1、9.5橢圓,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),課時作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),1.橢圓的概念 平面內(nèi)與兩個定點f1，f2的距離之和等于常數(shù)(大于|f1f2|)的點的軌跡叫做 .這兩個定點叫做橢圓的 ，兩焦點間的距離叫做橢圓的 . 集合pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中a0，c0，且a，c為常數(shù)： (1)若 ，則集合p為橢圓； (2)若 ，則集合p為線段； (3)若 ，則集合p為空集.,知識梳理,橢圓,焦點,焦距,ac,ac,ac,2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),2a,2b,2c,a2b2c2,點p(x0，y0)和橢圓的關(guān)系 (1)點p(x0，y0)在橢圓內(nèi) (2)點p(x

2、0，y0)在橢圓上 (3)點p(x0，y0)在橢圓外,判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)平面內(nèi)與兩個定點f1，f2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓. () (2)橢圓上一點p與兩焦點f1，f2構(gòu)成pf1f2的周長為2a2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距).() (3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.() (4)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲線是橢圓.(),1.(教材改編)橢圓 的焦距為4，則m等于 a.4 b.8 c.4或8 d.12,考點自測,答案,解析,解得m4或m8.,2.(2015廣東)已知橢圓 的左焦點為f1(4,0)，則m等于 a.

3、2 b.3 c.4 d.9,答案,解析,由題意知25m216，解得m29，又m0，所以m3.,3.(2016全國乙卷)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的 ，則該橢圓的離心率為,答案,解析,4.如果方程x2ky22表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是_.,答案,解析,(0,1),即k0，所以0k1.,5.(教材改編)已知點p是橢圓 1上y軸右側(cè)的一點，且以點p及焦點f1，f2為頂點的三角形的面積等于1，則點p的坐標(biāo)為 _.,答案,解析,設(shè)p(x，y)，由題意知c2a2b2541， 所以c1，則f1(1,0)，f2(1,0)，由題意可得點p到x軸的距離為

4、1，,題型分類深度剖析,例1 (2016濟南模擬)如圖所示，一圓形紙片的圓心為o，f是圓內(nèi)一定點，m是圓周上一動點，把紙片折疊使m與f重合，然后抹平紙片，折痕為cd，設(shè)cd與om交于點p，則點p的軌跡是 a.橢圓 b.雙曲線 c.拋物線 d.圓,題型一橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程,命題點1利用定義求軌跡,答案,解析,幾何畫板展示,由條件知|pm|pf|. |po|pf|po|pm|om|r|of|. p點的軌跡是以o，f為焦點的橢圓.,命題點2利用待定系數(shù)法求橢圓方程,例2(1)已知橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，且長軸長是短軸長的3倍，并且 過點p(3,0)，則橢圓的方程為_.,答案,解析,答案,解析,設(shè)橢圓

5、方程為mx2ny21(m0，n0且mn). 橢圓經(jīng)過點p1，p2，點p1，p2的坐標(biāo)適合橢圓方程.,命題點3利用定義解決“焦點三角形”問題,答案,解析,3,設(shè)|pf1|r1，|pf2|r2，,4a24c24b2， 又 r1r2 b29，b3.,引申探究,1.在例3中增加條件“pf1f2的周長為18”，其他條件不變，求該橢圓的方程.,由原題得b2a2c29， 又2a2c18， 所以ac1，解得a5，,解答,解答,|pf1|pf2|2a，又f1pf260， 所以|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos 60|f1f2|2， 即(|pf1|pf2|)23|pf1|pf2|4c2， 所以3|

6、pf1|pf2|4a24c24b2，,所以b3.,思維升華,(1)求橢圓的方程多采用定義法和待定系數(shù)法，利用橢圓的定義定形狀時，一定要注意常數(shù)2a|f1f2|這一條件. (2)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組.如果焦點位置不確定，要考慮是否有兩解，有時為了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)為mx2ny21(m0，n0，mn)的形式. (3)當(dāng)p在橢圓上時，與橢圓的兩焦點f1，f2組成的三角形通常稱為“焦點三角形”，利用定義可求其周長；利用定義和余弦定理可求|pf1|pf2|；通過整體代入可求其面積等.,跟蹤訓(xùn)練

7、1(1)已知兩圓c1：(x4)2y2169，c2：(x4)2y29，動圓在圓c1內(nèi)部且和圓c1相內(nèi)切，和圓c2相外切，則動圓圓心m的軌跡方程為,答案,解析,幾何畫板展示,設(shè)圓m的半徑為r， 則|mc1|mc2|(13r)(3r)168|c1c2|， 所以m的軌跡是以c1，c2為焦點的橢圓， 且 2a16,2c8，,答案,解析,pf1pf2，f1pf290. 設(shè)|pf1|m，|pf2|n， 則mn4，m2n212,2mn4，,例4(1)已知點f1，f2是橢圓x22y22的左，右焦點，點p是該橢圓上的一個動點，那么的最小值是,題型二橢圓的幾何性質(zhì),a.0 b.1 c.2 d.2,答案,解析,(2)

8、(2016全國丙卷)已知o為坐標(biāo)原點，f是橢圓c： (ab0)的左焦點，a，b分別為橢圓c的左，右頂點.p為c上一點，且pfx軸.過點a的直線l與線段pf交于點m，與y軸交于點e.若直線bm經(jīng)過oe的中點，則c的離心率為,答案,解析,(1)利用橢圓幾何性質(zhì)的注意點及技巧 注意橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系 在求與橢圓有關(guān)的一些量的范圍，或者最大值、最小值時，經(jīng)常用到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x，y的范圍，離心率的范圍等不等關(guān)系. 利用橢圓幾何性質(zhì)的技巧 求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時，要結(jié)合圖形進行分析，當(dāng)涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系. (2)求橢圓的離心率問題的一般思路

9、 求橢圓的離心率或其范圍時，一般是依據(jù)題設(shè)得出一個關(guān)于a，b，c的等式或不等式，利用a2b2c2消去b，即可求得離心率或離心率的范圍.,思維升華,答案,解析,解得b，c兩點坐標(biāo)為,又因為b2a2c2.,題型三直線與橢圓,解答,又a2c2b23，所以c21，因此a24.,(2)設(shè)過點a的直線l與橢圓交于點b(b不在x軸上)，垂直于l的直線與l交于點m，與y軸交于點h.若bfhf，且moamao，求直線l的斜率的取值范圍.,解答,設(shè)直線l的斜率為k(k0)， 則直線l的方程為yk(x2).,整理得(4k23)x216k2x16k2120.,由(1)知，f(1,0)，設(shè)h(0，yh)，,在mao中，

10、moamao|ma|mo|，,思維升華,(1)解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題.涉及弦中點的問題時用“點差法”解決，往往會更簡單.,提醒：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽略判別式.,解答,則4x25y280與yx4聯(lián)立，,解答,(2)如果bmn的重心恰好為橢圓的右焦點f，求直線l方程的一般式.,橢圓右焦點f的坐標(biāo)為(2,0)， 設(shè)線段mn的中點為q(x0，y0)， 由三角形重心的性質(zhì)知,又b(0,4)，(2，4)2(x02，y0)， 故得x03，y02， 即q的

11、坐標(biāo)為(3，2). 設(shè)m(x1，y1)，n(x2，y2)， 則x1x26，y1y24，,即6x5y280.,高考中求橢圓的離心率問題,高頻小考點8,離心率是橢圓的重要幾何性質(zhì)，是高考重點考查的一個知識點，這類問題一般有兩類：一類是根據(jù)一定的條件求橢圓的離心率；另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍，無論是哪類問題，其難點都是建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式，這是化解有關(guān)橢圓的離心率問題難點的根本方法.,考點分析,典例1(2015福建)已知橢圓e： (ab0)的右焦點為f，短軸的一個端點為m，直線l：3x4y0交橢圓e于a

12、，b兩點.若|af|bf|4，點m到直線l的距離不小于 ，則橢圓e的離心率的取值范圍是,答案,解析,左焦點f0，連接f0a，f0b，則四邊形afbf0為平行四邊形. |af|bf|4， |af|af0|4， a2.,典例2 ( 12分) (2016浙江)如圖，設(shè)橢圓 y21(a1). (1)求直線ykx1被橢圓截得的線段長(用a，k表示)；,解答,設(shè)直線ykx1被橢圓截得的線段為am，,(2)若任意以點a(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.,解答,假設(shè)圓與橢圓的公共點有4個，由對稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個不同的點p，q，滿足|ap|aq|. 記直線ap，aq

13、的斜率分別為k1，k2， 且k10，k20，k1k2. 5分,因為式關(guān)于k1，k2的方程有解的充要條件是1a2(a22)1，所以a .,因此，任意以點a(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點的充要條件為1a ， 10分,課時作業(yè),1.(2016湖南六校聯(lián)考)已知橢圓的中心在原點，離心率e ，且它的一個焦點與拋物線y24x的焦點重合，則此橢圓方程為,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,由已知可得拋物線的焦點為(1,0)，所以c1，,解得a2，b2a2c23，,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,當(dāng)94k0，即4k5時，

14、a3，c29(4k)5k，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,c2k5，,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.2016年1月14日，國防科工局宣布，嫦娥四號任務(wù)已經(jīng)通過了探月工程重大專項領(lǐng)導(dǎo)小組審議通過，正式開始實施.如圖所示，假設(shè)“嫦娥四號”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點p變軌進入以月球球心f為一個焦點的橢圓軌道繞月飛行，之后衛(wèi)星在p點第二次變軌進入仍以f為一個焦點的橢圓軌道繞月飛行.若用2c

15、1和2c2分別表示橢圓軌道和的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道和的長軸長，給出下列式子： a1c1a2c2；a1c1a2c2； ；c1a2a1c2. 其中正確式子的序號是 a. b. c. d.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,觀察圖形可知a1c1a2c2，即式不正確；a1c1a2c2|pf|，即式正確；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.(2016貴州七校聯(lián)考)以橢圓上一點和兩個焦點為頂點的三角形的面積的最大值為1，則橢圓長軸長的最小值為,答案,解析,設(shè)a，b，c分別為橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距， 依題意知，當(dāng)

16、三角形的高為b時面積最大，,(當(dāng)且僅當(dāng)bc1時取等號)，故選d.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,a1(a,0)，a2(a,0)，,y2axx20，0xa.,整理得(b2a2)x2a3xa2b20，其在(0，a)上有解， 令f(x)(b2a2)x2a3xa2b2， f(0)a2b20，f(a)0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,如圖，(a3)24(b2a2)(a2b2) a2(a44a2b24b4) a2(a22b2)20，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.若橢圓 (a0，b0)的焦點在x軸上

17、，過點(2,1)作圓x2y24的切線，切點分別為a，b，直線ab恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點， 則橢圓方程為_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,設(shè)切點坐標(biāo)為(m，n)，,即m2n2n2m0. m2n24，2mn40， 即直線ab的方程為2xy40. 直線ab恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點， 2c40，b40，解得c2，b4， a2b2c220，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.已知p為橢圓 上的一點，m，n分別為圓(x3)2y21和圓(x3)2y24上的點，則|p

18、m|pn|的最小值為_.,答案,解析,7,由題意知橢圓的兩個焦點f1，f2分別是兩圓的圓心，且|pf1|pf2|10，從而|pm|pn|的最小值為|pf1|pf2|127.,9.(2017石家莊質(zhì)檢)橢圓 y21的左，右焦點分別為f1，f2，點p為橢圓上一動點，若f1pf2為鈍角，則點p的橫坐標(biāo)的取值范圍是 _.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,設(shè)橢圓上一點p的坐標(biāo)為(x，y)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1

19、1,12,13,aop是等腰三角形，a(a,0)，p(0，a).,(x0，y0a)2(ax0，y0).,解答,4a24b25a2 ,4a24(a2c2)5a2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)若斜率為2的直線l過點(0,2)，且l交橢圓c于p，q兩點，opoq，求直線l的方程及橢圓c的方程.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,設(shè)p(x1，y1)，q(x2，y2)， 直線l的方程為y22(x0)，即2xy20.,得x24(2x2)24b20， 即17x232x164b20. 3221617(b24)0，解得b .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,即x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0， 5x1x24(x1x2)40.,解答,又因為b(0，b)，f(c,0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6