1、概率統(tǒng)計復習,復習,復習2,各 章 比 重,第 一 章 (16),第 二 章 (11),第 三 章 (13),第 四 章 (13),第 五 章 (15),第 六 章 (3),第 七 章 (17),第 八 章 (12),概率(68),統(tǒng)計(32),題 型 題 量 (25),是非題 (6 7),選擇題 (5 6),填空題 (5 6),計算題 (5 6),證明題 (0 1),各 章 要 點,第 一 章,1. 概率性質(zhì) 古典概率,2.條件概率,乘法公式,全、貝公式,3.事件獨立性,第 二 章,1.分布律分布函數(shù)定義性質(zhì),2.七個常用分布 ( P.159 表格 ),3.隨機變量的函數(shù)的分布,一二章,例1

2、,例1,(1) 在古典概型的隨機試驗中,( ),(2) 若事件 A, B, C , D 相互獨立, 則,事件,若事件 A1, A2, , An 相互獨立, 將它 們?nèi)我夥殖?k 組, 同一事件不能同時 屬于兩個不同的組, 則對每組事件進 行求和、積、差、逆 等運算所得到 的 k 個事件也相互獨立.,(3) 若事件 A 與 B獨立, B 與 C獨立,則事件 A與 C 也相互獨立. ( ),事件相互獨立不具有傳遞性.,例2,例2,對任意事件A, B下列結論正確的是,( ),(a),(b),(c),(d),解,選b. d, c 顯然錯,可證 b 是對的.,b,例3 小王忘了朋友家電話號碼的最后一位,

3、數(shù), 故只能隨意撥最后一個號, 則他撥三次,由乘法公式,設事件 表示“三次撥號至少一次撥通”,表示“第 i 次撥通”,則,解,例3,可撥通朋友家的概率為,0.3,例4 小王忘了朋友家電話號碼的最后一位,數(shù), 他只能隨意撥最后一個號, 他連撥三次，,由乘法公式,設,表示“第 i 次撥通”,解一,例4,求第三次才撥通的概率.,解二,從題目敘述看要求的是無條件概率.,產(chǎn)生誤解的原因是未能仔細讀題，,未能分清條件概率與無條件概率的區(qū)別.,本題若改敘為： 他連撥三次，已,知前兩次都未撥通,求第三次撥通的概率.,此時，求的才是條件概率.,例5,例5 10件產(chǎn)品中有3 件次品, 從中任取 2 件.,在所取

4、2 件中有一件是次品的條件下, 求,另一件也是次品的概率.,解1,設事件 表示“所取 2 件中有一件次品”,事件 表示“ 另一件也是次品”. 則,解2,某廠卡車運送防“非典”用品下鄉(xiāng)， 頂層裝10個紙箱，其中5箱民用口罩、2 箱醫(yī)用口罩、3箱消毒棉花. 到目的地時 發(fā)現(xiàn)丟失1箱，不知丟失哪一箱. 現(xiàn)從剩 下 9箱中任意打開2箱，結果都是民用口 罩，求丟失的一箱也是民用口罩的概率.,例6,例6,表示事件“丟失的一箱為 k ”,表示事件“任取 2 箱都是民用口罩”,解,分別表示民用口罩，醫(yī)用,口罩，消毒棉花.,由全概率公式,由貝葉斯公式,解二,（縮減樣本空間法）,去掉打開的 2 箱民用口罩，,解二

5、比解一簡單十倍！,基本事件總數(shù),有利的基本事件數(shù),例7 (1) 是 的密度函數(shù) 則 . ( ),(2) 若 , 則 ( ),事實上由2.4 得 非均勻分布函數(shù),(3) 若 , 則 ( ),例7,例8,內(nèi)任一子區(qū)間上取值的條件概率,例8 設隨機變量 的絕對值不大于 1 ；,在事件 出現(xiàn)的條件下，,與該子區(qū)間的長度成正比.,(1) 的分布函數(shù),(2) 取負值的概率,解,(1),(2),在,試求,的三性質(zhì)都不滿足,單調(diào)減,右不連續(xù),未定義,分布函數(shù) 三性質(zhì),解,當,當 推導較復雜先做準備工作.,由題設知,設,于是,上式中令 得,又,于是當 時，,(2),由題設 得,附 k 的另一求法,落入?yún)^(qū)間( 1

6、 , 3 )的概率最大.,例9 設 當 時,令,解,例9,第 三 章,2. 邊緣分布 條件分布,3. 隨機變量的獨立性,第 四 章,1. 期望 方差定義 性質(zhì),2. 相關系數(shù) 相關性,3. 期望的應用,1.聯(lián)合分布律 分布函數(shù)定義性質(zhì),4. 隨機變量的函數(shù)的分布,三四章,例10 設 獨立同分布, 且已知,求行列式 的概率分布.,解,令 則 獨立同分布,可能取值為則,例10,練4,求 的概率分布.,答案,具 體 推 導,設A ,B 為隨機試驗 E 的兩個事件， 0 P (A) 1, 0 P (B) 1,書例,證明: 若 XY = 0, 則隨機變量 X ,Y 相互獨立.,證 由 XY = 0,而,

7、令,書例,錯誤原因,而這并不表明 X ,Y 相互獨立.,？,即,本題要證明離散隨機變量 X , Y 相互,獨立, 必需證明如下四個等式都成立：,正確證明,由題設得 ( X ,Y ) 的聯(lián)合分布：,由,同理可證:,故 X ,Y 相互獨立.,由于事件 A , B 相互獨立, 必有,也相互獨立，即,二維隨機變量的函數(shù)的分布,的 p.d.f.,練,練習,設隨機變量 (均勻分布)，,(指數(shù)分布),且它們相互獨立，,試求 的密度函數(shù),答案,判斷獨立性的簡便方法,已知聯(lián)合分布,判斷 是否獨立需要做 次,加法和乘法.,共需運算13次.,判獨立例11,解,（一眼看出）,命 題,求表內(nèi)各,練習,字母值,使,獨立.

8、,練習,解,由題意應有：,從而有右表,由歸一性得,(3), (1),由(1) 得, (2),聯(lián)立(2) (3) 得,或,設,或,0.48 0.32 0.20,0.0625,0.4375,0.5,經(jīng)檢驗,正確！,例12,例12 設隨機變量 X、Y 相互獨立, 且都服,. 求,從,解,當 時，由獨立性,當 時，,所以,( ),由于X、Y 的隨機性, 故不能保證恒有,或,解,由于相互獨立的正態(tài)變量的線性組合,仍是正態(tài)變量，故,本題設 是關鍵.若不然,雖能算出 但很難算,例13 卡車裝運水泥, 設每袋重量(gk) X 服從,例13,問裝多少袋水泥, 使總重量,超過2000的概率不大于0.05.,解一,

9、設裝m 袋水泥,總重量為mX, 據(jù)題設有,所以至多裝43袋水泥.,?,要學會對答案的粗略檢驗,解二,設裝m 袋水泥,總重量為mX, 據(jù)題設有,所以至多裝37袋水泥.,?,要徹底的隨機！,解,設裝m 袋水泥, 表示第 袋水泥重量.,于是總重量為,所以至多裝39袋水泥.,第 五 章,1. 切貝雪夫不等式,2. 中心極限定理的應用,第 六 章,1. 統(tǒng)計量 總體 樣本及其空間,2. 常用“三抽樣分布”定義 性質(zhì) 各分布分位點定義 及 相互 關系,五六章,例14,例14,某大賣場某種商品價格波動為隨機,變量.設第 i 天(較前一天)的價格變化為,獨立同分布,為,(元/斤) 為現(xiàn)在的,價格.,第 n 天

10、的價格，,解,應用,(應用題),備一筆現(xiàn)金, 已知這批債券共發(fā)放了500張,每張須付本息1000元, 設持券人(一人一券),銀行為支付某日即將到期的債券須準,到期日到銀行領取本息的概率為 0.4, 問銀,行于該日應準備多少現(xiàn)金才能以 99.9% 的,把握滿足客戶的兌換.,解,設,1 第 i 個持券人到期日來兌換,0 第 i 個持券人到期日未兌換,則到期日來銀行兌換的總人數(shù)為,設銀行需準備1000 m 元 ,兌換總額為 ,由中心極限定理,所以銀行需準備23.4萬元.,例15 一本書有1000000個印刷符號, 排版,時每個符號被排錯的概率為千分之一.校,對時,每個排版錯誤被改正的概率為0.99，

11、,求在校對后錯誤不多于15個的概率.,解,設,1 第 i 個印刷符號被排錯,0 第 i 個印刷符號未排錯,則總的被排錯的印刷符號個數(shù),且,例15,設校對后錯誤個數(shù)為 ,則近似有,由中心極限定理,于是,則,解,令,1 第 i 個符號被排錯校對后仍錯,0 其 他,由于排版與校對是兩個獨立的工作, 因而,設校對后錯誤個數(shù)為 , 則,由中心極限定理,例16 一保險公司有10000人投保，每人每年,付12元保險費，已知一年內(nèi)投保人死亡率,為0.006.若死亡公司給死者家屬1000元.求,(1) 保險公司年利潤為 0 的概率；,(2) 保險公司年利潤大于60000元 的概率；,解,例16,設 為投保的10

12、000人中一年內(nèi)死亡的,人數(shù).則,利用泊松定理，取,(1) 設保險公司年利潤為 , 則,(2) 由中心極限定理,例17 從正態(tài)總體 N ( , 2 ) 中取容量為16 的樣本, S2 為樣本方差,則D (S2) = ( ),解,例17,例18 設 是來自正態(tài)總體 X,的簡單隨機樣本.,證明,證,從而,例18,正態(tài)分布與由正態(tài)分布 導出的分布間的關系,推導 （ 相仿推導 ）,例如,證明,設 X t ( n ), 則 其中Z N ( 0 ,1 ),于是,由 t 分布與 F 分布分位點的定義,由 t 分布的對稱性,從而有,此即教材 P.203習題六12題. (2002年印),第 七 章,點估計的三種

13、方法 及評價標準,2. 參數(shù)的區(qū)間估計,第 八 章,1. 假設檢驗的有關概念,2.參數(shù)的假設檢驗,七八章,例19,例19 設總體 X 的分布密度函數(shù)為,求 的矩估計量 ,并計算,解,估計量是樣本的函數(shù),令,例20,例20 設總體 X 的密度函數(shù)為,解,的極大似然估計量.,為 X 的一個樣本,求參數(shù),任一樣本函數(shù),似然方程組為,本題 的估計并不能通過似然方程求得,解,由題設，若 必須,即,越大， 越大，故,的極大似然估計可通過似然方程求得.,是取自對數(shù)正態(tài)分布,例21,設,求 的極大似然估計.,解,例21,的密度函數(shù),的密度函數(shù),由極大似然估計的不變性得：,其中,一般正態(tài) 參數(shù)的極大似然估計是：

14、,則對數(shù)正態(tài)參數(shù)的極大似然估計是：,例22,例22 設總體 X 服從 , 其密度函,數(shù)為 . 對于容量為 n 的樣本, 求使得,的點 的極大似然估計,解,由教材P.211例7知,設 為總體 X N ( , 2),的一個樣本，求常數(shù) k , 使,解,例23,例23,令,則,故,解,故,假設檢驗步驟(三部曲),其中,根據(jù)實際問題所關心的內(nèi)容,建立H0與H1,在H0為真時,選擇合適的統(tǒng)計量V,由H1確,給定顯著性水平,其對應的拒絕域,雙側檢驗,左邊檢驗,定拒絕域形式,根據(jù)樣本值計算,并作出相應的判斷.,右邊檢驗,三部曲,例24 設某次概率統(tǒng)計考試考生的成績,X N ( , 2), 從中隨機地抽取 36 位考生,的成績，算得平均成績?yōu)?6.5分，標準差,為15分. 問在顯著性水平0.05下，是否可,以認為這次考試的平均成績?yōu)?0分？,并給出檢驗過程 .,解,例24,拒絕域:,落在拒絕域外，接受,即認為這次考試的平均成績?yōu)?0分.,例25 用包裝機包裝洗衣粉. 在正常情況下，,問該