1、【考綱下載】,1. 了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次) 2了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次)；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次) 3會利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題.,第13講 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,設(shè)函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則 (1)f(x)0f(x)為 ； (2)f(x)0(f(x)0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間內(nèi)為增 (減)函數(shù)的充分條件，而不是必要條件，如果出現(xiàn)個別點(diǎn)使 f(x)0，不會影響函數(shù)f(x)在包含該點(diǎn)的某個區(qū)間內(nèi)的

2、單調(diào)性,增函數(shù),減函數(shù),常函數(shù),1函數(shù)的單調(diào)性,(1)函數(shù)的極值 一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)在xx0及其附近有定義，如果f(x0)的值比x0 的 函數(shù)值都大，就說f(x0)是函數(shù)yf(x)的一個極大值；如果f(x0)的值 比x0 的函數(shù)值都小，就說f(x0)是函數(shù)yf(x)的一個極小值 極大值與極小值統(tǒng)稱極值,附近所有各點(diǎn),附近所有各點(diǎn),2函數(shù)的極值,(2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟 求導(dǎo)數(shù)f(x)； 求方程f(x)0的根； 檢驗(yàn)f(x)在方程f(x)0根的左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么函數(shù)yf(x) 在這個根處取得 值；如果左負(fù)右正，那么函數(shù)yf(x) 在這個根處取得 值,極大,極小,提示：可導(dǎo)

3、函數(shù)的極值點(diǎn)必須是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，即f(x0)0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在xx0處取得極值的必要不充分條件也就是說x0是極值點(diǎn)的充分條件是在x0點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不是f(x0)0.例如函數(shù)yx3在x0處有y|x00，但x0不是極值點(diǎn)此外，函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn),求可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的最大值與最小值的步驟： 求yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值(極大值或極小值)； 將yf(x)在各極值點(diǎn)的極值與 、 比較，其中最大的一個是 最大值，最小的一個是最小值 提示：函數(shù)的極值表示函數(shù)在某一點(diǎn)附近的情況，是在局部上對函數(shù)值的 比較；函數(shù)的最值表示函數(shù)在一個區(qū)間上的

4、情況，是對函數(shù)在整個區(qū)間上 的函數(shù)值的比較函數(shù)的極值不一定是最值，最值也不一定是極值,f(a),f(b),3函數(shù)的最值,1(2009湖南卷)若函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間a，b上是增函 數(shù)，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象可能是(),解析：由 在 上是增函數(shù)，知函數(shù) 的圖象上點(diǎn)的切線斜率隨 D 的增大而增大， B 選項(xiàng)中，切線斜率遞減，C選項(xiàng)切線斜率不變， 選項(xiàng)切線斜率先增加后減小，只有 A 選項(xiàng)符合題意，故選 A項(xiàng) 答案：A,2函數(shù)f(x)x33x22在區(qū)間1,1上的最大值是() A2 B0 C2 D4 解析：f(x)3x26x，令f(x)0，得x0，x2(舍去) 比較f(1)，f(0)

5、，f(1)的大小知f(x)maxf(0)2. 答案：C,3函數(shù)f(x)x3x23xa的極值個數(shù)是() A2 B1 C0 D與a值有關(guān) 解析：f(x)3x26x3，令f(x)0可得x1， 而當(dāng)x1時，f(x)0，所以函數(shù)f(x)沒有極值 答案：C,4(2009江蘇卷)函數(shù)f(x)x315x233x6的單調(diào)減區(qū)間 為_ 解析：f(x)3x230 x333(x210 x11) 3(x1)(x11)0，解得：1x11，故減區(qū)間為(1，11) 答案：(1,11),1.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本步驟 (1)確定函數(shù)f(x)的定義域； (2)求導(dǎo)數(shù)f(x)； (3)由f(x)0或f(x)0 時，f(x)在相應(yīng)的區(qū)

6、間上是增函數(shù)；當(dāng)f(x)0時，f(x)在 相應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù),2已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)范圍 設(shè)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，若f(x)在(a，b)內(nèi)是增函數(shù)，則可 得f(x)0，從而建立了關(guān)于待求參數(shù)的不等式，同理，若 f(x)在(a，b)內(nèi)是減函數(shù)，則可得f(x)0.,(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間； (2)若f(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍 思維點(diǎn)撥：(1)通過解f(x)0求單調(diào)遞增區(qū)間；(2)轉(zhuǎn)化為恒成立問題，求a. 解：(1)f(x)exax1，f(x)exa. 令f(x)0得exa， 當(dāng)a0時，有f(x)0在R上恒成立； 當(dāng)a0時，有xln a. 綜上，當(dāng)a0時，f(x)

7、的單調(diào)增區(qū)間為(，)； 當(dāng)a0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為ln a，),【例1】 已知f(x)exax1.,(2)f(x)exax1，f(x)exa. f(x)在R上單調(diào)遞增， f(x)exa0恒成立， 即aex，xR恒成立 xR時，ex(0，)，a0.,(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間 內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍 解：(1)f(x)x3ax2x1， 求導(dǎo)：f(x)3x22ax1， 當(dāng)0，即a23時，f(x)0，f(x)在R上單調(diào)遞增，,變式1：已知函數(shù)f(x)x3ax2x1，aR.,當(dāng)0，即a23時， 令f(x)0求得兩根為x 即f(x)在 上單調(diào)遞增， 在 上單

8、調(diào)遞減， 在 上單調(diào)遞增,(2)若函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)是減函數(shù)，則說明f(x)3x22ax10兩根在區(qū)間 外，由此f 0，且f 0，由此可以解得a2.因此a的取值范圍是2，).,區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值不是函數(shù)的極值，函數(shù)的極大值不一定比極小值大求極值分三個步驟：求導(dǎo)數(shù)f(x)；求f(x)0的根x0；在x0的兩側(cè)附近，f(x)左正右負(fù)時，f(x0)為極大值，f(x)左負(fù)右正時，f(x0)為極小值，f(x)左右同號時，f(x0)不是極值,【例2】 (2009天津卷)設(shè)函數(shù)f(x) x3x2(m21)x(xR)， 其中m0. (1)當(dāng)m1時，求曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線的斜率； (2)求函數(shù)f(x

9、)的單調(diào)區(qū)間與極值 思維點(diǎn)撥：(1)求f(x)，再求f(1)； (2)求f(x)，令f(x)0，求x，再列出f(x)，f(x)的變化 情況表，即可寫出單調(diào)區(qū)間與極值,解：(1)當(dāng)m1時，f(x) x3x2，f(x)x22x，故f(1)1. 所以曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線的斜率為1. (2)f(x)x22xm21. 令f(x)0，解得x1m，或x1m. 因?yàn)閙0，所以1m1m.當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：,所以f(x)在(，1m)，(1m，)上是減函數(shù)，在 (1m，1m)上是增函數(shù) 函數(shù)f(x)在x1m處取得極小值f(1m)， 且f(1m) m3m2 . 函數(shù)f

10、(x)在x1m處取得極大值f(1m)， 且f(1m) m3m2 .,變式2：設(shè)x1與x2是函數(shù)f(x)aln xbx2x的兩個極值點(diǎn) (1)試確定常數(shù)a和b的值； (2)試判斷x1，x2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)， 并求相應(yīng)極值,解：(1)f(x) 2bx1， 由已知得： ， .,(2)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如表：,在x1處函數(shù)f(x)取得極小值 ；在x2處，函數(shù)f(x)取得極大 值 ln 2.,1. 函數(shù)的最大值和最小值是一個整體性概念，最大值必須是整個區(qū)間所有函數(shù)值中的最大值，最小值必須是整個區(qū)間上所有函數(shù)值中的最小值 2函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函

11、數(shù)值得出來的，函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出來的,【例3】 已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)x2(xa) (1)若f(1)3，求a的值及曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線 方程； (2)求f(x)在區(qū)間0,2上的最大值,解：(1)f(x)3x22ax.因?yàn)閒(1)32a3，所以a0. 又當(dāng)a0時，f(1)1，f(1)3，所以曲線yf(x)在(1，f(1)處的切 線方程為3xy20.,(2)令 f(x)0，解得x10，x2 . 當(dāng) 0，即a0時，f(x)在0,2上單調(diào)遞增，從而f(x)maxf(2)84a. 當(dāng) 2，即a3時，f(x)在0,2上單調(diào)遞減，從而f(x)maxf(0)0. 當(dāng)

12、0 2，即0a3時，f(x)在 上單調(diào)遞減，在 上單 調(diào)遞增，從而f(x)max 綜上所述，f(x)max,利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟 1分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模 型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系yf(x) 2求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)解方程f(x)0. 3比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f(x)0的點(diǎn)的數(shù)值的大小， 最大(小)者為最大(小)值,相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩經(jīng)測算，一 個橋墩的工程費(fèi)用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工 程費(fèi)用為(2 )x萬元假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)， 且不考慮其他因素記余下工程的費(fèi)用為y萬元

13、 (1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； (2)當(dāng)m640米時，需新建多少個橋墩才能使y最小？ 思維點(diǎn)撥：對(1)，先設(shè)輔助未知數(shù)，再確定函數(shù)關(guān)系；對(2)， 先利用導(dǎo)數(shù)求出最優(yōu)解,【例4】 (2009湖南卷)某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩,解：(1)設(shè)需新建n個橋墩，則(n1)xm，即n 1，所以yf(x)256n (n1)(2 )x256 (2 )x mm 2m256. 當(dāng)0 x64時，f(x)0，f(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù)； 當(dāng)64x640時，f(x)0，f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù) 所以f(x)在x64處取得最小值 此時n 1 19. 故需新建9個橋墩才能使y

14、最小.,【方法規(guī)律】,1注意判斷單調(diào)函數(shù)的充要條件，尤其對于已知單調(diào)性求參數(shù) 值(范圍)時，隱含恒成立思想 2求極值、最值時，要求步驟規(guī)范、表格齊全，含參數(shù)時，要 討論參數(shù)的大小 3在實(shí)際問題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點(diǎn)，那么只 要根據(jù)實(shí)際意義判定最大值還是最小值即可，不必再與端點(diǎn) 的函數(shù)值比較.,【高考真題】,(2009廣東卷)已知二次函數(shù)yg(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y2x平 行，且yg(x)在x1處取得最小值m1(m0)設(shè)函數(shù)f(x) . (1)若曲線yf(x)上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0,2)的距離的最小值為 ，求m的值 (2)k(kR)如何取值時，函數(shù)yf(x)kx存在零點(diǎn)，并求出零點(diǎn),

15、【規(guī)范解答】,解：設(shè)二次函數(shù)為g(x)ax2bxc，yg(x)2axb的圖象與直線y2x平行，a1.又yg(x)在x1處取得極小值m1，,g(1)a(1)2b(1)cm1，所以b2，cm，從而,(1)已知m0，設(shè)曲線yf(x)上點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(x，y)，則點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0,2)的距離為|PQ|,當(dāng)且僅當(dāng),時等號成立|PQ|的最小值為,當(dāng)m 0時，解得,當(dāng) 0時，解得,(2)yf(x) 的零點(diǎn)即方程,的解，m0，,若 k 1，(k 1)x22xm0,所以函數(shù)yf(x) 有零點(diǎn),由相同的解,若k1，(k1)x22xm0的判別式41m(k1) 若,此時函數(shù)yf(x)kx沒有零點(diǎn),【命題探究】,本題主要

16、考查函數(shù)與方程的極值問題、最值問題、零點(diǎn)問題，涉及到數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價轉(zhuǎn)化、待定系數(shù)法、解方程組等數(shù)學(xué)思想方法 本題屬于難題，綜合了不同模塊的知識與方法解答這類壓軸題目時，首先要仔細(xì)閱讀條件，閱讀過程中會有一些初步想法，或者可以直接計(jì)算出一些結(jié)果，這對解決整個問題可能會有作用然后可以想，有沒有見過類似的問題？或者題目中的部分問題有沒有見過？能不能畫個圖？(這點(diǎn)很關(guān)鍵)閱讀完題目后，能不能用自己的話再敘述一遍？這些就是解決問題的思維過程,問題1：已知二次函數(shù)yg(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y2x平行， 且yg(x)在x1處取得最小值m1(m0)，求二次函數(shù)解析式； 問題2: 的最小值為 ，求實(shí)數(shù)m； 問題3：討論方程的零點(diǎn),【發(fā)散思維】,例如上述例題，就可以將其分解成三個小問題：,這三個問題，對大多數(shù)高三學(xué)生來說，都不陌生綜合問題大多數(shù)也具有“拼盤”的特征，如果在閱讀的時候能夠把它“拆分”成若干小問題，再尋找突破口，就會顯得容易了解答的時候可以采取“各個擊破”