1、6.2 點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),一、問題的提出,二、無偏性,三、有效性,四、相合性,1,五、均方誤差,一、問題的提出,從前一節(jié)可以看到, 對(duì)于同一個(gè)參數(shù), 用不同的估計(jì)方法求出的估計(jì)量可能不同.然而, 原則上都可以作為未知參數(shù)的估計(jì)量.,問題,(1) 對(duì)于同一個(gè)參數(shù)究竟采用哪一個(gè)估計(jì)量好?,(2) 評(píng)價(jià)估計(jì)量優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)是什么?,下面介紹幾個(gè)常用標(biāo)準(zhǔn)：,2,二、無偏性,定義6.1,3,證,例1,4,特別地,不論總體 X 服從什么分布,只要它的數(shù)學(xué)期望存在,顯然,5,分析,例2,設(shè)總體X的方差Var(X)存在，且 Var (X) 0, (X1, X2 , , Xn ) 為來自總體X的樣本，試選擇適當(dāng)?shù)某?/p>

2、數(shù)C，使得,為Var (X)的無偏估計(jì).,需選擇C，使,6,而X1, X2 , , Xn 相互獨(dú)立，且與X 同分布,解,7,依題意，要求：,8,注,一般地，一個(gè)參數(shù) 的無偏估計(jì)量不唯一.,如：設(shè)樣本(X1, X2 , , Xn ) 來自總體X，E(X)=,也均是的無偏估計(jì).,問題：,對(duì)于同一個(gè)參數(shù)的多個(gè)無偏估計(jì)量，如何評(píng)價(jià)它們的優(yōu)劣？,9,三、有效性,換句話說，,的波動(dòng)越小，即方差,越小越好.,10,定義6.2,11,例3,來自總體X的樣本，問：下列三個(gè)對(duì) 的無偏估計(jì)量哪一個(gè)最有效？,12,解,一般地，(可用求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法證明)在 的無偏估計(jì)量,注,13,(1) 證,例4,14,1

3、5,16,解,17,18,三、相合性,例如,定義6.3,相合估計(jì)量(或一致,估計(jì)量).,19,證,(1) 由大數(shù)定律知,例5,20,由大數(shù)定律知,21,通過此例題,我們看到,要證明一個(gè)估計(jì)量具有相 合性,必須證明它依概率收斂,這有時(shí)很麻煩.因此,我們 下面我們不加證明的給出一個(gè)相合性的判定定理.,22,23,證明：,24,所以 是 的相合估計(jì),25,無偏估計(jì)不一定比有偏估計(jì)更優(yōu)。 評(píng)價(jià)一個(gè)點(diǎn)估計(jì)的好壞一般可以用：點(diǎn)估計(jì)值 與參數(shù)真值 的距離平方的期望，這就是下式給出的均方誤差 均方誤差是評(píng)價(jià)點(diǎn)估計(jì)的最一般的標(biāo)準(zhǔn)。我們希望估計(jì)的均方誤差越小越好。,四、均方誤差,26,注意到 ，因此 (1) 若 是 的無偏估計(jì)，則 ， 這說明用方差考察無偏估計(jì)有效性是合理的。 (2) 當(dāng) 不是 的無偏估計(jì)時(shí)，就要看其均方 誤差 。 下面的例子說明：在均方誤差的含義下有些有偏 估計(jì)優(yōu)于無偏估計(jì)。,27,例7 對(duì)均勻總體U(0, )，由 的極大似然估計(jì)得到的無偏估計(jì)是 ，它的均方誤差 現(xiàn)我們考慮的形如 的估計(jì)，其均方誤差為 用求導(dǎo)的方