1、 1 第第 9 9 講講 隨機變量的數(shù)學(xué)期望隨機變量的數(shù)學(xué)期望與方差與方差 教學(xué)目的教學(xué)目的：1.掌握隨機變量的數(shù)學(xué)期望及方差的定義。 2.熟練能計算隨機變量的數(shù)學(xué)期望與方差。 教學(xué)重點：教學(xué)重點： 1隨機變量的數(shù)學(xué)期望 2隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 3數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 4方差的定義 5方差的性質(zhì) 教學(xué)難點：教學(xué)難點：數(shù)學(xué)期望與方差的統(tǒng)計意義。 教學(xué)學(xué)時：教學(xué)學(xué)時：2 學(xué)時。 教學(xué)過程：教學(xué)過程： 第三第三章章 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征 3.1 3.1 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分布，如果知道了隨機變量 X 的概率 分布，那么 X 的全部概率特征也就知道了。

2、然而，在實際問題中，概率分布一般是較 難確定的，而在一些實際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機變量的一切概率性質(zhì)，只要 知道它的某些數(shù)字特征就夠了。因此，在對隨機變量的研究中，確定其某些數(shù)字特征 是重要的，而在這些數(shù)字特征中，最常用的是隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差。 1 1離散離散隨機變量的數(shù)學(xué)期望隨機變量的數(shù)學(xué)期望 我們來看一個問題： 某車間對工人的生產(chǎn)情況進行考察。車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù) X 是一個隨機變 量，如何定義 X 取值的平均值呢？ 若統(tǒng)計 100 天，32 天沒有出廢品，30 天每天出一件廢品，17 天每天出兩件廢品， 21 天每天出三件廢品。這樣可以得到這 100 天中每天的平均廢品數(shù)

3、為 27. 1 100 21 3 100 17 2 100 30 1 100 32 0 這個數(shù)能作為 X 取值的平均值嗎？ 2 可以想象，若另外統(tǒng)計 100 天，車工小張不出廢品，出一件、二件、三件廢品的 天數(shù)與前面的 100 天一般不會完全相同，這另外 100 天每天的平均廢品數(shù)也不一定是 1.27。 對于一個隨機變量 X，若它全部可能取的值是, 21 xx， 相應(yīng)的概率為 , 21 PP， 則對 X 作一系列觀察(試驗)所得 X 的試驗值的平均值是隨機的。但是，如果試驗次數(shù) 很大，出現(xiàn) k x的頻率會接近于 K P，于是試驗值的平均值應(yīng)接近 1k kkp x 由此引入離散隨機變量數(shù)學(xué)期望的

4、定義。 定義定義 1 1 設(shè) X 是離散隨機變量，它的概率函數(shù)是 , 2 , 1,)()(kPxXPxp KKk 如果 1 | k kk px收斂，定義 X 的數(shù)學(xué)期望為 1 )( k kkp xXE 也就是說,離散隨機變量的數(shù)學(xué)期望是一個絕對收斂的級數(shù)的和。 例例 1 1 某人的一串鑰匙上有 n 把鑰匙，其中只有一把能打開自己的家門，他隨意地 試用這串鑰匙中的某一把去開門。若每把鑰匙試開一次后除去，求打開門時試開次數(shù) 的數(shù)學(xué)期望。 解解 設(shè)試開次數(shù)為 X，則 n kXp 1 )(，n, , 2 , 1k 于是 n k n kXE 1 1 )( 2 )1 (1nn n 2 1 n 2.2. 連

5、續(xù)連續(xù)隨機變量的數(shù)學(xué)期望隨機變量的數(shù)學(xué)期望 為了引入連續(xù)隨機變量數(shù)學(xué)期望的定義，我們設(shè) X 是連續(xù)隨機變量，其密度函數(shù) 為)(xf，把區(qū)間) , (分成若干個長度非常小的小區(qū)間，考慮隨機變量 X 落在任意 小區(qū)間 , (dxxx內(nèi)的概率，則有 3 )(dxxXxp= dxx x dxtf)(dxxf)( 由于區(qū)間 , (dxxx的長度非常小，隨機變量 X 在 , (dxxx內(nèi)的全部取值都可近似為 x，而取值的概率可近似為dxxf)(。參照離散隨機變量數(shù)學(xué)期望的定義，我們可以引 入連續(xù)隨機變量數(shù)學(xué)期望的定義。 定義定義 2 2 設(shè) X 是連續(xù)隨機變量，其密度函數(shù)為)(xf。如果 dxxfx)(|

6、 收斂，定義連續(xù)隨機變量 X 的數(shù)學(xué)期望為 dxxfxXE)()( 也就是說,連續(xù)隨機變量的數(shù)學(xué)期望是一個絕對收斂的積分。 由連續(xù)隨機變量數(shù)學(xué)期望的定義不難計算： 若),(baUX，即 X 服從), (ba上的均勻分布,則 2 )( ba XE 若 X 服從參數(shù)為的泊松分布，則 )(XE 若 X 服從則 ),( 2 N )(XE 3.3.隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 設(shè)已知隨機變量 X 的分布，我們需要計算的不是隨機變量 X 的數(shù)學(xué)期望，而是 X 的某個函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，比如說)(Xg的數(shù)學(xué)期望，應(yīng)該如何計算呢？這就是隨機變量 函數(shù)的數(shù)學(xué)期望計算問題。 一種方法是，因為)(Xg也

7、是隨機變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的 X 的分布求出來。 一旦我們知道了)(Xg的分布， 就可以按照數(shù)學(xué)期望的定義把)(XgE 計算出來，使用這種方法必須先求出隨機變量函數(shù))(Xg的分布，一般是比較復(fù)雜的。 4 那么是否可以不先求)(Xg的分布， 而只根據(jù) X 的分布求得)(XgE呢？答案是肯定的， 其基本公式如下： 設(shè) X 是一個隨機變量，)(XgY ，則 連續(xù) 離散 Xdxxfxg Xpxg XgEYEk kk ,)()( ,)( )()(1 當 X 是離散時, X 的概率函數(shù)為 , 2 , 1 ,)()(kPxXPxP KKk ； 當 X 是連續(xù)時，X 的密度函數(shù)為)(xf。

8、 該公式的重要性在于，當我們求Eg(X)時,不必知道g(X)的分布，而只需知道 X 的分布就可以了，這給求隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望帶來很大方便。 4.4.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) （1）設(shè)C是常數(shù)，則 E(C)=C 。 （2）若k是常數(shù)，則E(kX)=kE(X)。 （3）)E(X)E(X )XE(X 2121 。 推廣到 n 個隨機變量有 n i i n i i XEXE 11 )(。 （4）設(shè) X、Y 相互獨立，則有 E(XY)=E(X)E(Y)。 推廣到 n 個隨機變量有 n i i n i i XEXE 11 )( 5.5.數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用 例例 2 2 求二項分布

9、的數(shù)學(xué)期望。 解解 若 ),(pnBX，則 X 表示n重貝努里試驗中的“成功” 次數(shù)，現(xiàn)在我們來 求X的數(shù)學(xué)期望。 若設(shè) 次試驗失敗如第 次試驗成功如第 i i X i 0 1 i=1,2，n 5 則 n XXXX 21 ，因為 PXP i ) 1(，qPXP i 1)0( 所以ppqXE i 10)(，則 )(XEnpXEXE n i i n i i 11 )( 可見，服從參數(shù)為n和p的二項分布的隨機變量 X 的數(shù)學(xué)期望是np 。 需要指出，不是所有的隨機變量都存在數(shù)學(xué)期望。 例例 3 3 設(shè)隨機變量 X 服從柯西分布,概率密度為 xxf x ,)( )1( 1 2 求數(shù)學(xué)期望)(XE。 解

10、解 依數(shù)學(xué)期望的計算公式有 dxXE x x 1 1 2 )( 因為廣義積分dx x x 1 2 不收斂，所以數(shù)學(xué)期望)(XE不存在。 3.3.2 2 方差方差 前面我們介紹了隨機變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平，是隨 機變量一個重要的數(shù)字特征。但是在一些場合下，僅僅知道隨機變量取值的平均值是 不夠的，還需要知道隨機變量取值在其平均值附近的離散程度，這就是我們要學(xué)習的 方差的概念。 1. 1. 方差的定義方差的定義 定義定義 3 3 設(shè)隨機變量 X 的數(shù)學(xué)期望)(XE存在，若)( 2 XEXE存在，則稱 )( 2 XEXE (3.1) 為隨機變量 X 的方差，記作)(XD，即)(

11、)( 2 XEXEXD。 方差的算術(shù)平方根)(XD稱為隨機變量 X 的標準差，記作)(X，即 )()(XDX 由于)(X與 X 具有相同的度量單位，故在實際問題中經(jīng)常使用。 6 方差刻畫了隨機變量的取值對于其數(shù)學(xué)期望的離散程度，若 X 的取值相對于其數(shù) 學(xué)期望比較集中，則其方差較?。蝗?X 的取值相對于其數(shù)學(xué)期望比較分散，則方差較 大。若方差)(XD=0，則隨機變量 X 以概率 1 取常數(shù)值。 由定義 1 知，方差是隨機變量 X 的函數(shù) 2 )()(XEXXg的數(shù)學(xué)期望，故 連續(xù)時當 離散時當 XdxxfXEx pXEx XD k k kk ,)()( X ,)( )( 2 1 2 當 X 離

12、散時, X 的概率函數(shù)為 , 2 , 1 ,)()(kPxXPxP KKk ； 當 X 連續(xù)時，X 的密度函數(shù)為)(xf。 計算方差的一個簡單公式： 22 )()()(XEXEXD 證證 22 22 2 )()( )()(2 )()( XEXE xEXXEXE XEXEXD 請用此公式計算常見分布的方差。 例例 4 4 設(shè)隨機變量 X 服從幾何分布，概率函數(shù)為 1 )1 ( k k ppP, k=1,2,n 其中 0p1，求)(XD。 解解 記q =1-p 1 1 )( k k kpqXE 1 )( k k qp 1 )( k k qp) 1 ( q q p p 1 1 122) ( k k

13、pqkXE) 1( 1 1 1 1 k k k k kqqkkp 1 )( k k qqp+E(X) pq q qp 1 ) 1 ( pq qp 1 )1 ( 2 3 pp q12 2 7 22 )()()(XEXEXD 2 2 p p 2 1 p 2 1 p p 2. 2. 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì) （1）設(shè)C是常數(shù),則D(C)=0。 （2）若C是常數(shù),則)()( 2 XDCCXD。 （3）若X與Y 獨立，則 )()()(YDXDYXD。 證證 由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)及求方差的公式得 )()( )()()()( )()(2)( )()()(2)()( )()(2 )()()( 2222 2 222 2

14、22 22 YDXD YEYEXEXE YEXEYE XEYEXEYEXE YExEXYYXE YXEYXEYXD 可推廣為：若 1 X, 2 X， n X相互獨立，則 n i i n i i XDXD 11 )( n i ii n i ii XDCXCD 1 2 1 )( （4） D(X)=0 P(X= C)=1， 這里C =E(X)。 請同學(xué)們思考當X與Y不相互獨立時，?)(YXD 下面我們用例題說明方差性質(zhì)的應(yīng)用。 例例 5 5 二項分布的方差。 解解 設(shè)),(pnBX, 則 X 表示n重貝努里試驗中的“成功” 次數(shù)。 若設(shè) 次試驗失敗如第 次試驗成功如第 i i X i 0 1 i=1,2，n 則 n i i XX 1 是n次試驗中“成功”的次數(shù)，ppqXE i 10)(，故 8 )1 ()()()( 22 2 ppppXEXEXD iii ， 1,2,in 由于 n XXX, 21 相互獨立，于是