1、定義1,設X為離散型隨機變量，其概率分布為,如果級數 絕對收斂，則稱該級數為,隨機變量X的數學期望，記作EX。如果級,的數學期望不存在。,1.離散型隨機變量的數學期望,2.連續(xù)型隨機變量的數學期望,定義2,設X ，如果廣義積 分,絕對收斂，則稱該積分為 隨機變量X的,是絕對收斂，則稱隨機變量X的數學期,望不存在。,也就是說,連續(xù)型隨機變量的數學期望是一個,絕對收斂的積分.,常見隨機變量的數學期望,區(qū)間(a,b)上的 均勻分布,E(),N(, 2),3.數學期望的性質,設 均為常數,則有:,性質2,性質1,性質3,性質4,性質5,性質6 設X,Y是兩個相互獨立的隨機變量，則有,4.隨機變量函數的

2、數學期望,定理1 設隨機變量Y是隨機變量X的函數,且EY存在，則,(1) 若隨機變量X是離散型的,且若 X,定理2,上一講我們介紹了隨機變量的數學,但是在一些場合，僅僅知道平均值是,二、方差,是隨機變量的一個重要的數字特征.,期望，它體現了隨機變量取值的平均水平，,不夠的.,例如,甲、乙兩門炮同時向一目標射擊10發(fā),你認為哪門炮射擊效果好一些呢?,甲炮射擊結果,乙炮射擊結果,因為乙炮的彈著點較集中在中心附近 .,炮彈，其落點距目標的位置如圖：,1.基本概念,定義1 設隨機變量X的數學期望存在，稱,注 由于E(X-EX) = EX-EX = 0，因此隨機,X-EX為隨機變量X 的離差。,學期望的

3、偏離程度。,離差平方的數學期望來描述隨機變量X與數,變量的偏差有正有負相互抵消，為此我們用,為此需要引進另一個數字特征,用它來,度量隨機變量取值在其中心附近的離散程度.,這個數字特征就是我們這一講要介紹的,方差,定義2 設隨機變量X的數學期望存在，稱,為隨機變量X 的方差，記作DX。,即,采用平方是為了保證一切 差值X-E(X)都起正面的作用,X為離散型， P(X=xk)=pk,注 1）方差是隨機變量X的函數g(X)=X-E(X)2,X為連續(xù)型， Xf(x),的數學期望 .,5）方差刻劃了隨機變量的取值對于其數學,期望的離散程度 .,方差越小，說明隨機變量X的取值越密集在,4）方差是一個常量；

4、,3）稱方差的算術平方根 稱為標準差；,2）,數學期望EX附近；而方差較大 ，則X的取值比,較分散.,2. 計算方差的一個簡化公式,D(X)=EX2-E(X)2,展開,證：D(X)=EX-E(X)2,=EX2-2XE(X)+E(X)2,=EX2-2E(X)2+E(X)2,=EX2-E(X)2,利用期望 性質,2）EX；3）DX.,1張，標有數字2及3的卡片各有2張，從袋中,例1 袋中有5張卡片，其中標有數字1的卡片有,大數字，求1）隨機變量X的概率分布；,解：1）X的所有可能取值為2，3，,例2 設R.V X服從幾何分布，概率函數為,P(X =k) = p ( 1-p ) k-1, k =1,

5、2,其中0 p 1,求 D X.,解：,記q =1-p,求和與求導 交換次序,無窮遞縮等比 級數求和公式,DX =EX2-(EX)2,+EX,例2 設X ,求EX；DX.,解：,3. 方差的性質,設 為常數；則：,證明:,證明:,證明:,證明:,5) 若 X , Y 是兩個相互獨立的隨機變量，則有,可推廣為：若 相互獨立，則,證明：,4.常見隨機變量的方差的計算,(1)二項分布,設X B (n, p),特別地X服從0-1分布 ,則,(2)泊松分布,(3)均勻分布,(5)指數分布,(6)正態(tài)分布,常見隨機變量的方差,區(qū)間(a,b)上的 均勻分布,E(),N(, 2),例 1 設X ，判定,隨機變

6、量X的方差不存在。,X的方差一定不存在；而X的方差不存在，X的數,由此說明：隨機變量X的數學期望不存在，則,學期望未必不存在。,解：,所以隨機變量X的方差不存在。,證,例2,例3 已知X ,Y 相互獨立，且都服從 N (0,0.5), 求 E( | X Y | ),解,故,例4,求 EY , DY,解,標準化隨機變量,為 X 的標準化隨機變量. 顯然，,僅知隨機變量的期望與方差并不能確定其分布, 例如：,與,它們有相同 的期望,方差 但是分布 卻不同,但若已知分布的類型及期望和方差，常能 確定分布,例5 已知 X 服從正態(tài)分布, EX = 1.7, DX = 3, Y = 1 2 X , 求

7、Y 的密度函數,解,例6 已知 X 的密度函數為,其中 A ,B 是常數，且 EX = 0.5,求 A ,B 設 Y = X 2, 求 EY ,DY,解 (1),(2),前面我們介紹了隨機變量的數學期望和方差，對于多維隨機向量，反映分量之間關系的數字特征中，最重要的，就是下面要討論的,三、二維隨機向量的協(xié)方差與相關系數,定義1 設X與Y是兩個隨機變量，且EX，EY均,的協(xié)方差，記作,（一）協(xié)方差,1.基本概念,因此,方差是協(xié)方差的特例 協(xié)方差刻畫兩個隨機變量之間的“某種”關系,2.簡單性質,a , b是常數,3. 計算協(xié)方差的一個簡單公式,由協(xié)方差的定義及期望的性質，可得,即,可見，若X與Y獨

8、立，則,定理1 若隨機變量X與Y相互獨立，則,是不相關的。否則稱X與Y有(線性)相關關系.,4. 隨機變量和的方差與協(xié)方差的關系,若 兩兩獨立,，上式化為,例5 設隨機向量(X,Y)等可能地取(-2,0),(0,-2),獨立？X與Y是否線性相關？,(2,0),(0,2)四個點，試判斷X與Y是否相互,協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關系，但它還受X與Y本身度量單位的影響. 例如：,為了克服這一缺點，對協(xié)方差進行標準化，這就引入了相關系數 .,(二) 相關系數,為隨機變量X和Y的相關系數 .,定義3 設(X,Y)是二維隨機向量,它們的方差D(X),在不致引起混淆時，記 為 .,D(Y)

9、存在,且D(X)0, D(Y)0,稱,證明: 由方差的性質和協(xié)方差的定義知,對任意實數k,有,D(Y-kX)= k2DX+DY-2k Cov (X,Y )0,則,這是一個關于k的一個二次多項式,則必有,即,故,注 X和Y獨立時， =0，但其逆不真.,故,= 0,由于當X和Y獨立時，,定理3 如果隨機變量Y是隨機變量X的線性函數，,即,從上述定理可以知道：相關系數刻劃了X和Y,是描述隨機變量X與Y之間線性相關程度,當,X與Y之間具有完全的線性相關.且,稱X 與Y 之間存在正相關關系，當,越接近1,認為X 與Y 的線性相關程度越強，,稱X 與Y 之間存在負相關關系，當,程度較弱。,注意: 相關系數是隨機變量之間線性關系強弱,的一個度量(參見如下的示意圖).,求 Cov (X ,Y ), XY,解,二維正態(tài)分布,定義1 若二維隨機變量 的聯合概率密度為,稱上述的 為二維正態(tài)概率密度.,也就是說,二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍然為正態(tài)分布,而且其邊緣分布不依賴于參數 .因此可以斷定參數 描述了 與 之間的某種關系!,二維正態(tài)分布的5個參數的概率意義是：,定理1 二維隨機向量(X，Y)服從正態(tài)分布，則X,不相關的。,與Y相互獨立的充分必要條件是：X與Y是,注意：一