1、,復(fù)變函數(shù)論多媒體教學(xué)課件,Department of Mathematics,第三節(jié) 柯西積分公式及其推論,問題的提出,根據(jù)復(fù)圍線積分性質(zhì)知,該積分值不隨閉曲線 C 的變化而改變,一、柯西積分公式,1定理3.11,證明,這就是柯西積分公式.,柯西積分公式,2定義3.4,在定理3.11條件下,稱為柯西積分.,關(guān)于柯西積分公式的說明:,(1) 把函數(shù)在C內(nèi)部任一點(diǎn)的值用它在邊界上的值表示.,(這是解析函數(shù)的又一特征),(2) 公式不但提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法, 而且給出了解析函數(shù)的一個(gè)積分表達(dá)式.,(這是研究解析函數(shù)的有力工具),(3) Cauchy積分公式也可寫成,例1,解,

2、由柯西積分公式,例2,分析,由柯西積分公式,解,3平均值公式,定理3.12,即f(z) 在圓心處的值等于它在圓周上值的算術(shù)平均值.,證明,證明,由平均值公式,從而,因?yàn)?矛盾,二 解析函數(shù)的無窮可微性,1 定理3.13,在定理3.11條件下,函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)有各階導(dǎo)數(shù),并且有,注上式也可寫成,該公式在求積分是常用到,注 該公式可用數(shù)學(xué)歸納法證明(參考余家榮編復(fù)變函數(shù)）,注1 以上討論表明，函數(shù)在一個(gè)區(qū)域內(nèi)的解析性是很強(qiáng)的條件，和僅僅在一個(gè)點(diǎn)可導(dǎo)是有非常大的差異； 注2 任意階導(dǎo)數(shù)公式是柯西公式的直接推論；,例4,解,例5,解,分幾種情況,同理有,根據(jù)復(fù)周線Cauchy積分定 理和高階導(dǎo)數(shù)

3、公式,2 解析函數(shù)的無窮可微性,定理3.14,設(shè)函數(shù)f(z)在z平面上區(qū)域D內(nèi)解析,則f(z)在D內(nèi)有各階導(dǎo)數(shù),并且它們也在D內(nèi)解析.,證明,故f(z)在D內(nèi)有各階導(dǎo)數(shù)。,3 刻劃解析函數(shù)的第二個(gè)等價(jià)定理,證明,充分性為定理2.5,必要性,條件2的必要性已由定理2.1得出,由解析函數(shù)的無窮可微性,三 柯西不等式與劉維爾定理,1 柯西不等式,證明,2 劉維爾(Livouile)定理,劉維爾定理 有界整函數(shù)必為常數(shù).,設(shè)f(z)是有界整函數(shù)，,由柯西不等式，有,整函數(shù),-在整個(gè)復(fù)平面解析的函數(shù).,證明,令,可見,從而f(z) 恒等于常數(shù)。,注:非常整函數(shù)必?zé)o界。,3 代數(shù)學(xué)基本定理,至少有一個(gè)零點(diǎn)

4、.,證明,若P(z)在z平面上無零點(diǎn),因P(z)在z平面上解析,故存在充分大的正數(shù)R,從而在z平面上,矛盾.,故P(z)在z平面上至少有一個(gè)零點(diǎn).,作 業(yè),P141 習(xí)題(一),P143 9, 10, 12,P144 習(xí)題(二),P145 10;,四 莫勒拉定理,應(yīng)用解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)，可以證明柯西定理的逆定理，,則f(z)在D內(nèi)解析。,1定理3.16,若函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，且對(duì)D內(nèi)的任意周線C，有,證明,在定理?xiàng)l件下,由定理3.7即知,在D內(nèi)解析,且,在D內(nèi)解析,且,即f(z)在D內(nèi)解析。,2 刻劃解析函數(shù)的第三個(gè)等價(jià)定理,1定理3.17,函數(shù)f(z)在區(qū)域G內(nèi)解析的充要條件是:,(1) f(z)在G內(nèi)連續(xù);,(2) 對(duì)任一周線C,只要C及其內(nèi)部全含于G內(nèi),就有,證明,必要性,由Cauchy積分定理3.3可導(dǎo)出;,充分性,由定理3.16 ,例6,證明,又在z平面上,從而為常數(shù);,注:,例7,證明,在復(fù)平面上任取一點(diǎn)z,作圓周,作 業(yè),P143 11, 15,P141 習(xí)題(一),作 業(yè),P141 習(xí)題(一),P143 9, 10, 12,P144 習(xí)題(二),P145 10;,P143 11,