1、第七章 數(shù)列、推理與證明 第35課 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和課時(shí)分層訓(xùn)練A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)一、填空題1若三個(gè)正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，其中a52，c52，則b_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】1a，b，c成等比數(shù)列，b2ac(52)(52)1.又b0，b1.2(2017蘇州模擬)等比數(shù)列an的公比大于1，a5a115，a4a26，則a3_.4由得得2q25q20，解得q2或q(舍去)，把q2代入得a11.a3q24.3在等比數(shù)列an中，Sn表示前n項(xiàng)和，若a32S21，a42S31，則公比q等于_3兩式相減得a4a32a3，從而求得3，即q3.4數(shù)列an滿足：an1an1(nN，R且0)，若數(shù)列a

2、n1是等比數(shù)列，則的值等于_2由an1an1，得an11an2.由于數(shù)列an1是等比數(shù)列，所以1，得2.5設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和若a11，且3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，則an_.3n1因?yàn)?S1,2S2，S3成等差數(shù)列，所以4S23S1S3，即4(a1a2)3a1a1a2a3.化簡(jiǎn)，得3，即等比數(shù)列an的公比q3，故an13n13n1.6在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若am1am12am(m2)，數(shù)列an的前n項(xiàng)積為T(mén)n，若T2m1512，則m的值為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】5由等比數(shù)列的性質(zhì)可知am1am1a2am(m2)，所以am2，即數(shù)列an為常數(shù)列，an2，所以T2m122m15

3、1229，即2m19，所以m5.7(2016常州期末)已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1a2，a3a4a5a640，則的值為_(kāi)117an是等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則a3a4(a1a2)q2，a5a6(a1a2)q4，a3a4a5a6(a1a2)(q2q4)40，即(q2q4)40，解得q29.又q0，q3，由a1a2得a1，117.8等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公比不為1.若a11，則對(duì)任意的nN，都有an2an12an0，則S5_.11an是等比數(shù)列，an2an12anan(q2q2)0，又an0，故q2q20，即q2或q1(舍去)，S511.9在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，已知a1a2a34，

4、a4a5a612，an1anan1324，則n_.14由(q3)33得q3，an1anan1(a1a2a3)q3n64n2由4n2324，得4，即n14.10(2016浙江高考)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S24，an12Sn1，nN，則a1_，S5_.1121an12Sn1，Sn1Sn2Sn1，Sn13Sn1，Sn13，數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，3.又S24，S11，a11，S53434，S5121.二、解答題11設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，且數(shù)列Sn是以2為公比的等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求a1a3a2n1. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】解(1)S1a11，且數(shù)列Sn是以2為公比

5、的等比數(shù)列，Sn2n1，又當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n12n22n2.當(dāng)n1時(shí)a11，不適合上式an(2)a3，a5，a2n1是以2為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，a3a5a2n1.a1a3a2n11.12已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn4an3(nN)(1)證明：數(shù)列an是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列bn滿足bn1anbn(nN)，且b12，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式解(1)證明：依題意Sn4an3(nN)，n1時(shí)，a14a13，解得a11.因?yàn)镾n4an3，則Sn14an13(n2)，所以當(dāng)n2時(shí)，anSnSn14an4an1，整理得anan1.又a110，所以an是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列(2)

6、由(1)知ann1，由bn1anbn(nN)，得bn1bnn1.可得bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)23n11(n2)當(dāng)n1時(shí)也滿足，所以數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn3n11(nN)B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)1九章算術(shù)中的“兩鼠穿墻題”是我國(guó)數(shù)學(xué)的古典名題：“今有垣厚若干尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問(wèn)何日相逢，各穿幾何？”題意是“有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻，大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半”如果墻足夠厚，Sn為前n天兩只老鼠打洞長(zhǎng)度之和，則Sn_尺2n1依題意大老鼠每天打洞的距離構(gòu)成以1為首項(xiàng)，2為公比

7、的等比數(shù)列，所以前n天大老鼠打洞的距離共為2n1.同理可得前n天小老鼠打洞的距離共為2，所以Sn2n122n1.2(2017南京一模)設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，an0，若S62S35，則S9S6的最小值為_(kāi)20設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則q0且q1.由S62S35可知，5，5，q1.則S9S6510521020，當(dāng)且僅當(dāng)q32，即q時(shí)取等號(hào)S9S6的最小值為20.3已知數(shù)列an滿足a15，a25，an1an6an1(n2)(1)求證：an12an是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解(1)證明：an1an6an1(n2)，an12an3an6an13(an2an1)(n2)a15，a25，

8、a22a115，an2an10(n2)，3(n2)，數(shù)列an12an是以15為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列(2)由(1)得an12an153n153n，則an12an53n，an13n12(an3n)又a132，an3n0，an3n是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列an3n2(2)n1，即an2(2)n13n.4已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，且3an12Sn3(n為正整數(shù))(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)任意正整數(shù)n，是否存在kR，使得kSn恒成立？若存在，求實(shí)數(shù)k的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)因?yàn)?an12Sn3，所以n2時(shí)，3an2Sn13，由得3an13an2an0，所以an1an(n2)又a11,3a22a13，得a2，所