1、2.8函數(shù)與方程,基礎知識自主學習,課時作業(yè),題型分類深度剖析,內容索引,基礎知識自主學習,(1)函數(shù)零點的定義 對于函數(shù)yf(x)(xd)，把使 的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)(xd)的零點. (2)幾個等價關系 方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與 有交點函數(shù)yf(x)有 . (3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理) 如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有 ，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間 內有零點，即存在c(a，b)，使得 ，這個 也就是方程f(x)0的根.,1.函數(shù)的零點,知識梳理,f(x)0,x軸,零點,f(a)f(b)0,(a，b),f(c)0,c,對于在

2、區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且 的函數(shù)yf(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間 ，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近 ，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.,2.二分法,f(a)f(b)0,一分為二,零點,3.二次函數(shù)yax2bxc (a0)的圖象與零點的關系,(x1,0)，(x2,0),(x1,0),2,1,0,1.有關函數(shù)零點的結論 (1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調函數(shù)，則f(x)至多有一個零點. (2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號. (3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號. 2.三個等價關系 方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)

3、的圖象與x軸有交點函數(shù)yf(x)有零點.,判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點.() (2)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)f(b)0.() (3)只要函數(shù)有零點，我們就可以用二分法求出零點的近似值.() (4)二次函數(shù)yax2bxc(a0)在b24ac0時沒有零點.() (5)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調且f(a)f(b)0，則函數(shù)f(x)在a，b上有且只有一個零點.(),1.(教材改編)函數(shù) 的零點個數(shù)為 a.0 b.1 c.2 d.3,考點自測,答案,解析,f(x)是增函數(shù)，又f(0)1，f(

4、1) ，,f(0)f(1)0，f(x)有且只有一個零點.,2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點的是 a.ycos x b.ysin x c.yln x d.yx21,答案,解析,由于ysin x是奇函數(shù)； yln x是非奇非偶函數(shù)； yx21是偶函數(shù)但沒有零點； 只有ycos x是偶函數(shù)又有零點.,3.(2016吉林長春檢測)函數(shù)f(x) ln xx 2的零點所在的區(qū)間是 a.( ，1) b.(1,2)c.(2，e) d.(e,3),答案,解析,所以f(2)f(e)0，,4.函數(shù)f(x)2x|log0.5 x|1的零點個數(shù)為_.,答案,解析,2,由圖象知兩函數(shù)圖象有2個交點， 故函數(shù)f(x)有

5、2個零點.,5.函數(shù)f(x)ax12a在區(qū)間(1,1)上存在一個零點，則實數(shù)a的取值 范圍是_.,答案,解析,函數(shù)f(x)的圖象為直線，由題意可得f(1)f(1)0，,題型分類深度剖析,題型一函數(shù)零點的確定,命題點1確定函數(shù)零點所在區(qū)間 例1(1)(2017長沙調研)已知函數(shù)f(x)ln x 的零點為x0，則x0所在的區(qū)間是 a.(0,1) b.(1,2) c.(2,3) d.(3,4),答案,解析,x0(2,3)，故選c.,(2)(2016濟南模擬)設函數(shù)yx3與y( )x2的圖象的交點為(x0，y0)，若x0(n，n1)，nn，則x0所在的區(qū)間是_.,答案,解析,(1,2),易知f(x)為

6、增函數(shù)，且f(1)0， x0所在的區(qū)間是(1,2).,命題點2函數(shù)零點個數(shù)的判斷,答案,解析,例2(1)函數(shù)f(x) 的零點個數(shù)是_.,2,當x0時，令x220，解得x (正根舍去)，,所以在(，0上有一個零點；,當x0時，f(x)2 0恒成立，,所以f(x)在(0，)上是增函數(shù). 又因為f(2)2ln 20， 所以f(x)在(0，)上有一個零點， 綜上，函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為2.,(2)若定義在r上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，當x0,1時，f(x)x，則函數(shù)yf(x)log3|x|的零點個數(shù)是 a.多于4 b.4c.3 d.2,答案,解析,由題意知，f(x)是周期為2的偶函數(shù).

7、 在同一坐標系內作出函數(shù)yf(x)及ylog3|x|的圖象， 如圖， 觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)它們有4個交點， 即函數(shù)yf(x)log3|x|有4個零點.,思維升華,(1)確定函數(shù)零點所在區(qū)間，可利用零點存在性定理或數(shù)形結合法. (2)判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法：解方程法；零點存在性定理、結合函數(shù)的性質；數(shù)形結合法：轉化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù).,跟蹤訓練1(1)已知函數(shù)f(x) log2x，在下列區(qū)間中，包含f(x)零點的區(qū)間是 a.(0,1) b.(1,2)c.(2,4) d.(4，),答案,解析,因為f(1)6log2160，f(2)3log2220，,所以函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間為(2,4).,

8、(2)函數(shù)f(x)xcos x2在區(qū)間0,4上的零點個數(shù)為 a.4 b.5c.6 d.7,答案,解析,由f(x)xcos x20，得x0或cos x20. 又x0,4，所以x20,16.,由于cos( k)0(kz)，,而在 k(kz)的所有取值中，,故零點個數(shù)為156.,題型二函數(shù)零點的應用,例3(1)函數(shù)f(x)2x a的一個零點在區(qū)間(1,2)內，則實數(shù)a 的取值范圍是 a.(1,3) b.(1,2)c.(0,3) d.(0,2),答案,解析,因為函數(shù)f(x)2x a在區(qū)間(1,2)上單調遞增，,又函數(shù)f(x)2x a的一個零點在區(qū)間(1,2)內，則有f(1)f(2)0，,所以(a)(4

9、1a)0，即a(a3)0.所以0a3.,(2)已知函數(shù)f(x)|x23x|，xr，若方程f(x)a|x1|0恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是_.,答案,解析,(0,1)(9，),設y1f(x)|x23x|，y2a|x1|， 在同一直角坐標系中作出y1|x23x|，y2a|x1|的圖象如圖所示. 由圖可知f(x)a|x1|0有4個互異的實數(shù)根等價于y1|x23x|與y2a|x1|的圖象有4個不同的交點且4個交點的橫坐標都小于1，,消去y得x2(3a)xa0有兩個不等實根， 所以(3a)24a0，即a210a90，解得a9. 又由圖象得a0，09.,幾何畫板展示,引申探究,本例(2)中，

10、若f(x)a恰有四個互異的實數(shù)根，則a的取值范圍是_.,答案,解析,作出y1|x23x|，y2a的圖象如右：,當x0或x3時，y10，,思維升華,已知函數(shù)零點情況求參數(shù)的步驟及方法 (1)步驟：判斷函數(shù)的單調性；利用零點存在性定理，得到參數(shù)所滿足的不等式(組)；解不等式(組)，即得參數(shù)的取值范圍. (2)方法：常利用數(shù)形結合法.,跟蹤訓練2(1)(2016棗莊模擬)已知函數(shù)f(x)x2xa(a0)在區(qū)間(0,1)上有零點，則a的取值范圍為_.,答案,解析,(2,0),ax2x在(0,1)上有解，,函數(shù)yx2x，x(0,1)的值域為(0,2)， 0a2，2a0.,(2)(2015湖南)若函數(shù)f(

11、x)|2x2|b有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是_.,答案,解析,(0,2),由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b. 在同一平面直角坐標系中畫出y|2x2|與yb的圖象，如圖所示. 則當0b2時，兩函數(shù)圖象有兩個交點， 從而函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個零點.,幾何畫板展示,題型三二次函數(shù)的零點問題,例4已知f(x)x2(a21)x(a2)的一個零點比1大，一個零點比1小，求實數(shù)a的取值范圍.,解答,方法一設方程x2(a21)x(a2)0的兩根分別為x1，x2(x1x2)，則(x11)(x21)0，x1x2(x1x2)10， 由根與系數(shù)的關系，得(a2)(a21)10， 即a2a20，2a

12、1. 方法二函數(shù)圖象大致如圖，則有f(1)0， 即1(a21)a20，2a1. 故實數(shù)a的取值范圍是(2,1).,思維升華,解決與二次函數(shù)有關的零點問題： (1)利用一元二次方程的求根公式； (2)利用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關系； (3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式組.,跟蹤訓練3(2016臨沂一模)若函數(shù)f(x)(m2)x2mx(2m1)的兩 個零點分別在區(qū)間(1,0)和區(qū)間(1,2)內，則m的取值范圍是_.,答案,解析,典例(1)若函數(shù)f(x)axxa(a0且a1)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是_. (2)若關于x的方程22x2xaa10有實根，則實數(shù)a的取值范圍為_.,(1

13、，),利用轉化思想求解函數(shù)零點問題,思想與方法系列4,答案,解析,思想方法指導,(1)函數(shù)零點個數(shù)可轉化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，利用數(shù)形結合求解參數(shù)范圍. (2)“af(x)有解”型問題，可以通過求函數(shù)yf(x)的值域解決.,幾何畫板展示,(1)函數(shù)f(x)axxa(a0且a1)有兩個零點， 即方程axxa0有兩個根， 即函數(shù)yax與函數(shù)yxa的圖象有兩個交點. 當0a1時，圖象如圖所示，此時只有一個交點.,當a1時，圖象如圖所示，此時有兩個交點. 實數(shù)a的取值范圍為(1，).,返回,課時作業(yè),1.設f(x)ln xx2，則函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為 a.(0,1) b.(1,2)c.(

14、2,3) d.(3,4),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,f(1)ln 11210， f(1)f(2)0， 函數(shù)f(x)ln xx2的圖象是連續(xù)的， f(x)的零點所在的區(qū)間是(1,2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2016濰坊模擬)已知函數(shù) 則函數(shù)f(x)的零點為,當x1時，由f(x)2x10，解得x0；,又因為x1，所以此時方程無解. 綜上，函數(shù)f(x)的零點只有0，故選d.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.已知三個函數(shù)f(x)2xx，g(x)x2，h(x)log2x

15、x的零點依次為a，b，c，則 a.abc b.acbc.bac d.cab,答案,解析,故f(x)2xx的零點a(1,0). g(2)0，g(x)的零點b2；,方法二由f(x)0得2xx； 由h(x)0得log2xx，作出函數(shù)y2x， ylog2x和yx的圖象(如圖). 由圖象易知a0,0c1，而b2，故acb.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.方程|x22x|a21(a0)的解的個數(shù)是 a.1 b.2 c.3 d.4,答案,解析,(數(shù)形結合法) a0，a211. 而y|x22x|的圖象如圖， y|x2

16、2x|的圖象與ya21的圖象總有兩個交點.,5.已知函數(shù) 則使方程xf(x)m有解的實數(shù)m的取值范圍是 a.(1,2) b.(，2 c.(，1)(2，) d.(，12，),答案,解析,當x0時，xf(x)m，即x1m，解得m1；,當x0時，xf(x)m，即x m，解得m2，,即實數(shù)m的取值范圍是(，12，).故選d.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.已知xr，符號x表示不超過x的最大整數(shù)，若函數(shù)f(x) a(x0) 有且僅有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,

17、9,10,11,12,13,7.若函數(shù)f(x)x2axb的兩個零點是2和3，則不等式af(2x)0的 解集是_.,答案,解析,f(x)x2axb的兩個零點是2,3. 2,3是方程x2axb0的兩根，,f(x)x2x6. 不等式af(2x)0，即(4x22x6)02x2x30，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.已知函數(shù) 若存在實數(shù)b，使函數(shù)g(x)f(x)b有兩個零點，則a的取值范圍是_.,答案,解析,(，0)(1，),令(x)x3(xa)，h(x)x2(xa)，函數(shù)g(x)f(x)b有兩個零點， 即函數(shù)

18、yf(x)的圖象與直線yb有兩個交點， 結合圖象(圖略)可得ah(a)，即aa2， 解得a1，故a(，0)(1，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,因為函數(shù)f(x)在r上單調遞減，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.(2016衡水期中)若a1，設函數(shù)f(x)axx4的零點為m，函數(shù)g(x)logaxx4的零點為n，則 的最小值為_.,答案,解析,1,設f(x)ax，g(x)logax，h(x)4x， 則h(x)與f(x)，g(x)的交點a，b橫坐標分別為m，n(m0，n0). 因為f(x)與g(x)關于直線yx對稱， 所以a，b兩點關于直線yx對稱. 又因為yx和h(x)4x交點的橫坐標為2， 所以mn4.又m0，n0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,(1)作出函數(shù)f(x)的圖象；,如圖所示.,故f(x)在(0,1上是減函數(shù)，而在(1，)上是增函數(shù).,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(3)若方程f(x)