1、,第十三章 動能定理,1. 常力在直線運動中的功:,單位: J（焦耳） 1 J = 1 Nm,力的功是力沿路程累積效應的度量。,力的功是代數(shù)量。時,正功；時,功為零；時,負功。,元功,2. 變力在曲線運動中的功:,令：,力 在 路程上的功：,（自然形式）,（矢量式）,（直角坐標式）,1)、重力的功,質點系:,由,重力的功只與始、末位置有關，與路徑無關。,3. 常見力的功,質點：,重力在三軸上的投影：,2、彈性力的功,k彈簧剛度系數(shù) (N/m),彈性力：,彈性力的功：,因,式中,即,彈性力的功只與彈簧在初始和末了位置的變形有關，與作用點路徑無關。,3. 定軸轉動剛體上作用力的功,若 常量,從角

2、轉動到角 過程中力 的功為：,同樣適用于剛體上作用一力偶所作的功。,當質心由 ，轉角由 時，力系的功：,平面運動剛體上力系的功，等于力系向質心簡化所得的力和力偶作功之和。,說明：1、對任何運動的剛體，上述結論都適用；,2、C點為剛體上任意一點，上述結論仍成立；,3、計算力系的主矢、主矩時，不作功的力可 不考慮。,4. 平面運動剛體上力系的功,例：圖示彈簧原長l=100mm，剛性系數(shù)k=4.9KN/m,一端固定在點O，此點在半徑為R=100mm的圓周上。如彈簧的另一端由點B拉至點A和由點A拉至點D，AC垂直BC，OA和BD為直徑。分別計算彈簧力所作的功。,C,O,A,B,D,解：,對于彈簧作功：

3、,（m）,（m）,（m）,（m）,2、質點系的動能,1、質點的動能,單位：J（焦耳）,瞬時值,與速度方向無關的正標量。,（1）平移剛體的動能,即,（2）定軸轉動剛體的動能,即,平面運動剛體的動能等于隨質心平移的動能 與繞質心轉動的動能之和。,速度瞬心：P,（3）平面運動剛體的動能,上面結論也適用于剛體的任意運動。, 習題 P314 13-4 ,兩端乘 ，,1、質點的動能定理,質點動能的增量等于作用在質點上力的元功。,質點動能定理 的微分形式,在質點運動的某個過程中，質點動能的改變量等于作用于質點的力作的功。,質點動能定理 的積分形式,2、質點系的動能定理,質點系動能的增量，等于作用于質點系全部

4、力所作的元功的和。,求和,質點系動能定 理微分形式,質點系在某一段運動過程中，起點和終點的動能改變量，等于作用于質點系的全部力在這段過程中所作功的和。,質點系動能定 理積分形式,3、理想約束,定義：約束力作功等于零的約束為理想約束。,1）光滑固定面約束、活動鉸支座、向心軸承、一 端固定的繩索類約束,力與位移垂直,2）固定鉸支座、固定端約束,位移為零,3）光滑鉸鏈、剛體二力桿、不可伸長繩索類約束,約束反力成對出現(xiàn)，作功之和為零,4）不計滾動摩阻時，純滾動（只滾不滑）的接觸點,無位移,對理想約束，在動能定理中只計入主動力的功即可。,質點系內力作功之和不一定等于零。,質點系內力作功問題：,1）相互吸

5、引或排斥的質點，兩力作功和不為零。,2）當力作用點有滑動摩擦時，滑動摩擦力與 物體的相對位移相反，摩擦力作負功。,剛體（特殊的質點系）所有內力作功的和等于零。,例1 已知：輪O的R1、m1,質量分布在輪緣上; 均質輪C的R2、m2純滾動, 初始靜止 ;, M為常力偶。,求：輪心C走過路程S時的速度和加速度,解：,其中：,式(a)是函數(shù)關系式，兩端對t求導，,已知：輪O的R1、m1,; 均質輪C的R2、m2純滾動, 初始靜止 ;, M為常力偶。,求：輪心C走過路程S時的速度和加速度,例2 沖擊試驗機m=18kg , l=840mm, 桿重不計，在 時靜止釋放，沖斷試件后擺至,求：沖斷試件需用的能

6、量,沖斷試件需要的能量為,解：,設沖斷試件所損失的能量為WK,例3 行星齒輪傳動機構, 放在水平面內。 動齒輪半徑r ,重P, 視為均質圓盤；曲柄重Q, 長l , 作用一力偶, 矩為M(常量), 曲柄由靜止開始轉動； 求曲柄的角速度 (以轉角 的函數(shù)表示) 和角加速度。,解：取整個系統(tǒng)為研究對象,根據(jù)動能定理，,將式對t 求導數(shù)，,由 ，得,1、功率：,功率等于切向力與力作用點速度的乘積。,單位:W（瓦特）,千瓦（kW），1W=1J/S,作用在轉動剛體上的力的功率:,單位時間力所作的功。,2、功率方程,質點系動能對時間的一階導數(shù)，等于作用于質點系的所有力的功率的代數(shù)和。,或,兩端除以dt,功率

7、方程,3、機械效率,機械效率,多級傳動系統(tǒng),表明機器對輸入功率的有效利用程度。是評定機器質量優(yōu)劣的重要指標之一。,對于有n級傳動的系統(tǒng)，總效率等于各級效率的連乘積。,( ),例1 已知：車床電動機功率,求：允許切削力F的最大值？若 ，問 允許的F的最大值。,解:,當,當,例2 已知 物塊質量m ；彈簧原長 l0 .剛度系數(shù)k，質量不計；滑輪半徑R ，轉動慣量J求：系統(tǒng)的運動微分方程。,解：,令 為彈簧靜伸長，即mg=k ,以自然位置為參考點,以平衡位置為參考點,1. 勢力場,勢力場：,力場：,若質點在某空間內的任何位置都受到一個大小和方向完全由所在位置確定的力的作用，則此空間稱為力場。,重力場

8、、彈性力場、萬有引力場都是勢力場。,場力的功只與力作用點的始、末位置有關，與路徑無關。,質點在勢力場中受到的場力稱為有勢力(保守力)。如重力、彈力等。,（1）重力場中的勢能,（2）彈性力場的勢能,2. 勢 能,在勢力場中, 質點從位置M 運動到任選位置M0, 有勢力所作的功稱為質點在位置M 相對于位置M0的勢能。,M0作為基準位置，勢能為零，稱為零勢能點。勢能具有相對性。,取彈簧的自然位置為零勢能點，,則有,（3）萬有引力場中的勢能,（零勢能點）,取零勢能點在無窮遠,質點系的“零勢能位置”是各質點都處于其零勢能點的一組位置。,若質點系受到多個有勢力的作用，各有勢力可有各自的零勢能點。,質點系在

9、某位置的勢能 質點系從某位置到其“零勢能位置”的運動過程中，各有勢力作功的代數(shù)和。,注：,例：已知均質桿l, m， 彈簧剛度 k, AB水平時平衡，彈簧拉長變形,彈簧取自然位置O為零勢能點,重力以桿水平位置為零勢能點:,取桿平衡位置為彈簧和桿的零勢能點:,（重力-彈力系統(tǒng)常采用）,系統(tǒng)平衡,質點系在勢力場中運動,有勢力功可通過勢能計算。,（零勢能點）,有勢力所作的功等于質點系在運動過程的初始與終了位置的勢能的差。,3. 機械能守恒定律,即：質點系僅在有勢力作用下運動時，機械能守恒。此系統(tǒng)稱保守系統(tǒng)。,機械能：系統(tǒng)的動能與勢能的代數(shù)和。,如質點系還受到非保守力的作用，則類系統(tǒng)稱非保守系統(tǒng)。,非保

10、守力的功,卡住前 ：,卡住時：,解：,例 已知：重物m=250kg, 以v=0.5m/s勻速下降，鋼索 k=3.35 N/m，求: 輪D突然卡住時，鋼索的最大張力。,（平衡）,重物只受重力和彈力，系統(tǒng)機械能守恒。,（零勢能點）,即,由 有,已知：重物m, v勻速下降，鋼索 k，求: 輪D突然卡住時，鋼索的最大張力。, 例1 已知 輪I ：M，r, m1; 輪III :r，m3; 輪II ：R=2r, m2;壓力角為20o，物塊：mA；摩擦力不計。求：O1 O2處的約束力。,其中,解:,其中,M,研究 I 輪,壓力角為,研究物塊A,研究II輪,aA,例2 已知 m，R , k, CA=2R為無重彈簧原長，M為常力偶。求：圓心C 無初速度由最低點到達最高點時，O處約束力.,解：,整個系統(tǒng)：,O,O,已知，m，R, k, CA=2R為彈簧原長，M 為常力偶。求：圓心 C 無初速度由最低點到達最高點時，O 處約束力.,F,研究輪C：,act,acn,