1、1,高等量子力學(xué),年月,2,第一章 量子力學(xué)中的對稱性,年月,3,1.2時(shí)間、空間平移坐標(biāo)能量、動(dòng)量守恒,4,時(shí)間平移對稱能量守恒,與時(shí)間無關(guān)的物理?xiàng)l件，對應(yīng)的哈密頓 量亦與時(shí)間無關(guān) 顯然，在無窮小時(shí)間平移變換 下，不變 從狀態(tài)波函數(shù)在時(shí)間平移變換下 的變化規(guī)律，導(dǎo)出時(shí)間平移算符,5,時(shí)間平移對稱能量守恒,由 得 在時(shí)間平移變換下哈密頓量的變化 能量守恒,6,時(shí)間平移對稱能量守恒,有限大小的時(shí)間平移可通過連續(xù)地作無限 多次無窮小平移得到,7,空間平移對稱動(dòng)量守恒,自由運(yùn)動(dòng)的例子 哈密頓量 考慮坐標(biāo)系沿方向作無窮小平移,8,空間平移對稱動(dòng)量守恒,從狀態(tài)波函數(shù)在空間平移變 換下的變化規(guī)律，導(dǎo)出空間

2、平移算符,9,空間平移對稱動(dòng)量守恒,有限大小的時(shí)間平移可認(rèn)為通過連續(xù)作無限多次無窮小平移而得到 沿任意方向作平移,10,1.3空間旋轉(zhuǎn)對稱角動(dòng)量守恒,11,空間旋轉(zhuǎn)對稱角動(dòng)量守恒,許多物理?xiàng)l件在空間旋轉(zhuǎn)變換下不變 例： 自由運(yùn)動(dòng) 中心力場,12,空間旋轉(zhuǎn)對稱角動(dòng)量守恒, ,13,空間旋轉(zhuǎn)對稱角動(dòng)量守恒,用矩陣表示 還可表示為 幾何轉(zhuǎn)動(dòng)算符,14,空間旋轉(zhuǎn)對稱角動(dòng)量守恒,同樣可證 又 哈密頓量在旋轉(zhuǎn)變換下不變 即， 從波函數(shù)在坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變換下的變化規(guī) 律，可導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)變換算符,15,空間旋轉(zhuǎn)對稱角動(dòng)量守恒,利用 及 可得,16,空間旋轉(zhuǎn)對稱角動(dòng)量守恒,通過連續(xù)作無窮多次無窮小轉(zhuǎn)動(dòng)可得到有限大小的轉(zhuǎn)

3、動(dòng)算符 繞任意軸轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)動(dòng)算符為,17,空間旋轉(zhuǎn)對稱角動(dòng)量守恒,若 則必有 若哈密頓量具有旋轉(zhuǎn)對稱性，就有 角動(dòng)量守恒,18,空間旋轉(zhuǎn)對稱角動(dòng)量守恒,關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)算符有不同的定義，但最后得 到同樣的轉(zhuǎn)動(dòng)算符 以上討論的波函數(shù)為標(biāo)量函數(shù)，所得角 動(dòng)量（僅）與軌道角動(dòng)量有關(guān),19,空間旋轉(zhuǎn)對稱角動(dòng)量守恒,關(guān)于矢量函數(shù)在旋轉(zhuǎn)變換下的討論 ,20,空間旋轉(zhuǎn)對稱角動(dòng)量守恒,后式代入前式 又 比較得,21,空間旋轉(zhuǎn)對稱角動(dòng)量守恒,類似可得 寫成矩陣形式,22,空間旋轉(zhuǎn)對稱角動(dòng)量守恒,其中,23,空間旋轉(zhuǎn)對稱角動(dòng)量守恒,改寫為 再令 則,24,空間旋轉(zhuǎn)對稱角動(dòng)量守恒, 對應(yīng)地，有,25,空間旋轉(zhuǎn)對稱角動(dòng)量守恒,

4、 若哈密頓量具有轉(zhuǎn)動(dòng)對稱性，必有總角 動(dòng)量守恒,26,空間旋轉(zhuǎn)對稱角動(dòng)量守恒,由 知 當(dāng)某微觀粒子的狀態(tài)需要用矢量函數(shù)來描述的話，則該粒子自旋為。 例：光子,27,1.4空間反演對稱宇稱守恒,28,宇稱算符定義與本征值,定義 本征問題,29,宇稱算符厄米性與幺正性,厄米性 幺正性,30,空間反演對稱性宇稱守恒,各向同性諧振子位、庫侖位等中心力場在空間反演變換下不變 空間反演變換 笛卡爾坐標(biāo)系下；球坐標(biāo)系下,31,空間反演對稱性宇稱守恒,中心力場中運(yùn)動(dòng)的粒子在空間反演變換下 哈密頓量的變化 波函數(shù)的變化,32,1.5對稱性與力學(xué)量完全集,33,空間反演對稱性宇稱守恒,求解薛定諤方程總希望 得到確

5、定解包含能量在內(nèi)的力學(xué)量完全 集的共同本征函數(shù) 例：庫侖場,34,空間反演對稱性宇稱守恒,若只求能量算符的本征函數(shù)，則無法完 全確定（與簡并性相聯(lián)系） 為得到包含能量的力學(xué)量完全集，需分 析能量算符的對稱性 例：對彈性力場 構(gòu)成力學(xué)量完全集,35,1.5時(shí)間反演對稱性,36,時(shí)間反演變換概述,反幺正變換，不變性不導(dǎo)致守恒量 應(yīng)用核物理中的對關(guān)聯(lián)理論； 固體的超導(dǎo)理論 具有時(shí)間反演不變性的情況強(qiáng)、電磁 作用 不具有時(shí)間反演不變性的情況 核物理中光學(xué)模型；弱作用,37,時(shí)間反演態(tài),經(jīng)典情況 量子情況由薛定諤方程出發(fā)定義 作代換，并把兩邊取復(fù)數(shù)共軛 稱為的 時(shí)間反演態(tài),38,時(shí)間反演態(tài),是同一個(gè)薛定

6、諤方程 的解 凡實(shí)的哈密頓算符都具有時(shí)間反演 不變性,39,反幺正算符反線性算符,反線性算符及其性質(zhì) 反線性算符的代數(shù)運(yùn)算規(guī)則 、與復(fù)常數(shù)相乘 、任意兩個(gè)反線性算符的和 仍為反線性算符,40,反幺正算符反線性算符,反線性算符的代數(shù)運(yùn)算規(guī)則（續(xù)） 、任意兩個(gè)反線性算符的乘積 為線性算符 、逆若，且存在使得 有,41,反幺正算符反線性算符,反線性算符的代數(shù)運(yùn)算規(guī)則（續(xù)） 、厄米共軛,42,反幺正算符反幺正算符,定義 例一復(fù)數(shù)共軛算符 反線性的證明 求逆 求厄米共軛,43,反幺正算符反幺正算符,例二幺正算符與復(fù)數(shù)共軛算符的乘 積 反線性的證明 求逆 求厄米共軛,44,反幺正算符反幺正算符,反幺正算符的性質(zhì) 特例 把反幺正算符看作一種變換 變換前后態(tài)矢的標(biāo)量積互為復(fù)數(shù)共軛 變換前后態(tài)矢的模不變,45,反幺正算符反幺正算符,算符的變化規(guī)律 另類證明 特例：取算符為復(fù)常數(shù),46,時(shí)間反演算符,算符定義 反幺正性的證明 可證 幺正？反幺正？,47,時(shí)間反演算符,可設(shè)時(shí)間反演算符為 的具體表達(dá)式例一自旋為零的粒子,48,時(shí)間反演算符,例一自旋為零的粒子,49,時(shí)間反演算符,的表達(dá)式例二自旋不為零的粒子 須考慮自旋角動(dòng)量 在時(shí)間反演變換下，應(yīng)與軌道角動(dòng)量 有相同變化規(guī)律 寫為分量形式，與上式比較有,50,時(shí)間反演算符,