1、中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)六中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)六開放性數(shù)學(xué)題型及解法探究開放性數(shù)學(xué)題型及解法探究 近年來，各地中考數(shù)學(xué)試卷中開放性試題所占的比例逐年增大。 不少地區(qū)中考數(shù)學(xué)壓軸題都是由開放性試題當(dāng)家的。 盡管中考開放性 試題幾乎年年都有新面孔， 但仔細析來， 不外乎有以下幾種常見題型： 1、自編問題型；2、閱讀理解型；3、決策運籌型；4、數(shù)學(xué)建模型； 5、方案設(shè)計型；6、信息遷移型；7、單一判斷型；8、條件存在型； 9、題設(shè)取舍型；10、探索結(jié)論型；11、過程動態(tài)型；12、分類討 論型。以上題型在中考試卷中有時單獨成題，有時多型合題。 解答這些開放性數(shù)學(xué)中考題，不僅要求學(xué)生具有厚實的基本功和 一定的數(shù)學(xué)思

2、想方法， 而且要求學(xué)生具有較強的發(fā)散思維能力和創(chuàng)新 精神。 不過， 完整地解答開放性數(shù)學(xué)中考題也不是高不可攀的。 因為， 不同題型的分析思路還是有一定的規(guī)律可循的。 例 1（2000 年泉州市）寫出一個只含有字母x 的代數(shù)式（要求： （1）要使此代數(shù)式有意義，字母 x 必須取全體正數(shù)； （2）此代數(shù)式 的值恒為負數(shù)） ：_。 解-（或-，-，） 。 評注自編問題型的答案是豐富多彩的， 只要把語言敘述的條件 轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)表達式即可。 例 2（2000 年安徽?。┍容^下面兩列算式結(jié)果的大?。ㄔ跈M線 上選填“”“、=。 一般結(jié)論：如果 a，b 是兩個實數(shù)，那么 a2+b22ab。 (a-b)20，a2

3、-2ab+b20，a2+b22ab。 評注解閱讀理解題應(yīng)：細看感悟材料的表象；泛想 歸納材料的共性； 敢猜揭示材料的規(guī)律；慎證說明 猜想的合理性。 例 3（1998 年河北?。┠彻S有甲種原料360 千克，乙種原料 290 千克，計劃用這兩種原料生產(chǎn) A，B 兩種產(chǎn)品共 50 件。已知生產(chǎn) 一件 A 種產(chǎn)品，需用甲種原料 9 千克，乙種原料 3 千克，可獲利潤 700 元；生產(chǎn)一件 B 種產(chǎn)品，需用甲種原料 4 千克，乙種原料 10 千 克，可獲利潤 1200 元。 （1）按要求安排 A，B 兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案？ 請你設(shè)計出來。 （2）設(shè)生產(chǎn) A，B 兩種產(chǎn)品獲總利潤為 y（元）

4、 ，其中一種產(chǎn)品 的生產(chǎn)件數(shù)為 x，試寫出y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)的性 質(zhì)說明哪種生產(chǎn)方案獲總利潤最大？最大利潤是多少？ 解（1）設(shè)安排生產(chǎn)A 種產(chǎn)品 x 件，則生產(chǎn)B 種產(chǎn)品(50-x)件。 由 得 30 x32。 x 為整數(shù)，x 取 30，31 或 32。 生產(chǎn)方案有三種：生產(chǎn) A 種產(chǎn)品 30 件，B 種產(chǎn)品 20 件； 生產(chǎn) A 種產(chǎn)品 31 件，B 種產(chǎn)品 19 件；生產(chǎn)A 種產(chǎn)品 32 件，B 種 產(chǎn)品 18 件。 （2）依題意得：y=700 x+1200(50-x)， y=-500 x+60000， y 隨 x 的增大而減小，當(dāng) x=30 時，y 的值最大。 即按

5、第一種方案安排生產(chǎn)，所獲最大利潤為45000 元。 評注這道題集決策運籌、方案設(shè)計和數(shù)學(xué)建模于一身。 對于方 案，通常不止一套，但我們應(yīng)選最佳的。特別是幾何圖形的設(shè)計，更 應(yīng)如此。至于決策題，通常與經(jīng)濟題緊密相聯(lián)，涉及到函數(shù)和不等式 （組）等知識。 解這類題的關(guān)鍵是建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。運用數(shù)學(xué)建 模方法解決實際問題，一般要經(jīng)過三個環(huán)節(jié)： 實際問題 函數(shù) 數(shù)學(xué)問題算式、方程、不等式（組） 、 解答數(shù)學(xué)問題回歸實際問題。 的自變量 x 取值范圍例 4（1999 年揚州市）若函數(shù) y= 是一切實數(shù)，則 c 的取值范圍是（ ） （A）c1（B）c=1 （C）c1（D）c1 解應(yīng)選 A。 評注解答信息遷

6、移型開放題， 要在已有知識的基礎(chǔ)上，設(shè)置一 個新的數(shù)學(xué)情景，根據(jù)引入的新內(nèi)容，通過類比，轉(zhuǎn)換至似曾相識的 問題來解。 本題的命題和解題都屬信息遷移型。 按常規(guī)， 由 x2+2x+c0 來求 c 的值，是難以辦到的。不過，若將x2+2x+c0 理解為：當(dāng)c 為 何實數(shù)時，關(guān)于 x 的方程 x2+2x+c=0 無實根？則可得 1。 例 5設(shè)拋物線 y=x2-(m-1)x+(m+2)與 y 軸相交于點 C， 與 x 軸交 于 A，B 兩點（A 在 B 的左邊） ，O 為坐標(biāo)原點，以O(shè)A、OB 為直徑 作O1、O2，且這兩個圓外切。 （1）求 m 的取值范圍； （2）這兩 個圓的半徑是否相等？若相等，

7、求出其半徑；若不相等，請指出哪一 個圓較大？（3）是否存在這樣的m 值，使OC2=OAOB？如果存在， 判定 ABC 的形狀；并證明你的結(jié)論；如果不存在，請說明理由。 略解設(shè) A(x1,0)，B(x2,0)，x1X2，則 （1）由得 m-2。 （2）由 x1+x2=m-1-30，得兩圓半徑不等，且以 OA 為直徑的 圓較大。 （3）假設(shè)存在這樣的 m 值，使 OC2=OAOB，則(m+2)2=-(m+2)， m=-3。 此時 ABC 是直角三角形，證 COABOC 即可。 評注第（2）題屬于單一判斷型開放題，由于“單一判斷”是非 此即彼，所以解答這類題，只要通過正確計算（或推理）即可得出結(jié) 論

8、。 第（3）題屬條件存在型開放題。由于條件存在型開放題的特征 是“結(jié)出結(jié)論，逆向?qū)で髼l件是否存在”，所以，一般要用反證法思想 解題。第一步假設(shè)存在。第二步：根據(jù)假設(shè)進行推理。若推理順暢， 即可求出所尋的條件；若出現(xiàn)矛盾，則表明所尋條件不存在。值得注 意的是，近年來， 條件存在型問題，在各地中考開放性數(shù)學(xué)試題中出 現(xiàn)的頻率最高。 例 6在直角梯形 ABCD 中，ADBC，B=90，AB=8 厘米， AD=24 厘米，BC=26 厘米，AB 為O 的直徑，動點 P 從點 A 開始 沿 AD 邊向點 D 以 1 厘米/秒的速度運動，動點 Q 從點 C 開始沿 CB 邊向點 B 以 3 厘米/秒的速度

9、運動。P，Q 分別從點 A，C 同時出發(fā)， 當(dāng)其中一點到達端點時， 另一點也隨之停止運動。 設(shè)運動時間為 t 秒。 求： （1）t 分別為何值時，四邊形 PQCD 為平行四邊形、等腰梯形？ （2）t 分別為何值時，直線 PQ 與O 相切、相交、相離？ 解 （1） ADBC， 只要 QC=PD， 則可得； 平行四邊形 PQCD， 此時 3t=24-t，t=6，即當(dāng) t=6 秒時，四邊形 PQCD 為平行四邊形。 PDPC，只要PQ=CD 且 PDQC ，四邊形PQCD 即為等腰 梯形。如圖 2，作 PEBC 于 E，DFBC 于 F，則由等腰梯形的性 質(zhì)可知：EF=PD，QE=FC=2，2= 3

10、t-(24-t)，t=7，即當(dāng) t=7 秒 時，四邊形 PQCD 為等腰梯形。 （2）設(shè)運動 t 秒時，直線 PQ 與O 相切于點 F（如圖 3） ，作 PHBC 于 H，則 PH=AB=8，BH=AP，根據(jù)切線長定理可得 PQ=PF+FQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t，而 PQ2=PH2+HQ2， (26-2t)2=82+(26-4t)2。 t1= ，t2=8，即當(dāng) t= 秒或 t=8 秒時，PQ 與O 相切。 當(dāng) t=0 秒時，PQ 與O 相交；當(dāng) t=8 秒進，當(dāng) Q 運動到 B 點， 點 P 尚未運動到點 D， 但也停止了運動， 此時 PQ 也與O 相交。 當(dāng) 0t 秒或 8

11、t8 秒時，PQ 與O 相交。 當(dāng) 秒,t8 秒時，直線 PQ 與O 相離。 評注本例是一道典型的過程動態(tài)開放題， 在全面實施素質(zhì)教育 的今天，倍受中考命題者的青睞。因為它所強化的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對學(xué)生 后續(xù)學(xué)習(xí)意義深遠。解決這類問題的關(guān)鍵是分析運動變化過程， 尋找 變化中的特殊位置。即“動”中求“靜”、“一般”中見“特殊”，再列出特 殊位置時的數(shù)學(xué)表達式，運用分類討論的思想，各個擊破。 其實本例第（1）問也是一種結(jié)論明顯的分類討論題。但在解隱 含性結(jié)論 （或過程） 分類討論型開放題時， 要首先確定好分類的標(biāo)準(zhǔn)， 再行討論，切切不能重復(fù)、不能遺漏。 若將本例的第（2）問改為：“確定在運動過程中 PQ

12、 與O 的位 置關(guān)系”，則它就成了一道探索結(jié)論型的開放題。由于需要探索的結(jié) 論目標(biāo)不明確，且結(jié)論往往不唯一，所以這類題是開放型數(shù)學(xué)試題中 難度較高的一類。解決這類問題，需要有扎實的基礎(chǔ)知識，較強的發(fā) 散思維能力。因此，遇到此類題，必須仔細審題，善于運用分析、聯(lián) 想、類比、分類等數(shù)學(xué)思想及方法才能解決。其解題的基本策略是： 從已知開始， 層層演繹推理， 后步可用前步的結(jié)論， 直至結(jié)論被推出， 特別重視可能出現(xiàn)的多解情況。 至于題設(shè)取舍型，顧名思義，即是提供的條件過多，解題時應(yīng)正 確取舍，你能舉出這方面的中考數(shù)學(xué)開放試題嗎？ 例例 7.7. 善于學(xué)習(xí)的小敏查資料知道：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例 的兩

13、個梯形，叫做相似梯形，他想到“平行于三角形一邊的直線和其 它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似” ，提出如下兩個問題， 你能幫助解決嗎？ 問題一：平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的小梯形和原梯形是 否相似？ （1） 從特殊情形入手探究。 假設(shè)梯形 ABCD 中， AD/BC， AB=6， BC=8，CD=4，AD=2，MN 是中位線（如圖 2） 。根據(jù)相似梯形的 定義，請你說明梯形 AMND 與梯形 ABCD 是否相似？ 圖 2 （2）一般結(jié)論：平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的梯形與原梯 形（填“相似”或“不相似”或“相似性無法確定” 。不要求證 明） 。 問題二：平行于梯形底邊的直線截兩腰

14、所得的兩個小梯形是否相 似？ （1）從特殊平行線入手探究。梯形的中位線截兩腰所得的兩個小 梯形（填“相似”或“不相似”或“相似性無法確定” 。不要求 證明） 。 （2）從特殊梯形入手探究。同上假設(shè)，梯形ABCD 中，AD/BC， AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，你能找到與梯形底邊平行的直線 PQ （點 P、 Q 在梯形的兩腰上， 如圖 2） ， 使得梯形 APQD 與梯形 PBCQ 相似嗎？請根據(jù)相似梯形的定義說明理由。 圖 2 （3）一般結(jié)論：對于任意梯形（如圖 2） ，一定（填“存 在”或“不存在” ）平行于梯形底邊的直線PQ，使截得的兩個小梯形 相似。 圖 2 若存在，則確定這條

15、平行線位置的條件是 AP 。 PB （不妨設(shè) AD=a，BC=b，AB=c，CD=d。不要求證明） 。 分析：問題一（1）因為 MN 是中位線，所以 MN 1AD BC5,AM DN 1 2ABDC2 AD2 MN5 , MN5BC8 顯然對應(yīng)邊不成比例，所以梯形 AMND 與梯形 ABCD 不相似。 （2）平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的梯形與原梯形不相似。 問題二（1）因為MN 是中位線，顯然兩梯形對應(yīng)邊不成比例，所 以梯形的中位線截兩腰所得的兩個小梯形不相似。 （2）如果梯形 APQD 與梯形 PBCQ 相似 則 ADPQ2PQ ,即 PQBCPQ8 PB AD1 PQ2 解得 PQ=4，此時 AP 又 AB=6 ， 所 以 AP=2 ， 所 以 當(dāng) AP=2 ， 且 PQ/BC 時 ， ADPQAPDQ1 PQBCPBQC2 ， 又兩梯形對應(yīng)角相等， 所以梯形 APQD 與梯形 PBCQ 相似。 （3）對于任意梯形，一定存在平行于梯形底邊的直線 PQ，使截 得的兩個小梯形相似。此時， AD PQ PQBC 所以PQ ab,故 APaa PBabb 評注：這類問題建立在已學(xué)知識的基礎(chǔ)上研究、發(fā)現(xiàn)、拓展相似 形問題為素材設(shè)計的一道創(chuàng)新型閱讀理解題。 解答這類閱讀理解題的 關(guān)鍵是在閱讀、理解的基礎(chǔ)上