1、小結(jié)與復(fù)習,第十七章 勾股定理,要點梳理,考點講練,課堂小結(jié),課后作業(yè),要點梳理,1.如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊 為c，那么,a2 + b2 = c2,即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.,在直角三角形中才可以運用,2.勾股定理的應(yīng)用條件,一、勾股定理,3.勾股定理表達式的常見變形： a2c2b2, b2c2a2，,二、勾股定理的逆定理,1.勾股定理的逆定理,如果三角形的三邊長a，b，c滿足 a2 +b2=c2 ，那么這個三角形是直角三角形.,滿足a2 +b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).,2.勾股數(shù),3.原命題與逆命題,如果兩個命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反，那么把其中 一

2、個叫做原命題，另一個叫做它的逆命題.,例1 在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，AC=20，BC=15. （1）求AB的長； （2）求BD的長,解：（1）在RtABC中，ACB=90， （2）方法一：SABC= ACBC= ABCD， 2015=25CD， CD=12 在RtBCD中，,考點講練,方法二：設(shè)BD=x,則AD=25-x.,解得x=9.BD=9.,對于本題類似的模型，若已知兩直角邊求斜邊上的高常需結(jié)合面積的兩種表示法起來考查，若是同本題(2)中兩直角三角形共一邊的情況，還可利用勾股定理列方程求解.,1.RtABC中，斜邊BC=2，則AB2+AC2+BC2的值為 （） A.8

3、 B.4 C.6 D.無法計算,A,3.一直角三角形的三邊分別為2、3、x，那么以x為邊長的正方形的面積為_.,2.如圖，C=ABD=90，AC=4，BC=3，BD=12，則AD的長為_,13或5,13,4已知RtABC中，C=90，若a +b=14cm， c=10cm，求ABC的面積.,解：a+b=14， (a+b)2=196. 又a2+b2=c2=100， 2ab=196-(a2+b2)=96， ab=24,例2 我國古代數(shù)學著作九章算術(shù)中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向

4、岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，請問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少？,解：如圖，設(shè)水池的水深A(yù)C為x尺， 則這根蘆葦長AD=AB=（x+1）尺，,在直角三角形ABC中，BC=5尺,由勾股定理得BC2+AC2=AB2,即 52+ x2= (x+1)2,25+ x2= x2+2x+1，,2x=24，, x=12， x+1=13.,答：水池的水深12尺，這根蘆葦長13尺.,D,B,C,A,例3 如圖所示，一只螞蟻從實心長方體的頂點A出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點C1處，問怎樣走路線最短？最短路線長為多少？,解析：螞蟻由A點沿長方體的表面爬行到C1點，有三種方式：,沿ABB1A1和A1 B

5、1C1D1面；沿ABB1A1和BCC1B1面；沿AA1D1D和A1B1C1D1面，把三種方式分別展成平面圖形如下：,解：在RtABC1中，,在RtACC1中，,在RtAB1C1中，,沿路徑走路徑最短，最短路徑長為5.,化折為直：長方體中求兩點之間的最短距離，展開方法有多種，一般沿最長棱展開，距離最短.,5.現(xiàn)有一長5米的梯子架靠在建筑物的墻上，它們的底部在地面的水平距離是3米，則梯子可以到達建筑物的高度是_米,4,在RtABO中，OA2米，DCOB1.4米， AB2221.422.04. 42.61.4，1.421.96， 2.041.96， 答：卡車可以通過，但要小心,解：如圖，過半圓直徑的

6、中點O，作直徑的垂線交下底邊于點D，取點C，使CD1.4米，過C作OD的平行線交半圓直徑于B點，交半圓于A點.,6.如圖，某住宅社區(qū)在相鄰兩樓之間修建一個上方是一個半圓，下方是長方形的仿古通道，現(xiàn)有一輛卡車裝滿家具后，高4米，寬2.8米，請問這輛送家具的卡車能否通過這個通道？,7.在O處的某海防哨所發(fā)現(xiàn)在它的北偏東60方向相距1000米的A處有一艘快艇正在向正南方向航行，經(jīng)過若干小時后快艇到達哨所東南方向的B處. （1）此時快艇航行了多少米(即AB 的長)？,A,B,60,45,C,解：根據(jù)題意得AOC=30， COB=45，AO=1000米. AC=500米，BC=OC. 在RtAOC中，由

7、勾股定理得 BC=OC=,在O處的某海防哨所發(fā)現(xiàn)在它的北偏東60方向相距1000米的A處有一艘快艇正在向正南方向航行，經(jīng)過若干小時后快艇到達哨所東南方向的B處. （2）距離哨所多少米（即OB的長） ？,A,B,60,45,C,解：在RtBOC中，由勾股定理得,例4 在ABC中，AB=c，BC=a，AC=b， ，2c-b=12，求ABC的面積,解：由題意可設(shè)a=3k，則b=4k，c=5k， 2c-b=12， 10k-4k=12， k=2， a=6，b=8，c=10， 62+82=102， a2+b2=c2， ABC為直角三角形， ABC的面積為 68=24,例5 B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北

8、偏東60方向以每小時8 n mile的速度前進，乙船沿南偏東某個角度以每小時15 n mile的速度前進，2 h后，甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34 n mile，你知道乙船是沿哪個方向航行的嗎？,解：甲船航行的距離為BM= 16（n mile）, 乙船航行的距離為BP= 30（n mile） 162+302=1156，342=1156, BM2+BP2=MP2, MBP為直角三角形，MBP=90 , 乙船是沿著南偏東30方向航行的,8.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的為（） A1，2，3B4，5，6 C3，4，5D7，8，9,9.已知下列圖形中的三角形的頂點都在正方形的格點上，可以判定三角形是直

9、角三角形的有_,(2)(4),C,10.如圖，在四邊形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，ABC=90猜想A與C關(guān)系并加以證明,解：猜想A+C=180 連接AC. ABC=90， 在RtABC中，由勾股定理得 AD2+DC2=625=252=AC2， ADC是直角三角形，且D=90， DAB+B+BCD+D=360， DAB+BCD=180， 即A+C=180,例6 如圖，在長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，求ABE的面積.,解：長方形折疊，使點B與點D重合， ED=BE. 設(shè)AE=xcm，則ED=

10、BE=(9-x)cm， 在RtABE中， AB2+AE2=BE2， 32+x2=(9-x)2， 解得x=4. ABE的面積為34 =6(cm2).,勾股定理可以直接解決直角三角形中已知兩邊求第三邊的問題；如果只知一邊和另兩邊的關(guān)系時，也可用勾股定理求出未知邊，這時往往要列出方程求解,11.如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC6 cm，BC8 cm，將ABC折疊，使點B與點A重合，折痕是DE，則CD的長為 ,1.75cm,考點四 本章解題思想方法,方程思想,例7 如圖，在ABC中，AB=17，BC=9，AC=10，ADBC于D.試求ABC的面積,解：在RtABD和RtACD中， AB2-BD

11、2=AD2，AC2-CD2=AD2， 設(shè)DC=x，則BD=9+x， 故172-(9+x)2=102-x2， 解得x=6. AD2= AC2CD2 = 64，AD=8. SABC= 98=36,解：當高AD在ABC內(nèi)部時，如圖. 在RtABD中，由勾股定理， 得BD2AB2AD2202122162， BD16. 在RtACD中，由勾股定理， 得CD2AC2AD215212281， CD9.BCBDCD25， ABC的周長為25201560.,例8 在ABC中，AB20，AC15，AD為BC邊上的高，且AD12，求ABC的周長,分類討論思想,題中未給出圖形，作高構(gòu)造直角三角形時，易漏掉鈍角三角形的情況如在本例題中，易只考慮高AD在ABC內(nèi)的情形，忽視高AD在ABC外的情形,當高AD在ABC外部時，如圖. 同理可得 BD16，CD9. BCBDCD7， ABC的周長為7201542. 綜上所述，ABC的周長為42或60.,例9 有一圓柱體高為8cm，底面圓的半徑為2cm，如圖.在AA1上的點Q處有一只蜘蛛，QA1=3cm，在B