1、上課：每周2晚18:30分,4教東201 答疑：4教西10層1002 電話：88802829/3203 移動：21630013683397716,王建省教授,建筑工程學(xué)院,第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,Prof. Wang JX,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,彈性狀態(tài),一維：胡克定律,三維：廣義胡克定律,塑性狀態(tài),應(yīng)變與應(yīng)力及變形歷史有關(guān),應(yīng)力與應(yīng)變增量的關(guān)系增量理論,比例變形時(shí)：全量理論,屈服條件,Prof, Wang JX,第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,拉伸與壓縮時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線 彈塑性力學(xué)中常用的簡化

2、模型 彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系廣義胡克定律 兩個(gè)常用的屈服條件 增量理論應(yīng)力與應(yīng)變增量的關(guān)系 全量理論（形變理論） 德魯克公設(shè)和伊柳辛公設(shè),Prof, Wang JX,31 拉伸與壓縮時(shí)的應(yīng)力 - 應(yīng)變曲線,一、低碳鋼拉伸時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線,OB：彈性階段,sb,BC：屈服階段,CD：強(qiáng)化階段,DE：局部變形階段,C,ss,ss,Prof, Wang JX,一、低碳鋼拉伸時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線,sb,C,ss,ss,J.Bauschinger效應(yīng)：,強(qiáng)化材料隨著塑性變形的增加，屈服極限在一個(gè)方向提高而在相反方向降低的效應(yīng)。,理想J.Bauschinger效應(yīng)：,屈服極限在一個(gè)方向提高的數(shù)值與在相反方向降低

3、的的數(shù)值相等。,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,二、真應(yīng)力-應(yīng)變曲線,材料不可壓縮：,sTA,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,三、壓縮時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線,對數(shù)應(yīng)變：,體積不變：,真應(yīng)力：,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,壓縮應(yīng)力應(yīng)變曲線的作法,（1）記錄各試件在每次壓縮后的載荷和尺寸。,（2）作各試件的真應(yīng)力與對數(shù)應(yīng)變曲線。,（3）將真應(yīng)力與對數(shù)應(yīng)變曲線轉(zhuǎn)換為真應(yīng)力與D/H的曲線。,（4）將真應(yīng)力與D/H的曲線外推到D/H為

4、零，再轉(zhuǎn)換為真應(yīng)力與對數(shù)應(yīng)變曲線。,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,32 彈塑性力學(xué)常用的簡化模型,1. 理想彈性力學(xué)模型,符合材料的實(shí)際情況。 數(shù)學(xué)表達(dá)式足夠簡單。,力學(xué)模型的要求：,2. 理想彈塑性力學(xué)模型,Prof, Wang JX,32 彈塑性力學(xué)常用的簡化模型,3. 線性強(qiáng)化彈塑性力學(xué)模型,e=1,E,E1,（雙線性強(qiáng)化力學(xué)模型）,4. 冪強(qiáng)化力學(xué)模型,n：強(qiáng)化指數(shù)：0 n 1,32 彈塑性力學(xué)常用的簡化模型,6. 線性強(qiáng)化剛塑性力學(xué)模型,（剛塑性力學(xué)模型）,5. 理想塑性力學(xué)模型,33 彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系廣義虎克定律,一、單拉

5、下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,二、純剪的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,E：彈性模量 m ：泊松比,G：剪切彈性模量,Prof, Wang JX,三、空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力 - 應(yīng)變關(guān)系,依疊加原理,得:,廣義虎克定律,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,體積應(yīng)變：,體積應(yīng)力：,體積應(yīng)變與三個(gè)主應(yīng)力的和成正比。,體積應(yīng)變與平均應(yīng)力成正比。,體積彈性模量,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,偏量形式的廣義虎克定律,應(yīng)力圓與應(yīng)變圓

6、成比例,應(yīng)力偏量與應(yīng)變偏量成正比,應(yīng)力主軸與應(yīng)變主軸相重合,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,在彈性變形階段，應(yīng)力Lode參數(shù)與應(yīng)變Lode參數(shù)相等，應(yīng)力主軸與應(yīng)變主軸重合，應(yīng)力偏量與應(yīng)變偏量成正比。,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,四、用應(yīng)變分量表示應(yīng)力形式的廣義胡克定律,Lame常數(shù),Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,五、主應(yīng)力 - 主應(yīng)變關(guān)系,六、平面狀態(tài)下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系:,Prof, Dr. Wang JX: Pla

7、sticity and Elasticity,平面應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,34 兩個(gè)常用的屈服條件,一、塑性力學(xué)的基本概念,1. 塑性力學(xué)的研究內(nèi)容：,研究材料塑性變形和作用力之間關(guān)系（本構(gòu)關(guān)系）。 研究在塑性變形后物體內(nèi)部應(yīng)力分布規(guī)律。,2. 塑性力學(xué)的特點(diǎn)：,應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系是非線性的。（與材料有關(guān)） 應(yīng)力與應(yīng)變之間沒有一一對應(yīng)的關(guān)系。（與加載歷史有關(guān)） 在變形體中有彈性變形區(qū)和塑性變形區(qū)。（分界線） 區(qū)分加載和卸載過程。（加載使用塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，卸載使用廣義胡克定律。）,Prof, Wang JX

8、,3. 塑性條件（屈服條件）：,屈服條件是材料處于彈性狀態(tài)或塑性狀態(tài)的判斷準(zhǔn)則。,單向拉伸時(shí)的屈服條件：,考慮應(yīng)力的組合對材料是否進(jìn)入塑性狀態(tài)的影響。,彈性狀態(tài),進(jìn)入塑性狀態(tài),空間應(yīng)力狀態(tài)：,應(yīng)力空間：,以應(yīng)力為坐標(biāo)軸的空間。,應(yīng)力空間中每一點(diǎn)都代表一個(gè)應(yīng)力狀態(tài)。,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,應(yīng)力路徑：,應(yīng)力空間中應(yīng)力變化的曲線。,根據(jù)不同的應(yīng)力路徑進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，可確定從彈性階段進(jìn)入塑性階段的分界限。,分界面,分界面：區(qū)分彈性區(qū)和塑性區(qū)的分界面。,屈服條件：描述分界面的數(shù)學(xué)表達(dá)式。（屈服函數(shù)）,工程上使用的屈服條件：Tresca 屈服條

9、件, Mises屈服條件。,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,二、Tresca （特雷斯卡）屈服條件（1864，法國）,在物體中，當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到某一極限值時(shí)，材料便進(jìn)入塑性狀態(tài)。,1. 主應(yīng)力次序已知時(shí)：,單向拉伸時(shí)：,純剪切應(yīng)力狀態(tài)時(shí)：,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,二、Tresca 屈服條件,2. 主應(yīng)力次序未知時(shí)：,三個(gè)式子中，只要一個(gè)式子取等號，材料便進(jìn)入塑性狀態(tài)。,幾何表示：正六棱柱面,平面：通過坐標(biāo)原點(diǎn)的等傾面,將s1 ，s2 ，s3向平面投影,二、Tresca 屈

10、服條件,平面上的屈服軌跡：正六邊形。,3. 平面應(yīng)力狀態(tài)：,在主應(yīng)力次序已知時(shí)使用方便。 當(dāng)主應(yīng)力次序未知時(shí)，數(shù)學(xué)表達(dá)式不連續(xù)，使用不便。,三、Mises 屈服條件（1913，德國）,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,三、Mises 屈服條件,Mises條件的常用形式：,（1）應(yīng)力張量第二不變量形式：,單向拉伸時(shí)：,純剪切時(shí)：,三、Mises 屈服條件,Mises條件的常用形式：,（1）應(yīng)力張量第二不變量形式：,單向拉伸時(shí)：,純剪切時(shí)：,三、Mises 屈服條件,Mises條件的常用形式：,（2）應(yīng)力強(qiáng)度形式：,應(yīng)力強(qiáng)度達(dá)到單伸時(shí)材料的屈

11、服極限時(shí)，材料便進(jìn)入塑性狀態(tài)。（A.A.Ilinshin）,（4）等傾面上的剪應(yīng)力形式： （A.L.Nadai）,（3）彈性形變比能形式： （Hencky）,三、Mises 屈服條件,平面應(yīng)力問題的Mises條件：,平面應(yīng)變問題的Mises條件？,四、兩種屈服條件的比較：,（1）單向拉伸時(shí)重合：,Tresca 六邊形內(nèi)接于Mises 圓,（2）純剪切時(shí)重合：,Tresca 六邊形外切于Mises 圓,15.5%,13.4%,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,四、兩種屈服條件的比較：,（3）薄壁管軸向拉伸和內(nèi)壓作用下的實(shí)驗(yàn)比較：,15.5%

12、,四、兩種屈服條件的比較：,（4）薄壁管軸向拉伸和扭轉(zhuǎn)作用下的實(shí)驗(yàn)比較：,F,F,M,M,t,四、兩種屈服條件的比較：,（4）薄壁管軸向拉伸和扭轉(zhuǎn)作用下的實(shí)驗(yàn)比較：,15.5%,F,F,M,M,P97表31,例1：試定出在 z 方向受約束的平面應(yīng)變問題的屈服條件。 m =0.5,解：,Mises 屈服條件：,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,例1：試定出在 z 方向受約束的平面應(yīng)變問題的屈服條件。 m =0.5,Tresca 屈服條件：,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,例2：薄壁筒

13、軸向拉伸應(yīng)力 s 和內(nèi)壓 p 作用，內(nèi)半徑為：r 。壁厚為：t 。 寫出 M 和 T 條件。,解：,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,作業(yè)：31，32，38,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,34 塑性應(yīng)力與應(yīng)變增量的關(guān)系 增量理論（流動理論）,一、理想彈塑性材料的 Prandtl Reuss 理論,理想彈塑性力學(xué)模型,1. 在塑性區(qū)，應(yīng)變增量由彈性和塑性兩部分組成。,Prof, Wang JX,0,增量理論,一、理想彈塑性材料的 Prandtl Reuss 理論,2. 體積變化是彈

14、性的，在塑性區(qū)，體積不變（體積不可壓縮）。（體積應(yīng)變?yōu)榱悖?3. 彈性應(yīng)變偏量的增量服從廣義胡克定律，塑性應(yīng)變偏量的增量與應(yīng)力偏量成比例。,比例因子，隨載荷、變形程度、點(diǎn)的位置而變。,增量理論,4. 應(yīng)力分量滿足 Mises 屈服條件。,物理意義： 塑性應(yīng)變偏量的增量與應(yīng)力偏量的主軸重合(主方向重合)。 在某一瞬時(shí)塑性應(yīng)變偏量的增量與應(yīng)力偏量成比例(相似)。,增量理論,增量理論,比例因子與材料的屈服極限及變形程度有關(guān)。,PrandtlReuss 理論,增量理論,塑性功增量表示的 PR 理論,塑性功增量：,增量理論,塑性功增量表示的 PR 理論,塑性耗散能,二、理想剛塑性材料的 Levy Mis

15、es 理論,理想剛塑性力學(xué)模型,ee 0,1. 在塑性區(qū)，可忽略彈性變形，總應(yīng)變等于塑性應(yīng)變。,2. 體積不變（體積不可壓縮）。（體積應(yīng)變?yōu)榱悖?Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,增量理論,3. 應(yīng)變偏量的增量與應(yīng)力偏量成比例。,物理意義： 應(yīng)變增量與應(yīng)力偏量的主軸重合(主方向重合)。 在某一瞬時(shí)應(yīng)變增量與應(yīng)力偏量成比例(相似)。,增量理論,4. 應(yīng)力分量滿足 Mises 屈服條件。,LevyMises 理論,增量理論,LM 理論的應(yīng)用：,1. 已知應(yīng)變增量求應(yīng)力偏量或主應(yīng)力差：,?,增量理論,LM 理論的應(yīng)用：,2. 已知應(yīng)力分量求應(yīng)變

16、增量的比值：,?,例1：試確定單向拉伸應(yīng)力狀態(tài)、單向壓縮應(yīng)力狀態(tài)、純剪切應(yīng)力狀態(tài)的塑性應(yīng)變增量之比（理想剛塑性材料）。,解：,單向拉伸應(yīng)力狀態(tài)：,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,單向壓縮應(yīng)力狀態(tài)：,純剪切應(yīng)力狀態(tài)：,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,例2：薄壁圓筒，已知內(nèi)半徑為 R ，壁厚為 t ，承受內(nèi)壓為 p ，試塑性應(yīng)變增量之比 （理想剛塑性材料）。,解：,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,例3：已知一應(yīng)力狀態(tài)： 求：,

17、解：,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,例4 ：薄壁圓管受拉應(yīng)力 作用，使用Mises條件，求受扭屈服時(shí) 此時(shí)塑性應(yīng)變增量之比為多少？,解：,Mises條件：,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,應(yīng)力路徑：（1）先拉至進(jìn)入塑性狀態(tài)再扭至。（2）先扭后拉。 （3）同時(shí)拉扭進(jìn)入塑性狀態(tài)（保持不變）。,解：,Mises條件：,O,A,B,C,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,（1）先拉再扭,應(yīng)力狀態(tài)：A,進(jìn)入塑性狀態(tài),應(yīng)力狀態(tài)：C,應(yīng)變

18、分量（體積不可壓縮）：,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,塑性功增量：,塑性功增量表示的 PR 理論,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,（2）先扭后拉。,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,（3）同時(shí)拉扭進(jìn)入塑性狀態(tài)（保持不變）。,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,34 塑性應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系全量理論（形變理論）,一、比例變形與簡單加載,變形時(shí)，應(yīng)變增量之比為常數(shù)。,1. 比例

19、變形：,應(yīng)變成比例,Prof, Wang JX,全量理論,一、比例變形與簡單加載,1. 比例變形：,2. 比例加載：,3. 簡單加載：,簡單加載：單元體的應(yīng)力分量之間的比值，在加載過程中保持不變，按同一參數(shù)單調(diào)增長。（應(yīng)力主方向不變。）,全量理論,一、比例變形與簡單加載,簡單加載的條件：,（1）外載荷按比例增加。 （2）體積不可壓縮。 （3）應(yīng)力與應(yīng)變具有冪強(qiáng)化形式。 （4）小變形。,（可用平衡微分方程和幾何方程）,二、單一曲線假設(shè),在簡單加載或偏離簡單加載不太大的條件下，應(yīng)力強(qiáng)度與應(yīng)變強(qiáng)度具有確定的關(guān)系，而且可以用單向拉伸曲線表示，與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)。,全量理論,三、形變理論（ Hencky I

20、liushin 理論）,1. 體積變化是彈性的，且與平均應(yīng)力成正比。（塑性變形體積變化為零）。,2. 應(yīng)變偏量與應(yīng)力偏量成比例。,彈性階段：,塑性階段：,G與材料性質(zhì)、塑性變形有關(guān)。,全量理論,全量理論,體積不可壓縮：,物理意義： 應(yīng)變與應(yīng)力的主軸重合(主方向重合)。 在某一瞬時(shí)應(yīng)變與應(yīng)力偏量成比例(相似)。, Iliushin 理論,全量理論,3. 應(yīng)力強(qiáng)度與應(yīng)變強(qiáng)度具有確定的關(guān)系，且可用單向拉伸實(shí)驗(yàn)結(jié)果確定出該函數(shù)關(guān)系。,4. 卸載應(yīng)力：,Hencky 理論：,全量理論,比例加載：,全量理論,Hencky Iliushin 理論的應(yīng)用：,1. 已知應(yīng)變狀態(tài)求應(yīng)力偏量或主應(yīng)力差：,?,全量理

21、論,2. 已知應(yīng)力分量求應(yīng)變分量：,例1：已知一應(yīng)力狀態(tài)： 求：,解：,Hencky Iliushin 理論：,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,例2：薄壁圓筒，已知內(nèi)半徑為 R ，壁厚為 t ，承受內(nèi)壓為 p ，試求完全進(jìn)入塑性狀態(tài)后主應(yīng)變之比（材料不可壓縮）。,解：,若同時(shí)受軸向力F，材料的 ss 已知，欲保持直徑不變只產(chǎn)生軸向伸長，試求達(dá)到塑性狀態(tài)時(shí)內(nèi)壓力和軸向力。,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,若同時(shí)受軸向力F，材料的 ss 已知，欲保持直徑不變只產(chǎn)生軸向伸長，試求達(dá)到塑性狀態(tài)時(shí)內(nèi)壓力和軸向力。,解：,直徑不變：,材料不可壓縮：,屈服條件：,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity,若同時(shí)受軸向力F，材料的 ss 已知，欲保持直徑不變只產(chǎn)生軸向伸長，試求達(dá)到塑性狀態(tài)時(shí)內(nèi)壓力和軸向力。,Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticit