1、13.1歸納與類比,第十三章推理與證明、算法、復(fù)數(shù),基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),課時作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),1.歸納推理 根據(jù)一類事物中 具有某種屬性，推斷該類事物中_ 都有這種屬性.我們將這種推理方式稱為歸納推理.簡言之，歸納推理是由 到 ，由 到 的推理. 歸納推理的基本模式：a，b，cM且a，b，c具有某屬性， 結(jié)論：任意dM，d也具有某屬性.,知識梳理,部分事物,每一個事物,部分,整體,個別,一般,2.類比推理 由于 具有某些類似的特征，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)_ 的其他特征，推斷 也具有類似的其他特征，我們把這種推理過程稱為類比推理.簡言之，類比推理是兩類事物特征之間的推理

2、. 類比推理的基本模式：A：具有屬性a，b，c，d； B：具有屬性a，b，c； 結(jié)論：B具有屬性d. (a，b，c，d與a，b，c，d相似或相同),兩類不同對象,一類對象,另一類對象,3.歸納推理和類比推理是最常見的合情推理，合情推理的結(jié)果_ . 4.演繹推理是根據(jù)已知的事實和正確的結(jié)論，按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程.,不一定,正確,題組一思考辨析 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確. () (2)由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理. () (3)在類比時，平面中的三角形與空間中的平

3、行六面體作為類比對象較為合適.(),基礎(chǔ)自測,1,2,3,4,5,6,(4)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯誤的.() (5)一個數(shù)列的前三項是1,2,3，那么這個數(shù)列的通項公式是ann(nN). () (6)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確.(),1,2,3,4,5,6,題組二教材改編 2.已知在數(shù)列an中，a11，當(dāng)n2時，anan12n1，依次計算a2，a3，a4后，猜想an的表達(dá)式是 A.an3n1 B.an4n3 C.ann2 D.an3n1,答案,解析,1,2,3,4,5,6,解析a2a134，a3

4、a259，a4a3716，a112，a222，a332，a442，猜想ann2.,3.在等差數(shù)列an中，若a100，則有a1a2ana1a2a19n (n19，nN)成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列bn中，若b91，則存在的等式為_.,答案,解析,解析利用類比推理，借助等比數(shù)列的性質(zhì)，,1,2,3,4,5,6,b1b2bnb1b2b17n(n17，nN),解析,答案,題組三易錯自糾 4.正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)sin(x21)是正弦函數(shù)，因此f(x)sin(x21)是奇函數(shù)，以上推理 A.結(jié)論正確 B.大前提不正確 C.小前提不正確 D.全不正確,1,2,3,4,5,6,解析f(x)sin(x

5、21)不是正弦函數(shù)，所以小前提錯誤.,5.(2017濟南調(diào)研)類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可得出空間內(nèi)的下列結(jié)論： 垂直于同一個平面的兩條直線互相平行； 垂直于同一條直線的兩條直線互相平行； 垂直于同一個平面的兩個平面互相平行； 垂直于同一條直線的兩個平面互相平行. 則正確的結(jié)論是_.(填序號),解析,答案,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,解析顯然正確； 對于，在空間中垂直于同一條直線的兩條直線可以平行，也可以異面或相交； 對于，在空間中垂直于同一個平面的兩個平面可以平行，也可以相交.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,題型

6、分類深度剖析,命題點1與數(shù)字有關(guān)的等式的推理 典例 (2016山東)觀察下列等式：,題型一歸納推理,多維探究,解析,答案,命題點2與不等式有關(guān)的推理 典例 (2017濟寧模擬)已知ai0(i1,2,3，n)，觀察下列不等式：,解析,答案,命題點3與數(shù)列有關(guān)的推理 典例 (2017湖北七市教科研協(xié)作體聯(lián)考)觀察下列等式：,解析,答案,解析根據(jù)式子中的規(guī)律可知，等式右側(cè)為,解析由211,312,523知，從第三項起，每一項都等于前兩項的和，則第6年為8，第7年為13，第8年為21，第9年為34，第10年為55，故選D.,A.21 B.34 C.52 D.55,命題點4與圖形變化有關(guān)的推理 典例 (

7、2017大連調(diào)研)某種樹的分枝生長規(guī)律如圖所示，第1年到第5年的分枝數(shù)分別為1,1,2,3,5，則預(yù)計第10年樹的分枝數(shù)為,解析,答案,歸納推理問題的常見類型及解題策略 (1)與數(shù)字有關(guān)的等式的推理.觀察數(shù)字特點，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號可解. (2)與不等式有關(guān)的推理.觀察每個不等式的特點，注意是縱向看，找到規(guī)律后可解. (3)與數(shù)列有關(guān)的推理.通常是先求出幾個特殊現(xiàn)象，采用不完全歸納法，找出數(shù)列的項與項數(shù)的關(guān)系，列出即可. (4)與圖形變化有關(guān)的推理.合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡?,跟蹤訓(xùn)練 (1)將自然數(shù)0,1,2，按照如下形式進(jìn)行擺列：,根據(jù)以上規(guī)律

8、判定，從2 016到2 018的箭頭方向是,解析,答案,解析從所給的圖形中觀察得到規(guī)律：每隔四個單位，箭頭的走向是一樣的，比如說，01，箭頭垂直指下，45箭頭也是垂直指下，89也是如此，而2 0164504，所以2 0162 017也是箭頭垂直指下，之后2 0172 018的箭頭是水平向右，故選A.,(2)如圖，有一個六邊形的點陣，它的中心是1個點(算第1層)，第2層每邊有2個點，第3層每邊有3個點，依此類推，如果一個六邊形點陣共有169個點，那么它的層數(shù)為,解析,答案,A.6 B.7C.8 D.9,解析由題意知，第1層的點數(shù)為1，第2層的點數(shù)為6，第3層的點數(shù)為26，第4層的點數(shù)為36，第5

9、層的點數(shù)為46，第n(n2，nN*)層的點數(shù)為6(n1).設(shè)一個點陣有n(n2，nN)層，則共有的點數(shù)為16626(n1)16 3n23n1，由題意，得3n23n1169，即(n7)(n8)0，所以n8，故共有8層.,題型二類比推理,師生共研,解析,答案,(2)在平面上，設(shè)ha，hb，hc是ABC三條邊上的高，P為三角形內(nèi)任一點，P到相應(yīng)三邊的距離分別為Pa，Pb，Pc，我們可以得到結(jié)論： 把它類比到空間，則三棱錐中的類似結(jié)論為_.,解析設(shè)ha，hb，hc，hd分別是三棱錐ABCD四個面上的高，P為三棱錐ABCD內(nèi)任一點，P到相應(yīng)四個面的距離分別為Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出結(jié)論：,解

10、析,答案,(1)進(jìn)行類比推理，應(yīng)從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行類比，提出猜想.其中找到合適的類比對象是解題的關(guān)鍵. (2)類比推理常見的情形有平面與空間類比；低維的與高維的類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；數(shù)的運算與向量的運算類比；圓錐曲線間的類比等.,跟蹤訓(xùn)練 (2018晉江模擬)在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的詳解九章算法(1261年)一書中，用如下圖1所示的三角形，解釋二項和的乘方規(guī)律.在歐洲直到1623年以后，法國數(shù)學(xué)家布萊士帕斯卡的著作(1655年)介紹了這個三角形.近年來國外也逐漸承認(rèn)這項成果屬于中國，所以有些書上稱這是“中國三角形”(Chinese triangle)如圖1,17

11、世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了“萊布尼茨三角形”如下圖2.在楊輝三角中相鄰兩行滿足關(guān)系式： 其中n是行數(shù)，rN.請類比上式，在萊布尼茨三角形中相鄰兩行滿足的關(guān)系式是_.,11 121 1331 14641 15101051 ,圖1,圖2,解析,答案,題型三演繹推理,師生共研,證明,(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.,(大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了),(2)Sn14an.,又a23S13，S2a1a21344a1， (小前提) 對于任意正整數(shù)n，都有Sn14an. (結(jié)論) (第(2)問的大前提是第(1)問的結(jié)論以及題中的已知條件),證明,演繹推理是由一般到特殊的推理，

12、常用的一般模式為三段論，演繹推理的前提和結(jié)論之間有著某種蘊含關(guān)系，解題時要找準(zhǔn)正確的大前提，一般地，當(dāng)大前提不明確時，可找一個使結(jié)論成立的充分條件作為大前提.,跟蹤訓(xùn)練 (1)(2017全國)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績，老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績.看后甲對大家說：我還是不知道我的成績，根據(jù)以上信息，則 A.乙可以知道四人的成績 B.丁可以知道四人的成績 C.乙、丁可以知道對方的成績 D.乙、丁可以知道自己的成績,解析,答案,解析由甲說：“我還是不知道我的成績”可推知甲看到乙、丙的成績?yōu)椤?個優(yōu)秀、1

13、個良好”.乙看丙的成績，結(jié)合甲的說法，丙為“優(yōu)秀”時，乙為“良好”；丙為“良好”時，乙為“優(yōu)秀”，可得乙可以知道自己的成績.丁看甲的成績，結(jié)合甲的說法，甲為“優(yōu)秀”時，丁為“良好”；甲為“良好”時，丁為“優(yōu)秀”，可得丁可以知道自己的成績. 故選D.,(2)已知函數(shù)yf(x)滿足：對任意a，bR，ab，都有af(a)bf(b)af(b)bf(a)，試證明：f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù).,證明,證明設(shè)x1，x2R，取x1x1f(x2)x2f(x1)， x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)0， f(x2)f(x1)(x2x1)0， x10，f(x2)f(x1). yf(x)為R上的單調(diào)增函

14、數(shù).,高考中的合情推理問題,高頻小考點,合情推理在近年來的高考中，考查頻率逐漸增大，題型多為選擇、填空題，難度為中檔. 解決此類問題的注意事項與常用方法： (1)解決歸納推理問題，常因條件不足，了解不全面而致誤.應(yīng)由條件多列舉一些特殊情況再進(jìn)行歸納. (2)解決類比推理問題，應(yīng)先弄清所給問題的實質(zhì)及已知結(jié)論成立的緣由，再去類比另一類問題.,考點分析,典例 (1)傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù).他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：,答案,解析,將三角形數(shù)1,3,6,10，記為數(shù)列an，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列bn，可以推測： b2 018是

15、數(shù)列an的第_項；,5 045,b2k1_.(用k表示),答案,解析,(2)設(shè)S，T是R的兩個非空子集，如果存在一個從S到T的函數(shù)yf(x)滿足：()Tf(x)|xS；()對任意x1，x2S，當(dāng)x1x2時，恒有f(x1)f(x2).那么稱這兩個集合“保序同構(gòu)”.以下集合對不是“保序同構(gòu)”的是_. AN，BN； Ax|1x3，Bx|x8或0x10； Ax|0x1，BR； AZ，BQ.,答案,解析,解析對于，取f(x)x1，xN， 所以AN，BN是“保序同構(gòu)”的，故排除；,所以Ax|1x3，Bx|x8或0x10是“保序同構(gòu)”的，故排除；,所以Ax|0x1，BR是“保序同構(gòu)”的，故排除. 不符合，故

16、填.,課時作業(yè),1.(2018衡水模擬)下列四個推導(dǎo)過程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是 A.大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：是無理數(shù)；結(jié)論：是 無限不循環(huán)小數(shù) B.大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：是無限不循環(huán)小數(shù)；結(jié) 論：是無理數(shù) C.大前提：是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；結(jié) 論：是無理數(shù) D.大前提：是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：是無理數(shù)；結(jié)論：無限不循 環(huán)小數(shù)是無理數(shù),基礎(chǔ)保分練,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析A中小前提不是大前提的特殊情況，不符合三段論的推理形式，故A錯誤； C，D都不是

17、由一般性命題到特殊性命題的推理，所以C，D都不正確，只有B正確，故選B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.(2018武漢模擬)觀察下列各式： 112，23432，3456752，4567891072，可以得出的一般結(jié)論是 A.n(n1)(n2)(3n2)n2 B.n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2 C.n(n1)(n2)(3n1)n2 D.n(n1)(n2)(3n1)(2n1)2,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析由題中式子可以歸納：等式左邊為連續(xù)自然數(shù)的和，有2n1項，且第一項

18、為n，則最后一項為3n2，等式右邊均為2n1的平方.,3.(2016北京)袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒，每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則 A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多 C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球 D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析取兩個球

19、往盒子中放有4種情況： 紅紅，則乙盒中紅球數(shù)加1； 黑黑，則丙盒中黑球數(shù)加1； 紅黑(紅球放入甲盒中)，則乙盒中黑球數(shù)加1； 黑紅(黑球放入甲盒中)，則丙盒中紅球數(shù)加1. 因為紅球和黑球個數(shù)一樣多，所以和的情況一樣多.和的情況完全隨機.和對B選項中的乙盒中的紅球數(shù)與丙盒中的黑球數(shù)沒有任何影響.和出現(xiàn)的次數(shù)是一樣的，所以對B選項中的乙盒中的紅球數(shù)與丙盒中的黑球數(shù)的影響次數(shù)一樣.綜上，選B.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.(2017宜昌一中月考)老師帶甲、乙

20、、丙、丁四名學(xué)生去參加自主招生考試，考試結(jié)束后老師向四名學(xué)生了解考試情況，四名學(xué)生回答如下： 甲說：“我們四人都沒考好”； 乙說：“我們四人中有人考的好”； 丙說：“乙和丁至少有一人沒考好”； 丁說：“我沒考好”. 結(jié)果，四名學(xué)生中有兩人說對了，則四名學(xué)生中說對的兩人是 A.甲、丙 B.乙、丁 C.丙、丁 D.乙、丙,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析甲與乙的關(guān)系是對立事件，二人說話矛盾，必有一對一錯，如果丁正確，則丙也是對的，所以丁錯誤，可得丙正確，此時乙正確，故答案為D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13

21、,14,15,16,6.由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運算法則： “mnnm”類比得到“abba”； “(mn)tmtnt”類比得到“(ab)cacbc”； “(mn)tm(nt)”類比得到“(ab)ca(bc)”； “t0，mtxtmx”類比得到“p0，apxpax”； “|mn|m|n|”類比得到“|ab|a|b|”；,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,以上式子中，類比得到的結(jié)論正確的個數(shù)是 A.1 B.2 C.3 D.4,解析正確；錯誤.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,

22、答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,可以推測N(n，k)的表達(dá)式，由此計算N(10,24)_.,1 000,解析由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推測：,1 1001001 000.,8.若an是等差數(shù)列，m，n，p是互不相等的正整數(shù)，則有：(mn)ap(np)am(pm)an0，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，對等比數(shù)列bn，m，n，p是互不相等的正整數(shù)，有_.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析類比已知條件中等差數(shù)列的等式(mn)ap(np)am(pm)an0，結(jié)合等比數(shù)列通項公式

23、可得出等比數(shù)列的結(jié)論為：,9.(2017青島模擬)若數(shù)列an的通項公式為an (nN)，記f(n)(1a1)(1a2)(1an)，試通過計算f(1)，f(2)，f(3)的值，推測出f(n) _.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,， 照此規(guī)律，第五個不等式為_.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.觀察下列不等式：,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析觀察每行不等式的特點，每行不等式左端最后一個分?jǐn)?shù)的分母的開方與右端值的分母相等，且每

24、行右端分?jǐn)?shù)的分子構(gòu)成等差數(shù)列.,11.(2018濟南模擬)設(shè)f(x) ，先分別求f(0)f(1)，f(1)f(2)， f(2)f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,并注意到在這三個特殊式子中，自變量之和均等于1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,證明：設(shè)x1x21， f(x1)f(x2),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解答,1,2,

25、3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解如圖所示，由三角形相似得 AD2BDDC，AB2BDBC， AC2BCDC，,又BC2AB2AC2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,猜想，四面體ABCD中，AB，AC，AD兩兩垂直， AE平面BCD，,證明：如圖，連接BE并延長交CD于F，連接AF. ABAC，ABAD，ACADA， AC平面ACD，AD平面ACD， AB平面ACD. AF平面ACD，ABAF. 在RtABF中，AEBF，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.(

26、2017佛山一模)所有真約數(shù)(除本身之外的正約數(shù))的和等于它本身的正整數(shù)叫作完全數(shù)(也稱為完備數(shù)、完美數(shù))，如6123；28124714；4961248163162124248，此外，它們都可以表示為2的一些連續(xù)正整數(shù)次冪之和，如62122,28222324，按此規(guī)律，8 128可表示為_.,技能提升練,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2627212,解析由題意，如果2n1是質(zhì)數(shù)，則2n1(2n1)是完全數(shù)，n2，nN， 令n7，可得一個四位完全數(shù)為64(1281)8 128， 8 1282627212.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,證明,14.(2017廈門模擬)設(shè)f(x)3ax22bxc，若abc0，f(0)0，f(1)0，證明： (1)a0且2 1；,證明因為f(0)0，f(1)0， 所以c0,3a2bc0. 由abc0，消去b得ac0； 再由條件abc0，消去c得ab0，,因為f(0)0，f(1)0，,(2)