳理,雙基自測,3,4,1,5,自測點(diǎn)評,1.下列結(jié)論正確的畫“”,錯誤的畫“”. (1)一個向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量,且有正有負(fù). () (2)若ab0,則a和b的夾角為銳角;若ab0,則a和b的夾角為鈍角. () (3)若ab=0,則必有ab. () (4)(ab)c=a(bc). ()

5、 (5)若ab=ac(a0),則b=c. (),答案,-9-,知識梳理,雙基自測,自測點(diǎn)評,2,3,4,1,5,2.已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,則m=() A.-8B.-6C.6D.8,答案,解析,-10-,知識梳理,雙基自測,自測點(diǎn)評,2,3,4,1,5,A.30B.45C.60D.120,答案,解析,-11-,知識梳理,雙基自測,自測點(diǎn)評,2,3,4,1,5,4.已知|a|=2,|b|=4,ab=4 ,則a與b的夾角=.,答案,解析,-12-,知識梳理,雙基自測,自測點(diǎn)評,2,3,4,1,5,5.已知a=(2,-1),b=(,3),若a與b的夾角為鈍角,則的取

6、值范圍是.,答案,解析,-13-,知識梳理,雙基自測,自測點(diǎn)評,1.因為|a|b|cos 和|b|cos 都是數(shù)量,所以ab和b在a方向上的投影都是一個數(shù)量,而不是向量. 2.對于兩個非零向量a與b,由于當(dāng)=0時,ab0,所以ab0是兩個向量a,b夾角為銳角的必要而不充分條件;ab=0也不能推出a=0或b=0,因為ab=0時,有可能ab. 3.在實數(shù)運(yùn)算中,若a,bR,則|ab|=|a|b|;若ab=ac(a0),則b=c.但對于向量a,b卻有|ab|a|b|;若ab=ac(a0),則b=c不一定成立,原因是ab=|a|b|cos ,當(dāng)cos =0時,b與c不一定相等. 4.向量數(shù)量積的運(yùn)算不

7、滿足乘法結(jié)合律,即(ab)c不一定等于a(bc),這是由于(ab)c表示一個與c共線的向量,而a(bc)表示一個與a共線的向量,而c與a不一定共線.,-14-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,答案,-15-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-16-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-17-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,解題心得1.求兩個向量的數(shù)量積有三種方法: (1)當(dāng)易知向量的模和夾角時,利用定義求解,即ab=|a|b|cos (其中是向量a與b的夾角). (2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時,可利用坐標(biāo)法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2. (3)利用數(shù)量積的幾何意義.數(shù)量積ab等于a的

8、長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積. 2.解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運(yùn)算問題時,可利用向量的加減運(yùn)算或數(shù)量積的運(yùn)算律化簡.但一定要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ).,-18-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對點(diǎn)訓(xùn)練1(1)(2016天津,文7)已知ABC是邊長為1的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接DE并延長到點(diǎn)F,使得 (2)已知a=(1,2),2a-b=(3,1),則ab=() A.2B.3C.4D.5 (3)已知兩個單位向量e1,e2的夾角為 ,若向量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,則b1b2=.,答案,-19-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)

9、3,-20-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-21-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-22-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,答案,-23-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-24-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-25-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,解題心得1.求向量的模的方法: 的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算; (2)幾何法,利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量,再利用余弦定理等方法求解. 2.求向量模的最值(或范圍)的方法: (1)求函數(shù)最值法,把所求向量的模表示成某個變量的函數(shù)再求; (2)數(shù)形結(jié)合法,弄清所求的模表示的幾何意義,結(jié)合動點(diǎn)表示的圖形求解.,-26-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,答案,-27-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)

10、2,考點(diǎn)3,-28-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-29-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,答案,-30-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-31-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,答案,解析,-32-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-33-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-34-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-35-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,答案,-36-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-37-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,解題心得1.數(shù)量積大于0說明不共線的兩個向量的夾角為銳角,數(shù)量積等于0說明不共線的兩個向量的夾角為直角,數(shù)量積小于0說明不共線的兩個向量的夾角為鈍角. 2.若a,b為非零向量,則abab=0. 3.解決與向量有關(guān)的三角函數(shù)問

11、題的一般思路是應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想,即通過向量的相關(guān)運(yùn)算把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題. 4.向量在解析幾何中的作用: (1)載體作用:解決向量在解析幾何中的問題時關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”,導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題. (2)工具作用:利用數(shù)量積與共線定理可解決垂直、平行問題.特別地,向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較可行的方法.,-38-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(2)已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mR),且c與a的夾角等于c與b的夾角,則m=. (3)(2016山

12、東昌樂二中模擬)已知向量m=(2cos x,-1),n=(sin x-cos x,2)(0),函數(shù)f(x)=mn+3,若函數(shù)f(x)的圖像的兩個相鄰,B,2,-39-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,A,-40-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-41-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-42-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-43-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-44-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,1.平面向量的坐標(biāo)表示與向量表示的比較: 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),是向量a與b的夾角.,-45-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,2.計算數(shù)量積的三種方法:定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾何意義,要靈活選用,與圖形有關(guān)的不要忽略

13、數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用. 3.利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問題常用的方法與技巧. 4.解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問題,關(guān)鍵是準(zhǔn)確利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡已知條件,將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的有關(guān)問題解決. 5.解決向量與解析幾何的綜合問題,可將向量用點(diǎn)的坐標(biāo)表示,利用向量運(yùn)算及性質(zhì)轉(zhuǎn)化為解析幾何問題. 6.向量中有關(guān)最值問題的求解思路:一是“形化”,利用向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題;二是“數(shù)化”,利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值、不等式的解集、方程有解等問題.,-46-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,1.根據(jù)兩個非零向量夾角為銳角或鈍角與數(shù)量積的正、負(fù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化時,不要遺漏共線的情況. 2.|ab|a|b|當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立. 3.注意向量夾角和三角形內(nèi)角的關(guān)系.,-47-,思想方法函數(shù)思想與數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)量積中的應(yīng)用 典例1設(shè)e1,e2為單位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,yR.若e1,e2的夾角為 的最大值等于.,答案2,-48-,典