1、第三章平面系統(tǒng)的平衡，內(nèi)容提要本章介紹力的平移定理，平面一般系統(tǒng)的簡化，平衡方程式及其在工程中的應(yīng)用。 本章是結(jié)構(gòu)或構(gòu)件靜力分析的關(guān)鍵。 把握其基本內(nèi)容，分析問題的方法，是學(xué)習(xí)后續(xù)知識的基礎(chǔ)，可以直接用于解決許多工程的實(shí)際問題。3.1力的并進(jìn)定理、3.2平面系統(tǒng)向一點(diǎn)的簡化、3.3平面系統(tǒng)的平衡方程及其應(yīng)用、本章的內(nèi)容、總結(jié)、3.1力的并進(jìn)定理、平面系統(tǒng)的定義、平面系統(tǒng)作用于物體的各力的作用線都在同一平面內(nèi)的話，將該系統(tǒng)稱為平面系統(tǒng)。 受屋頂自重、積雪等重力載荷w、風(fēng)力f及支撐臺反作用力FAx、FAy、FB的作用，這些個(gè)的力的作用線在同一平面內(nèi)，構(gòu)成一個(gè)平面系統(tǒng)。 水庫通常采取每單位長度的水庫

2、段進(jìn)行受力分析，將水庫段受到的力簡化為作用于水庫段中央平面內(nèi)的平面系統(tǒng)。 2 .力的平移定理、作用于剛體的力可以平行移動到剛體內(nèi)的任意指定點(diǎn)，但必須在由該力和指定點(diǎn)決定的平面內(nèi)對云同步附加力偶。 附加該力偶的力矩等于力對指定點(diǎn)的力矩。 作用于剛體a點(diǎn)的力f使力f平行于剛體內(nèi)的任意點(diǎn)o移動，但力作用于剛體的效果不能改變，力f和f構(gòu)成偶力m，如果證明的話，在o點(diǎn)加上一對平衡力f、f、F F F。 m，力的平移定理也可以把同一平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力結(jié)合成一個(gè)力。 力的平移定理不僅是力系略微簡化的理論依據(jù)，也是分析力作用于物體效果的重要方法。 的雙曲馀弦值。 軸力壓縮柱子，施加偶力m時(shí)柱子彎曲。e、3

3、.2平面系統(tǒng)向一點(diǎn)的簡化、3.2.1平面系統(tǒng)向一點(diǎn)的簡化、使各力向簡化中心o點(diǎn)移動，使平面一般系統(tǒng)F1、F2、Fn作用于物體，則如圖(a )所示。 得到平面的交系和平面的偶系。 也就是說，等于力系中所有力的矢量和，稱為該力系的主矢量。 大小和方向與簡化的中心選擇無關(guān)。 即，等于力系統(tǒng)中各力對簡化中心o的力矩的代數(shù)和，稱為該力系統(tǒng)對簡化中心o的主力矩。 其大小和轉(zhuǎn)向與簡易中心的選擇有關(guān)。 結(jié)論：類似平面的力系可以簡化為作用面內(nèi)的任意點(diǎn)，一般可以得到力和偶力。 有勢力的作用線通過簡化中心，其向量稱為力系的主向量，可與力系的全部力的向量和相等的力偶仍作用于原平面內(nèi)，其力偶力矩稱為相對于原系的簡化中心

4、的主力矩，數(shù)值等于相對于力系的全部力的簡化中心的力矩的代數(shù)和、3.2.2力向坐標(biāo)軸的心理投射，從力f的起點(diǎn)a和終點(diǎn)b分別在坐標(biāo)軸上畫垂線，將腳分別設(shè)為a1、b1和a2、b2，對線段a1b1、a2b2附加適當(dāng)?shù)姆?，稱為力f向x軸和y軸的心理投射，分別記為x、y，已知的努力心理投射：已知在與y軸正方向之間的夾角分別為、鈍角的情況下，由于校正運(yùn)算簡單，所以大多從被力和某個(gè)軸夾著的銳角校正了力心理投射該軸的絕對值后，通過觀察決定心理投射的符號。已知的心理投射求解力，已知的力f在垂直角坐標(biāo)軸上的心理投射為x、y，則力f的大小和方向?yàn)椤2、b1、a1、a2、力f沿平面垂直角坐標(biāo)軸分解的公式為、力沿垂直

5、角坐標(biāo)軸分解的公式、主矢量向x、y軸的心理投射分別為XR、YR 設(shè)=XR i YR j、平面系統(tǒng)中的各力F1、F2、Fn對x、y軸的心理投射分別為Xi、Yi，則比較上述兩個(gè)式子，主向量的大小和方向分別是2 .主力矩的修正運(yùn)算，主力矩MO相對于力系統(tǒng)中的各力的簡化中心o3.2.4平面系統(tǒng)簡化結(jié)果的研究，平面系統(tǒng)略微簡化的最終結(jié)果有以下3種可能的情況。 (1)力系可以簡化為一個(gè)合力偶，其中，力系等價(jià)于一個(gè)力偶，即力系可以簡化為一個(gè)合力偶，合力偶的力矩等于主力矩。 此時(shí)，主力矩與簡化中心的位置無關(guān)。 (2)力系可簡化為一個(gè)合力，(1)力系與一個(gè)力等價(jià)，力系可簡化為一個(gè)合力。 合力等于主箭，合力作用線

6、通過簡化中心。2 )的情況下，合力的大小、方向與主箭頭相同，證明合力的作用線不通過簡化中心，從其到簡化中心o點(diǎn)的距離通過力的并進(jìn)定理的逆過程，可以將和MO簡化為一個(gè)合力FR。 r、(3)力系在平衡態(tài)=0、MO=0時(shí)，力系在平衡態(tài)。 【例3.1】圖所示的小型石墻大壩，考慮采用長度為1m的大壩段，將大壩受到的重力和靜水壓力簡化到中央平面內(nèi)，得到了力W1、W2和f。 已知W1=600kN，W2=300kN，F(xiàn)=350kN。 求這個(gè)力系分別簡化為o點(diǎn)和a點(diǎn)的結(jié)果。 如果能簡化為一個(gè)合力，則求合力作用線的位置。 【解】1 )力系向o點(diǎn)簡化。 力系的主向量FR向x、y軸的心理投射，主向量的大小和方向分別為

7、1.5m，力系的主力矩為1.5m，主向量FR和主力矩MO能夠進(jìn)一步簡化為一個(gè)合力FR，其大小、方向與主向量FR相同。 設(shè)合力FR的作用線與x軸的升交點(diǎn)b到o點(diǎn)的距離為d1，合成矩定理有1.5m，所以從、b、1.5m、2 )系簡化為a點(diǎn)。 主向量與上述的修正算法相同。 主力矩為1.5m，最后可簡化為一個(gè)合力，合力作用線與x軸的升交點(diǎn)至a點(diǎn)的距離，明顯是合力作用線通過b點(diǎn)。1.5m、d2、力系無論向哪一點(diǎn)簡化，其最終簡化結(jié)果始終相同。 這是因?yàn)椋硞€(gè)系統(tǒng)對物體的效果是唯一的，不會隨修正計(jì)算路徑變化。 【例3.2】求出圖示的線性分布負(fù)荷的合力及其作用線的位置。 從左端點(diǎn)o到x的集合度，合力FR的大小

8、為o，適用合成力矩定理，因此，合力FR的作用線距o點(diǎn)的距離，合力FR的方向和分布負(fù)荷的方向相同。o、線分布載荷合力的大小等于載荷圖的面積，合力的作用線通過載荷圖的圖心，合力的方向與分布力的方向相同。 的雙曲馀弦值。 在解決平衡問題時(shí)，可以用合成力替換線分布載荷。 3.3平面力系統(tǒng)的平衡方程及其應(yīng)用，3.3.1平面力系統(tǒng)的平衡方程，1 .平面力系統(tǒng)平衡的滿足條件力系統(tǒng)的主矢量和對于任一點(diǎn)的主力矩都為零，即，2 .平面力系統(tǒng)平衡方程的形式，(1)基本形式，前兩個(gè)后者的形式被稱為力矩方程式，對于力系統(tǒng)的所有各力的任意點(diǎn)的力矩(2)連接二矩式、式中的a、b兩點(diǎn)的線不垂直于x軸(或y軸)。 (3)三矩式

9、、式中的a、b、c三點(diǎn)不能共線。 解題時(shí)可根據(jù)情況選擇其中一種形式。 平面力系只有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，只能解三個(gè)未知量。 3.3.2應(yīng)用平面系統(tǒng)的平衡方程，1 .應(yīng)用平面系統(tǒng)的平衡方程解決平衡問題的步驟如下：(1)選擇研究對象。 根據(jù)問題的已知條件和要求的量，選擇合適的研究對象。 (2)畫得很好。 描繪作用于研究對象的所有外力。 列平衡方程。 適當(dāng)選擇心理投射軸和力矩，列出平衡方程。 (4)解方程式。 2 .基本技術(shù)在平衡方程時(shí)，為了簡化校正計(jì)算，盡可能選擇與力系的多個(gè)未知力的作用線平行或垂直的心理投射軸，力矩心使用盡可能多的力矩方程，使一個(gè)方程只包含一個(gè)未知數(shù)。 例1已知q=2KN/m，求出

10、圖示構(gòu)造a的支承臺的反作用力。 解：正在嘗試以AB棒為研究對象畫畫。 從X=0:Y=0:MA=0:例2求出圖示構(gòu)造的支承臺反作用力。 解：正在嘗試以AB棒為研究對象畫畫。從X=0:Y=0:MA=0:Y=0:MA=0:X=0:例3求出圖示構(gòu)造的支承臺反作用力。 解：以整個(gè)結(jié)構(gòu)為研究對象嘗試著畫畫。 圖5 a示出了懸臂電動葫蘆起重機(jī)； 已知有南朝梁AB的重量W1=4kN、吊重W=20kN、南朝梁長度l=2m、從重物到鉸鏈a的距離x=1.5m、橫拉桿CD的傾斜角。 求出拉桿CD受到的力和鉸鏈a處的反作用力。 【解】1 )選擇研究對象。 已知的力和未知力都作用于南朝梁AB，因此將南朝梁AB作為對象。

11、2 )在畫上下功夫。 作用于南朝梁AB的力是重力W1、w、轉(zhuǎn)向橫拉桿CD的拉伸力FT和鉸鏈a處的反作用力FAx、FAy (指假設(shè))。 這些個(gè)的力構(gòu)成一個(gè)平面系統(tǒng)。 3 )將平衡方程排成一列求解。 采用平衡方程的基本形式。 首先以b點(diǎn)為力矩心，列出力矩方程式。 好的，再把y軸作為心理投射軸，列出心理投射方程式，好的，最后把x軸作為心理投射軸，列出心理投射方程式，好的，傳真，傳真的修正結(jié)果是正的，說明力的實(shí)際方向與假設(shè)相同。 四)討論。 (a )通過列舉對于a、b兩點(diǎn)的力矩方程式和在x軸上的心理投射方程式，即、也能夠同樣地解本問題。 (b )本問題也可以試著求解a、b、c三點(diǎn)的三個(gè)矩方程式，即比較

12、三種解法的優(yōu)缺點(diǎn)。 圖5 a示出了南朝梁a-b。 已知F 2 kN、q 1 kN/m、M 4 kN、a 1 m，求出在固定端a的反作用力。 【解】1 )選擇研究對象。 然后選擇梁AB作為研究的目標(biāo)。 2 )在畫上下功夫。 南朝梁AB除主動力外，還在固定端a受到約束反作用力FAx、FAy和約束反作用力偶MA的作用，如假想圖所示指向。 解MA、FAy、FAx、3 )列平衡方程。 是，是，MA、FAy、FAx、均布載荷q用其合力替換。由于力偶中兩個(gè)力在同一軸上心理投射的代數(shù)和等于零，故在列心理投射方程式時(shí)不必考慮力偶。 3.3.3平面系統(tǒng)的一些特殊情況，3 .平面平行系統(tǒng)，1 .平面相交系統(tǒng)，2 .

13、平面相交系統(tǒng)，平面相交系統(tǒng)的平衡方程，平面相交系統(tǒng)只有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，唯一【例6】管桁架的一個(gè)交點(diǎn)是由四根角鋼鉚接在連接板上構(gòu)成的。 桿a和桿c的受力分別已知為FA=4kN，F(xiàn)C=2kN，方向如圖所示。 求出活塞桿b和活塞桿d的受力FB和FD。 【解】以連接板為對象，如受力的圖所示，假定力FB和FD的方向。 連接板通過平面匯流系統(tǒng)FA、FB、FC、FD進(jìn)行平衡，列舉平衡方程，根據(jù)X=0 FBFC FDcos45o FAcos30o=0、Y=0 FAsin30oFDsin45o=0，式。 2 .平面偶系數(shù)和平面偶系數(shù)的平衡方程在平面偶系數(shù)中只有一個(gè)獨(dú)立的平衡方程，并且只能求解一個(gè)未知量。 圖

14、7 (a )所示的南朝梁AB受到力偶的作用，求力偶的力矩M=20kNm，南朝梁的搖鏡頭長度l=5m，支撐臺a、b處的反作用力，南朝梁的自重不可糾正。 把、l、【解】南朝梁AB作為研究對象。 由于力偶m和a、b兩處的支承臺反作用力FA、FB，使南朝梁保持平衡。 因?yàn)榕剂χ荒芘c偶力平衡，所以我知道FA和FB應(yīng)該構(gòu)成一個(gè)偶力。 并且，由于FB與支承臺b的支承面垂直，因此，南朝梁所受到的力如圖(b )所示。 由偶力系的平衡方程得到、l，所以如果平面系中的各力作用線全部平行，則稱為平面平行系。 y軸平行于各力作用線，x軸垂直于各力作用線，則顯然式自然滿足，所以，其平衡方程為3 .平面平行系、平面平行系平

15、衡方程的二力矩形式，式中連接a、b兩點(diǎn)的線不平行于各力作用線。 平面平行系統(tǒng)只有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，只能解兩個(gè)未知量。 如圖5 (a )所示，塔式起重機(jī)是信息幀自重w、最大電動葫蘆起重機(jī)載荷FP、計(jì)數(shù)器字體粗細(xì)WQ。 已知有w、FP、a、b、e、l，求出WQ的范圍，以便無論電動葫蘆起重機(jī)滿載還是空載都不會跌倒。 FP，WQ，【解】1 )考慮滿載時(shí)的情況。 以電動葫蘆起重機(jī)為對象。作用于電動葫蘆起重機(jī)的力是信息幀重力w、吊荷FP、平衡字體粗細(xì)重力WQ以及對軌道的車輪的約束反作用力FA、FB，這些個(gè)的力構(gòu)成一個(gè)平面平行系統(tǒng)。 滿載時(shí)若電動葫蘆起重機(jī)翻倒，則繞b點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。 在平衡的臨界狀態(tài)下，F(xiàn)A=0

16、，配重塊重量會達(dá)到允許最小值WQmin。 列出關(guān)平衡方程字、FP、WQ、FB、w、WQ、FB、w、FP。 此時(shí)，請不要讓電動葫蘆起重機(jī)圍繞a點(diǎn)翻倒。 在臨界平衡態(tài)下，F(xiàn)B=0，平衡錘重量達(dá)到允許最大值WQmax，列舉了平衡方程，2 )考慮空載時(shí)。 于是，為了在滿載時(shí)和無負(fù)載時(shí)都不翻轉(zhuǎn)WQmax、FA、電動葫蘆起重機(jī)，平衡字體粗細(xì)WQ的范圍是，3.3.4物體系統(tǒng)的平衡問題，所謂物體系統(tǒng)是指多個(gè)物體在約束下以一定方式連接的系統(tǒng)。 為了解決物體系統(tǒng)的平衡問題，通常有以下兩種方法。 首先，將整個(gè)物體系統(tǒng)作為研究對象，列舉平衡方程，求解部分未知量后，將系統(tǒng)的某一部分(由一個(gè)或多個(gè)物體構(gòu)成)作為研究對象，

17、列舉平衡方程直到全部未知量求解。 有時(shí)候，也可以先取出部分，然后把整體作為研究對象來解決。 1 .先考察整體的后部分(或先部分的后整體)，2.1個(gè)一個(gè)，以物體系統(tǒng)中的各物體為研究對象，列舉平衡方程，求解所有未知量。 關(guān)于用什么樣的方法求解，應(yīng)該根據(jù)問題的具體情況，適當(dāng)?shù)剡x擇研究對象，列舉少的方程式，求出未知量。 另外，為了避免解聯(lián)立方程式，各方程式中盡量只包含未知的量。 一個(gè)研究對象最多有三個(gè)平衡條件，因此研究對象最多只有三個(gè)未知力。 請注意，BC桿有三個(gè)未知力，而AB桿有三個(gè)以上的未知力。 請先將BC活塞桿作為修正對象，然后再將AB活塞桿作為修正對象。 例題求出圖示構(gòu)造的支承反作用力。 解：X=0:Y=0:MB=0:BC桿：X=0:Y=0:MA=0:AB桿。 從Y=0:到MA=0:到X=0: