1、 第三章： 一維定態(tài)問題P86設(shè)粒子處在二維無限深勢阱中，求粒子的能量本征值和本征波函數(shù)。如 ，能級(jí)的簡并度如何？解：能量的本征值和本征函數(shù)為，若，則 ，這時(shí)，若，則能級(jí)不簡并;若，則能級(jí)一般是二度簡并的（有偶然簡并情況，如與）設(shè)粒子限制在矩形匣子中運(yùn)動(dòng)，即求粒子的能量本征值和本征波函數(shù)。如，討論能級(jí)的簡并度。解：能量本征值和本征波函數(shù)為,當(dāng)時(shí)，時(shí)，能級(jí)不簡并；三者中有二者相等，而第三者不等時(shí)，能級(jí)一般為三重簡并的。三者皆不相等時(shí)，能級(jí)一般為6度簡并的。如 為12重簡并設(shè)粒子處在一維無限深方勢阱中，處于基態(tài)，求粒子的動(dòng)量分布。解：基態(tài)波函數(shù)為 , 動(dòng)量的幾率分布P115 1.利用Hermite

2、多項(xiàng)式的遞推關(guān)系（附錄A3。式（11），證明諧振子波函數(shù)滿足下列關(guān)系并由此證明，在態(tài)下， 證：諧振子波函數(shù) （1）其中，歸一化常數(shù) （2）的遞推關(guān)系為 （3） 2.利用Hermite多項(xiàng)式的求導(dǎo)公式。證明（參A3.式（12）證：A3.式（12）：3. 諧振子處于態(tài)下，計(jì)算，解：由題1， 由題2，對(duì)于基態(tài)，剛好是測不準(zhǔn)關(guān)系所規(guī)定的下限。4. 荷電q的諧振子，受到外電場的作用， （1）求能量本征值和本征函數(shù)。解： （2）的本征函數(shù)為，本征值現(xiàn)將的本征值記為，本癥函數(shù)記為。式（1）的勢能項(xiàng)可以寫成 其中 （3）如作坐標(biāo)平移，令 （4）由于 （5）可表成 （6）（6）式中的與（2）式中的相比較，易見和

3、的差別在于變量由換成，并添加了常數(shù)項(xiàng)，由此可知 （7） （8）即 （9） (10)其中 (11)3.11.23.2對(duì)于無限深勢阱中運(yùn)動(dòng)的粒子（見圖3-1）證明 并證明當(dāng)時(shí)上述結(jié)果與經(jīng)典結(jié)論一致。解：寫出歸一化波函數(shù)： （1）先計(jì)算坐標(biāo)平均值：利用公式： （2）得 （3）計(jì)算均方根值用以知，可計(jì)算利用公式 （5） （6） 在經(jīng)典力學(xué)的一維無限深勢阱問題中，因粒子局限在（0，a）范圍中運(yùn)動(dòng)，各點(diǎn)的幾率密度看作相同，由于總幾率是1，幾率密度。 ， ， 故當(dāng)時(shí)二者相一致。3.3）設(shè)粒子處在一維無限深方勢阱中，證明處于定態(tài)的粒子討論的情況，并于經(jīng)典力學(xué)計(jì)算結(jié)果相比較。證：設(shè)粒子處于第n個(gè)本征態(tài)，其本征函

4、數(shù). （1） （2）在經(jīng)典情況下，在區(qū)間粒子除與阱壁碰撞（設(shè)碰撞時(shí)間不計(jì)，且為彈性碰撞，即粒子碰撞后僅運(yùn)動(dòng)方向改變，但動(dòng)能、速度不變）外，來回作勻速運(yùn)動(dòng)，因此粒子處于范圍的幾率為，故 ， （3）， （4）當(dāng)時(shí)，量子力學(xué)的結(jié)果與經(jīng)典力學(xué)結(jié)果一致。3.3 設(shè)粒子處于無限深勢阱中，狀態(tài)用波函數(shù)描述，是歸一化常數(shù)，求（1）粒子取不同能量幾率分布。（2）能量平均值及漲落。(解)在物理意義上，這是一種能量的非本征態(tài)，就是說體系在這種態(tài)上時(shí)，它的能量是不確定的，薛定諤方程是能量的本征方程，波函數(shù)不會(huì)滿足薛氏方程式。但我們知道勢阱中的粒子滿足邊界條件的解是：（n=1,2,3,）這種解是能量本征態(tài)，相應(yīng)的能量按

5、疊加原理非本征態(tài)可用本征函數(shù)譜展開：（1） （1） （2）利用積分公式： 于（2）式，可求得： （3）此式只有為奇數(shù)時(shí)才不為0，故只有量子數(shù)奇數(shù)的態(tài) （4）仍是歸一化的，故粒子具有能級(jí)的幾率是 （5）（2）能量的平均值可以按照已知幾率分布的公式計(jì)算：（n為奇數(shù)） （6） 根據(jù)福利衰級(jí)數(shù)可計(jì)算(n奇) 有幾種方法，例如： ()上式中令x=0立刻得 (7)代(6)式得 另一方法是直接依據(jù)題給的能量非本征態(tài)用積分法求平均值: 能夠這樣的原因是厄米算符.(3)能量的漲落指能量的不準(zhǔn)度現(xiàn)需求能量平方的平均值,這可利用前半題結(jié)果來計(jì)算. 但關(guān)于此求和式也用福利衰級(jí)數(shù) （展開區(qū)間）此式中可取代入得, （補(bǔ)白

6、）：本題若直接用積分求要利用厄米性：why？ 3.4沒有答案3.5一維無限深勢阱中求處于態(tài)的粒子的動(dòng)量分布幾率密度。 （解）因?yàn)槭且阎?，所以要求?dòng)量分布的幾率密度，先要求動(dòng)量波函數(shù)，這可利用福利衰變換的一維公式:利用不定積分公式 用于前一式得： (n奇數(shù)) 或者 ， (n偶數(shù))動(dòng)量幾率密度分別是 ， （n奇數(shù)） ， (n偶數(shù))3.5設(shè)粒子處在一維無限深方勢阱中，處于基態(tài)，求粒子的動(dòng)量分布。解：基態(tài)波函數(shù)為 , （參P57，（12）動(dòng)量的幾率分布3.6求不對(duì)稱勢阱中粒子的能量本征值。解：僅討論分立能級(jí)的情況，即，當(dāng)時(shí)，故有由在、處的連續(xù)條件，得 （1）由（1a）可得 （2）由于皆為正值，故由（

7、1b），知為二，四象限的角。因而 （3）又由（1），余切函數(shù)的周期為，故由(2)式， (4)由(3)，得 (5)結(jié)合(4),(5)，得 或 （6）一般而言，給定一個(gè)值，有一個(gè)解，相當(dāng)于有一個(gè)能級(jí)： （7）當(dāng)時(shí)，僅當(dāng) 才有束縛態(tài) ，故給定時(shí)，僅當(dāng) （8）時(shí)才有束縛態(tài)（若，則無論和的值如何，至少總有一個(gè)能級(jí)）當(dāng)給定時(shí)，由(7)式可求出個(gè)能級(jí)（若有個(gè)能級(jí)的話）。相應(yīng)的波函數(shù)為:其中 3.6試求在不對(duì)稱勢阱中粒子的能級(jí)。 解 （甲法）：根據(jù)波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件，設(shè)定各區(qū)間的波函數(shù)如下：(x0區(qū))： （1）（0xa區(qū)）： （3）但 寫出在連接點(diǎn)x=0處連續(xù)條件 （4） （5）x=a處連續(xù)條件 （6） （7）（

8、4）（5）二式相除得（6）（7）二式相除得從這兩式間可消去B，C，得到一個(gè)間的關(guān)系 解出，得 （8）最后一式用E表示時(shí)，就是能量得量子化條件：（乙法）在0x0區(qū)）中僅有透射波 (2)但 考慮在原點(diǎn)0（x=0）處波函數(shù)（x）和一階倒數(shù)（x）的連接性，有： 即 (3) 即 (4)因按題意要計(jì)算反射系數(shù)， 同理 (5)，若求比值，可從（）（）消去，得到： 3.11試證明對(duì)于任意勢壘，粒子的反射系數(shù)和透射系數(shù)滿足。（解）任意的勢壘是曲線形的，如果（x）沒有給定，則（x）不能決定，因而無法計(jì)算各種幾率流密度。但如果附圖所示（x）滿足二點(diǎn)特性： (1) (2) 我們近似地認(rèn)為當(dāng)時(shí)波函數(shù)的解是 時(shí)波函數(shù)的解

9、是 但由于粒子幾率流的守恒（V（x）是實(shí)數(shù)函數(shù)）：在數(shù)量上入射幾率流密度 應(yīng)等于反射的 和透射的 的和，即： (1)仿前題的算法，不必重復(fù)就可以寫出： (2)這里的（1）（2）是等效的，將（1）遍除得： 即 得證將（2）式遍除得另一種形式：3.12設(shè)（見附圖），求反射系數(shù)。（解）設(shè)能量是正值，要確定反射系數(shù)，我們需要將勢場看成一個(gè)勢壘，同時(shí)要將波函數(shù)分解成入射波和反射波兩部分。為此，首先對(duì)粒子的薛氏方程式進(jìn)行變換。 （1）自變量的變換：試令 （1）則有 代入薛氏方程式： （2）得：令 （3） （2）波函數(shù)變換：為使微分方程式得到級(jí)數(shù)解，考察時(shí)的情形，由（1）可知這相當(dāng)于的情形，方程式（2）簡化

10、成： 它的特解是或，根據(jù)自變量變換式(1)，這相當(dāng)于： 或 （4）可設(shè) （5）則有： ； 代入（3），約去公有的，整理后得： （6）該式屬于“超幾何微分方程式”即Gauss方程式，它的一般復(fù)數(shù)形式是： （7）此方程式的一個(gè)特解記作 將（7）與（6）對(duì)比后，就能決定所相應(yīng)的值：（方程式（7）與14題的方程式（16）不同） 從前兩方程式能決定，得 于是得到方程式（3）的特解以及波函數(shù)的解如下： （8）這個(gè)解不能表達(dá)入射波和反射波的特點(diǎn)，仍需加以變換，為此利用超幾何函數(shù)有關(guān)的一個(gè)恒等式，將自變量轉(zhuǎn)變?yōu)?（10）將這個(gè)關(guān)系用于公式（8）得到： 再根據(jù)（1）式，見個(gè)前式中更換成，得 這是用坐標(biāo)表示的，適

11、用于勢場內(nèi)各點(diǎn)的波函數(shù)，現(xiàn)在求（即）的漸進(jìn)解，對(duì)于曲線形勢壘來說，反射系數(shù)常在壘壁很遠(yuǎn)處進(jìn)行計(jì)算，本題的情形，壘壁在處，但若令，則。因此（11）式中超幾何函數(shù)F只留下常數(shù)項(xiàng)，前式成為 第一項(xiàng)代表入射波，第二項(xiàng)反射波、反射系數(shù) 利用伽馬函數(shù)恒等式 3.131.14 3.141.13 3.151.6，2.73.16設(shè)粒子在下列勢阱中運(yùn)動(dòng)， 求粒子能級(jí)。解：既然粒子不能穿入的區(qū)域，則對(duì)應(yīng)的S.eq的本征函數(shù)必須在處為零。另一方面，在的區(qū)域，這些本征函數(shù)和諧振子的本征函數(shù)相同（因在這個(gè)區(qū)域，粒子的和諧振子的完全一樣，粒子的波函數(shù)和諧振子的波函數(shù)滿足同樣的S.eq）。振子的具有的奇宇稱波函數(shù)在處為零，因

12、而這些波函數(shù)是這一問題的解（的偶宇稱波函數(shù)不滿足邊條件）所以3.16設(shè)質(zhì)量為的粒子在下述勢阱中運(yùn)動(dòng)： 求粒子的能級(jí)。（解）本題是在半?yún)^(qū)中的一維諧振子，它的薛定諤方程式 在的半?yún)^(qū)內(nèi)與普通諧振子的相同，在負(fù)半?yún)^(qū)中。一般諧振子的函數(shù)（x）滿足薛氏方程式： （1）作自變量變換 （）并將波函數(shù)變換：得u的微分方程： （2）但 （3）設(shè)（2）的解是級(jí)數(shù)： （4）將（4）代入（2）知道，指標(biāo)s的值是s=1或s=0。 此外又得到相同的二個(gè)未定系數(shù)之間的關(guān)系有二種： s=0時(shí)， （5） s=1時(shí)， （6）為了使波函數(shù)（x）滿足標(biāo)準(zhǔn)條件，級(jí)數(shù)（4）必需中斷。此外由于本題情形中應(yīng)滿足邊界條件（波函數(shù)連續(xù)性），x=0

13、時(shí)（x）=0，即u（0）=0。因而必需取s=1，它的遞推式是（6），因此如果級(jí)數(shù)（4）中斷，而（4）的最高冪是n=2m，在（4）式中取s=1，則在（6）式中取n為最高冪時(shí)： 由（3）得 (7)式中的m=0,1,2,3,4,（7）式即我們需求的粒子的能級(jí)。本題的波函數(shù)是 但 是歸一化常數(shù)，是奇階數(shù)厄米多項(xiàng)式。3.17設(shè)在一維無限深勢阱中運(yùn)動(dòng)的粒子的狀態(tài)用： 描述，求粒子能量的可能值及相應(yīng)的幾率。（解）（甲法）一維無限深勢阱的本征態(tài)波函數(shù)是 （1）題給波函數(shù)可用本征函數(shù)展開： 因此 是非本征態(tài)，它可以有二種本征態(tài)，處在態(tài)上的幾率是。這時(shí)能量是，處在態(tài)上的幾率是，這時(shí)能量是。 （乙法）可以運(yùn)用疊加原

14、理的展開式的系數(shù)的決定法來求C，其余同。按一般原理，將已知函數(shù) 展開成算符的分立本 數(shù)譜時(shí)，有 在本題中，有 按洛比達(dá)法則最后一式只有有貢獻(xiàn)相當(dāng)于m=1，或3，其余與甲法同。3.18寫出動(dòng)量表象中諧振子的薛定諤方程式，并求出動(dòng)量幾率分布。 （解）（一）主要方法是利用一維動(dòng)量波函數(shù)的變換式： （1）先寫出坐標(biāo)表象的薛定諤方程式： （2）遍乘，再對(duì)坐標(biāo)求積分，得到一種關(guān)系式：利用分部積分，并使用 的邊界條件，分別計(jì)算（3）各項(xiàng)： (4) (5)將（4）（5）代入（3）再加整理后，得到動(dòng)量表象的薛定諤方程式： (6)最后一式已將偏導(dǎo)數(shù)改成導(dǎo)數(shù)，（6）和（2）的形式相似，因此如果在（2）式中作以下替代

15、，就得到（6）式： （二）動(dòng)量波函數(shù)的計(jì)算 根據(jù)動(dòng)量表象的薛定諤方程式（6），先設(shè)法將（6）變形，形成為和坐標(biāo)表象薛定諤方程形式一樣，首先使二階導(dǎo)數(shù)形式相同，將（6）遍除m22得： (7) 和（2）比較系數(shù)，發(fā)現(xiàn)若將動(dòng)量表象式（3）中換成，（7）式變成： （8）但 ，這樣（8）和（2）形式全同，它們的解的形式也同，但（2）的解是： （9）因此（8）或（7）的解是： （10）但動(dòng)量的分布，即動(dòng)量幾率密度是： （11）本題是第一章第15題的特例，又因?yàn)閯菽艿男问胶芴厥猓阅苡妙愃品椒ㄇ蠼?。假使換了別種形式的勢能。常要用積分方程求解。3.193.43.20設(shè)粒子在周期場中運(yùn)動(dòng),寫出它在表象中的薛定

16、諤方程式.解本題的性質(zhì)只在于建立方程式,并不需要解這方程式,所以不要利用周期的定期,而需要第二章第15習(xí)題,本章第10習(xí)題類似的方法.按第二章15題動(dòng)量表象薛定諤方程式是:(一維情形)但 (1)因?yàn)槭嵌☉B(tài)方程式第一式重寫作: (2)展開(1)得到利用常見的一種函數(shù)定義 則前式直接表示成. （3）代入(2)得 （4）另一法:前法所得的方程式不易求解,另一法與本章第10題類似,座標(biāo)表象方程式是:遍乘以,對(duì)x求定積分.按變換式 （7）（5）式（6）式的計(jì)算已在第10題證過，（7）式的算符是級(jí)數(shù)算符簡寫；得所求方程式： （8）3.21設(shè)勢場（見附圖）是： 求粒子能級(jí)與波函數(shù)，證明其能級(jí)與諧振子相似。（

17、解）本題的解法是先將原來的薛定諤方程式變形，使其適合于用級(jí)數(shù)求解，從波函數(shù)符合標(biāo)準(zhǔn)條件的要求得出能量量子化條件，經(jīng)變形后的薛氏方程式可以歸屬于合流超幾何方程式類別，因而最后用合流超幾何函數(shù)表示波函數(shù)。（1）薛氏方程式變形：原方程式是： （1）作自變量變換，但，將原有的一階、二階導(dǎo)數(shù)變形： 將前兩式代入（1），得： 用縮寫文字： （2） （3）方程式變成： （4） （2）波函數(shù)變換：微分方程式（4）不易求解，為了將因變量變換，先找尋（4）在時(shí)的近似解，為此忽去（4）中有關(guān)項(xiàng) （5）（5）的具有波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件的解是：，可認(rèn)為波函數(shù)是此近似解與另一函數(shù)的積： （6）求相應(yīng)的一階、二階導(dǎo)數(shù)： 將此二導(dǎo)

18、數(shù)代入（4），消去共有的，變形，并項(xiàng)后，得的微分方程： （7）（3）級(jí)數(shù)解和量子化條件：設(shè)方程式（7）的冪級(jí)數(shù)解是： （8）將（8）代入（7），集項(xiàng)整理，得： 使最低冪和通項(xiàng)系數(shù)等于零，得到指標(biāo)s的植和系數(shù)遞推公式： （9） （10）先考察級(jí)數(shù)（8）的收斂性質(zhì)，求其鄰項(xiàng)系數(shù)比值的極限，由（10）可知 （11）但是這個(gè)值與指數(shù)函數(shù)的相應(yīng)的比值極限相同，因此級(jí)數(shù)收斂性質(zhì)同于，所以性質(zhì)同于 （12）但該函數(shù)在時(shí)，有一端趨于發(fā)散，不適宜作波函數(shù)，但如果級(jí)數(shù)（8）中斷而成多項(xiàng)式，則可以作為符合標(biāo)準(zhǔn)條件的波函數(shù)，從（10）可知若級(jí)數(shù)在第（）項(xiàng)中斷，則，在（10）中將換，得中斷條件： 利用式（3），前式改寫成： (13)因?yàn)槭钦麛?shù)，所以（能級(jí)）是分立的。當(dāng)取極小的值時(shí)，前式中可忽視。 這和一維諧振子相似。即使不很小，（13）也代表等間隔能級(jí)，這也和一維諧振子能級(jí)類似。（4）波函數(shù)的計(jì)算：前已知道含有因式，因此表示為： （14）為求所滿足微分方程，可將（14）式代入的微分方程（7），