1、2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 1 模糊數(shù)學基礎 交流學習 王建宏 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 2 提綱提綱 ?模糊集概念模糊集概念 ?隸屬函數(shù)確定隸屬函數(shù)確定 ?模糊關系模糊關系 ?模糊綜合評判模糊綜合評判 ?實例介紹實例介紹 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 3 1、模糊集1、模糊集 模糊集理論 美國加州大學 控制專家 模糊集理論 美國加州大學 控制專家 l.a. zadeh 1965年開創(chuàng)年開創(chuàng) 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 4 1、模糊集1、模糊集 模糊集直覺模糊集區(qū)間值直覺模糊集 l-模糊集l-直覺模糊集 區(qū)間值模糊集 vague (vague set)

2、灰色集 隨機集 (random set) 粗糙集 (rough set) d-s 證據(jù)理論 柔性集 (soft set) a完全導出b a部分導出b a擴展得到b a與b等價ab ab ab ab 在農(nóng)業(yè)、林業(yè)、氣象、 管理科學、系統(tǒng)工程、 經(jīng)濟學、社會學、生態(tài) 學、未來學、語言學、 軍事學、地質(zhì)學等領域 得到廣泛應用，并取得 顯著成效。 在農(nóng)業(yè)、林業(yè)、氣象、 管理科學、系統(tǒng)工程、 經(jīng)濟學、社會學、生態(tài) 學、未來學、語言學、 軍事學、地質(zhì)學等領域 得到廣泛應用，并取得 顯著成效。 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 5 1976年傳入我國 1980年成立中國模糊數(shù)學與模糊系統(tǒng)學會 1981年

3、創(chuàng)辦模糊數(shù)學雜志 1987年創(chuàng)辦模糊系統(tǒng)與數(shù)學雜志 我國已成為全球四大模糊數(shù)學研究中心之一 （美國、西歐、日本、中國） 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 6 集合是現(xiàn)代數(shù)學的基礎概念集合是現(xiàn)代數(shù)學的基礎概念 模糊集合是集合的發(fā)展，是模糊數(shù)學的基礎模糊集合是集合的發(fā)展，是模糊數(shù)學的基礎 經(jīng)典集合論任意元素和任意一個集合之間的關系 是 經(jīng)典集合論任意元素和任意一個集合之間的關系 是“屬于屬于”和和“不屬于的不屬于的”；強調(diào)精確性；強調(diào)精確性 模糊集合論是用模糊集合論是用“隸屬度隸屬度“來表示的；強調(diào)模糊性來表示的；強調(diào)模糊性 經(jīng)典集合表示經(jīng)典集合表示 “非此即彼非此即彼” 模糊集合表示模糊集合

4、表示“亦此亦彼亦此亦彼” 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 7 crisp set vs. fuzzy set a traditional crisp seta fuzzy set 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 8 crisp set vs. fuzzy set 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 9 冷 熱 舒適溫度 0 152540 1.0 0 152540 1.0 經(jīng)典集合對溫度的定義模糊集合對溫度的定義 冷 舒適溫度 熱 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 10 1.2 概念1.2 概念 定義1-1 模糊集合模糊集合：論域u中的模糊集f用一個在區(qū)間 0，1上的取值的隸屬

5、函數(shù)來表示，即 f 1 , 0:u f ., 10 0)( , 1)( f fu fu f f f 表示部分屬于 ；，表示完全不屬于 ；表示完全屬于 + = 0 100 1 1 00 2 x x x f 可以算出u(5)=0.2； u(10)=0.5; u(20)=0.8； 表示5屬于大于零的程度為0.2，也就意味5算不 上是遠遠大于0的數(shù)。 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 12 1.3 模糊集的表示1.3 模糊集的表示 若u為離散域，即論域u是有限集合時，模糊集合可以有以下 三種表示方法： 1、查德表示法即： ii n i f uuf/ )( 1 = = 例1-2 考慮論域u=0,1,

6、2,10和模糊集f”接近于0的整 數(shù)“，它的隸屬度函數(shù)表示法 1.0/00.9/10.75/20.5/30.2/40.1/5f =+ 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 13 2、“序偶”表示法： )(,(),(,(),(,( 2211nn uuuuuuf?= 3、“向量”表示法 )(,),(),( 21n uuuf?= 4、“積分”表示法 f u f u = 1.3 模糊集的表示1.3 模糊集的表示 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 14 1.4 集合運算1.4 集合運算 定義2-2 論域u中模糊子集的全體，稱為u中的模糊冪集模糊冪集，記 作f(u)，即 1 , 0:/)(=uauf

7、a 對于任一，若，則稱a為空集， 若，則稱a=u為全集 。 uu 0= a 1= a 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 15 定義2-3 設a、b是論域u的模糊集，即， 若對于任一都有，則稱b包含于包含于a，或者稱 b是a的一個子集，記作。 若對于任一都有，則稱b等于等于a，記 作。 )(ufba、 )()(uaub ab )()(uaub= ab = uu uu 模糊集合是利用集合中的特征函數(shù)或者隸屬度 函數(shù)來定義和操作的，a、b是u中的兩個模糊 子集，隸屬度函數(shù)分別為 ba 和 1.4 集合運算1.4 集合運算 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 16 定義2-4 并并：并的隸屬度函

8、數(shù)對所有的被 逐點定義為取大運算，即 )(ba ba )()(uu baba = 式中，符號為取極大值運算。 uu 定義2-5 交交：交的隸屬度函數(shù)對所有的被 逐點定義為取小運算，即 )(ba ba )()(uu baba = 式中，符號為取極小值運算。 uu 1.4 集合運算1.4 集合運算 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 17 定義2-6 補補：模糊集合a的不隸屬度函數(shù)，對所有 的，被逐點定義為 a uu)(1u a a = 例2-3 設論域中的兩個模糊子集為： , 54321 uuuuuu = 54321 3 . 04 . 016 . 06 . 0 uuuuu a+= 54321

9、7 . 04 . 03 . 06 . 05 . 0 uuuuu b+= 則 5432154321 7 . 04 . 016 . 06 . 07 . 03 . 04 . 04 . 03 . 016 . 05 . 05 . 06 . 0 uuuuuuuuuu ba+= + + + + = 5432154321 3 . 04 . 03 . 05 . 05 . 07 . 03 . 04 . 04 . 03 . 016 . 05 . 05 . 06 . 0 uuuuuuuuuu ba+= + + + + = 1.4 集合運算1.4 集合運算 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 18 u 1 0 a(u

10、) u 1 0 b(u) u 1 0 a c(u) 交 并 補 u 1 0 (ab)(u)u 1 0 (ab)(u) 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 19 1、緒論1、緒論 定理2-1 模糊集運算的基本定律模糊集運算的基本定律：設u為論域，a、b、c為u中 的任意模糊子集，則下列等式成立： （1）、冪等律 （2）、結合律 （3）、交換律 （4）、分配律 （5）、同一律 （6）、零一律 （7）、吸收律 （8）、德.摩根律 （9）、雙重否認律 aaaaaa=， cbacbacbacba)()()()(=， abbaabba=， )()()()()()(cabacbacabacba=， aaa

11、ua=， =auua， abaaabaa=)()(， _ abbaabba=， aa = 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 20 1.5 模糊集的截集1.5 模糊集的截集從模糊中尋找確定，“矬子里選將軍” 定義：設af(u), 0,1 則： (1) 稱a為a的一個- 截集， 稱為閾值（或置信水平） (2) 稱a為a的一個- 強截集 (3) suppa=u|uu, a(u)0 a的支集 kera=u|u u,a(u)=1 a的核 當a的核不空，稱a為正規(guī)f集 )(,| =uauuua )(,| = uauuua u 1 2006-6-921 a(u) u .5 1 0 核核 交點 支集 交點

12、 支集 截集截集 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 22 1.5 模糊集的截集1.5 模糊集的截集性質(zhì)：注意從有限到無限 截集強截集 性質(zhì)1(ab)= a b (ab)= a b 性質(zhì)2 若at |t t， 則 )()( tt t tt t aa )()( tt t tt t aa = 性質(zhì)3 設 1 、2 0,1， a f（u），若 1 2 則 12 aa 性質(zhì)1、2、3、4、5 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 23 1.6 分解定理1.6 分解定理模糊集用普通集合表示 可以看到，當從1下降到0的時候，就是從kera 逐漸擴展為suppa，因此，f集a可以看作是普通 集合族 a|

13、0,1 u 1 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 24 1.6 分解定理1.6 分解定理模糊集用普通集合表示（2） 數(shù)積的定義：數(shù)積的定義： 模糊集合的數(shù)積：設0,1，a f(u)，記 (a)(u)= a(u) 則稱a為與a的數(shù)積。 u 1 0 a(u) ( a)(u)= a(u) u 1 0 a(u) 數(shù)積的性質(zhì)：數(shù)積的性質(zhì)：1 若 1 2 則1 a2 a 2 若ab 則ab 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 25 1.6 分解定理1.6 分解定理模糊集用截集表示：分解定理1 分解定理1：設a f(u)，則 1 ,0 )( = aa 證明：因為a是普通集合，所以它的特征函數(shù) = )(

14、0 )(1 )( ua ua uc a )()0),(max( )0(),(max( )0(),1(max( )(),(max( )()( )( )( )( )( )( )( 1 , 0 1 , 0 uaua ucuc ucua ua ua ua ua a ua a ua a = = = = = 推論：a(u)=sup|u a 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 26 1.6 分解定理1.6 分解定理分解定理1舉例 a 1u3 a0.8 u3 ,u4 a0.5 u2 , u3 ,u4 a0.4 u1 , u2 , u3 ,u4 a0.2 u1 , u2 , u3 ,u4 ,u5 3 1 1

15、1 u a = 0.8 34 0.80.8 0.8a uu =+ 0.5 234 0.50.50.5 0.5a uuu =+ 0.4 1234 0.40.40.40.4 0.4a uuuu =+ 0.2 12345 0.20.20.20.20.2 0.2a uuuuu =+ 12345 0.40.510.80.2 a uuuuu =+ 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 27 0,1 10.80.50.40.2 334234 123412345 123 10.80.50.40.2 1(0.80.8)(0.50.50.5) (0.40.40.40.4)(0.20.20.20.20.2) (0.

16、20.4)(0.20.40.5)(0.20.40.50.81) (0.2 aa aaaaa = = =+ + =+ + 45 12345 0.40.50.8)0.2 0.40.510.80.2 + =+ 12345 0.40.510.80.2 a uuuuu =+ 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 28 2、隸屬函數(shù)確定2、隸屬函數(shù)確定 模糊集合是用隸屬函數(shù)來描述的模糊集合是用隸屬函數(shù)來描述的 模糊集合的特征函數(shù)稱作隸屬函數(shù)模糊集合的特征函數(shù)稱作隸屬函數(shù) 隸屬度函數(shù)實質(zhì)上反映的是事物的漸變性隸屬度函數(shù)實質(zhì)上反映的是事物的漸變性 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 29 2.1、隸屬函數(shù)確

17、定原則2.1、隸屬函數(shù)確定原則 2.1.1、表示隸屬度函數(shù)的模糊集合必須是凸模糊集合； 例如“速度適中”的隸屬度函數(shù)在一定范圍內(nèi)或者一定條件下，模糊 概念的隸屬度具有一定的穩(wěn)定性從最大的隸屬度函點出發(fā)向兩邊延伸 時，其隸屬度函數(shù)的值必須是單調(diào)遞減的，而不許有波浪性總之，隸屬 度函數(shù)呈單峰（凸模糊集合）一般用三角形和梯形作為隸屬度函數(shù)曲 線。 非凸模糊集合 凸模糊集合 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 30 2.1.2、變量所取隸屬度函數(shù)通常是對稱和平衡的、變量所取隸屬度函數(shù)通常是對稱和平衡的 模糊變量的標稱值選擇一般取39個為宜，通常取奇數(shù) （平衡）在“零”、“適中”或者“合適”集合的兩邊

18、語言值通 常取對稱（如速度適中，一邊取“速度高”，一般另一邊取“速 度低”，滿足對稱）。 2.1.3、隸屬度函數(shù)要符合人們的語義順序，避免不恰當?shù)闹丿B、隸屬度函數(shù)要符合人們的語義順序，避免不恰當?shù)闹丿B 在相同的論域上使用的具有語義順序關系的若干標稱的 模糊集合，應該合理的排列。下面的排列是錯誤的。 適中高很高 0 32速度 圖 交叉越界的隸屬度函數(shù)示意圖 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 31 2.1.4、論域中的每個點應該至少屬于一個隸屬度函 數(shù)的區(qū)域，同時它一般應該屬于至多不超過兩個隸 屬度函數(shù)的區(qū)域。 、論域中的每個點應該至少屬于一個隸屬度函 數(shù)的區(qū)域，同時它一般應該屬于至多不超過兩

19、個隸 屬度函數(shù)的區(qū)域。 2.1.5、對于同一輸入、對于同一輸入,沒有兩個隸屬度函數(shù)會同時 有最大隸屬度 沒有兩個隸屬度函數(shù)會同時 有最大隸屬度 2.1.6、對兩個隸屬度函數(shù)重疊時，重疊部分對于兩 個隸屬度函數(shù)的最大隸屬度不應該有交叉。 、對兩個隸屬度函數(shù)重疊時，重疊部分對于兩 個隸屬度函數(shù)的最大隸屬度不應該有交叉。 一般取一般取0.30.7 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 32 隸屬度函數(shù)是模糊 控制的應用基礎 如何確定 隸屬函數(shù)? 初步確定隸屬函數(shù) 自學習修改和完善 隸屬函數(shù)的選擇方法 模糊統(tǒng) 計法 例證法 專家經(jīng) 驗法 二元對比 排序法 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 33 2

20、.2.1 模糊統(tǒng)計法2.2.1 模糊統(tǒng)計法 模糊統(tǒng)計法的基本思想是對論域u上的一個確定元素 v是否屬于論域上的一個可變的清晰集的判斷。 模糊集如：青年人 清晰集“1730歲的人“、2535歲的人”，對于同一個模糊集可以 有不同的清晰集。 n av av 試驗總次數(shù) 的次數(shù) 的隸屬頻率對 = 0 0 模糊統(tǒng)計法計算步 驟： n越大，隸屬頻率就越穩(wěn)定，但是計算量比較 大。 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 34 2.2.1 模糊統(tǒng)計法2.2.1 模糊統(tǒng)計法 單項變數(shù)模糊統(tǒng)計法：只考慮一項內(nèi)容，如“青年”。 對論域u“青年”,“非青年” step1 確定論域。如人的年齡作為論域 u=0,100

21、step2 形成調(diào)查表。如隨機抽取129個大學生，在獨立認真 考慮 “青年”的含義之后，給出各自的答案，形成129個 關于 “青年”的年齡段（數(shù)據(jù)表） 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 35 2.2.1 模糊統(tǒng)計法2.2.1 模糊統(tǒng)計法 step3 頻數(shù)分布 表。如數(shù)據(jù)表中最小 年齡為14，最大為36。 以13.5為起點，36.5為 終點，以1為間距，形 成“年齡分組”，并統(tǒng)計 各段匯入數(shù)據(jù)數(shù)。 step4 建立隸屬函 數(shù)。從頻數(shù)分布表就可以 寫出“青年”的隸屬函數(shù) 0.0155 140.2093 150.3953 16 0.2016 35 0.0078 36 a =+ + ? step5

22、 隸屬度。如求u=27的隸屬度，從上表或隸屬函數(shù)可得 a(u=27)=0.78 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 36 例證法例證法例證法由已知的有限個隸屬函數(shù)的值， 來估計論域u上的模糊子集a的隸屬函數(shù)。 專家經(jīng)驗法專家經(jīng)驗法專家經(jīng)驗法是根據(jù)專家的實際經(jīng)驗 給出模糊信息的處理算式或者相應的權系數(shù)值隸屬 函數(shù)的一種方法。 二元對比排序法二元對比排序法二元對比排序法是通過多個 事物之間兩兩對比來確定某種特征下的順序，由此 來確定這些失去對該特征的隸屬函數(shù)的大體形狀。 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 37 模糊控制中的隸屬函數(shù)圖形大概有以下三大類： 1、左大右小的偏小型下降函數(shù)（z函數(shù)）

23、 2、左小右大的偏大型上升函數(shù)（s函數(shù)） 3、對稱型凸函數(shù)（ii函數(shù)） + + + = bxabbxs bxbabxs bax ),;(1 ),;( ),;( 高斯函數(shù)高斯函數(shù) s函數(shù)函數(shù) ii函數(shù)函數(shù) 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 38 x 0 1.0 u(x) x 0 1.0 u(x) x 0 1.0 u(x) x 0 1.0 u(x) x 0 1.0 u(x) x 0 1.0 u(x) 圖z函數(shù) 圖s函數(shù) 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 39 x x 0 1.0 u(x) x 0 1.0 u(x) x 0 1.0 u(x) x 0 1.0 u(x) 0 1.0 u(x) 圖

24、ii函數(shù) 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 40 3、模糊關系3、模糊關系 3.1、關系的定義、關系的定義 關系是客觀世界存在的普遍現(xiàn)象。如父子關 系、大小關系、屬于關系、二元關系、多元關系、 多邊關系等等(關系明確） 直積體現(xiàn)著兩集合間的無約束關系，若給 以約束，就形成關系。在普通集合中，設論域u 和v，從u到v的一個關系定義為直積 的一個子集r，記為 r uv uv 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 41 3、模糊關系3、模糊關系 3.1、模糊關系的定義、模糊關系的定義 設論域u和v，則的一個子集r，就是 從u到v的模糊關系，記作 r uv 這里的模糊關系r是屬于模糊二元關系。其隸

25、屬 函數(shù)為映射， 隸屬度表示u0與v0具有關系r的程度 :0,1 r uv 00 (,) r u v u v 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 42 3、模糊關系3、模糊關系 定義2-11 所謂a、b兩集合的直積 ,/ ),(bbaababa= 中的一個模糊關系r，是指以ba為論域的一個模糊子 集， 序偶（a,b)的隸屬度為),(ba r 當然，也可以推廣到n個集合的直積當然，也可以推廣到n個集合的直積 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 43 例2-6 設有七種物品：蘋果、乒乓球、書、籃球、花、桃、菱 形組成的一個論域u，并設x1、x2、.x7分別為這些物品的 代號，則u=x1、x2、

26、.x7?，F(xiàn)在就物品兩兩之間的相似 程度來確定它們的模糊關系。 r蘋果乒乓球書籃球花桃菱形 蘋果1.00.00.70.50.60 乒乓球0.71.000.90.40.50 書001.00000.1 籃球0.70.901.00.40.50 花0.50.400.41.00.40 桃0.60.500.50.41.00 菱形000.10001.0 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 44 對于確定的控制系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸入輸出存在確定的關系； 對以模糊的控制系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸入輸出存在模糊的關系。 = vu ba vuuuba),/()(),(min( 其中 例 設u=1,2,3;v=1,2,3,4; ; 4

27、/2 . 03/4 . 02/6 . 01/8 . 0)(; 3/2 . 02/7 . 01/1)(+=+=uu ba )4 , 3/(2 . 0) 3 , 3/(2 . 0)2 , 3/(2 . 0) 1 , 3/(2 . 0)4 , 2/(2 . 0)3 , 2/(4 . 0 )2 , 2/(6 . 0) 1 , 2/(7 . 0)4 , 1/(2 . 0)3 , 1/(4 . 0)2 , 1/(6 . 0) 1 , 1/(8 . 0 + +=ba 1234 10.80.60.40.2 20.70.60.40.2 30.20.20.20.2 v u 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 4

28、5 3、模糊關系3、模糊關系 模糊關系運算:模糊關系運算: 相等、包含、交、并、余相等、包含、交、并、余 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 46 3、模糊關系3、模糊關系 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 47 例2-8 某家中子女與父母的長相相似關系r為模糊關系，可表示為 r 父母 子0.20.8 女0.60.1 用模糊矩陣r來表示為 = 1 . 06 . 0 8 . 02 . 0 r 該家中父母與祖父母的相似關系s也是模糊關系，可表示為 s 祖父祖母 父0.50.7 母0.10 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 48 用模糊矩陣r來表示為 = 01 . 0 7 . 05 . 0 s 那么家中孫子、孫女與祖父、祖母的相似程度如何？ = = = 6 . 05 . 0 2 . 02 . 0 )01 . 0()7 . 06 . 0() 1 . 01 . 0()5 . 06 . 0( )08 . 0()7 . 02 . 0() 1 . 08 . 0()5 . 02 . 0( 01 . 0 7 . 05 . 0 1 . 06 . 0 8 . 02 . 0 ?sr p 祖父祖母 孫子0.20.2 孫女0.50.6 2006-6-9 中科院寒旱所遙感室 49 2、模糊關系的合成 前面講的是 單個推理， 那么