1、山西省太原市第五中學2020學年高二數(shù)學5月月考試題 理（含解析）一、選擇題（每小題4分，共40分，每小題只有一個正確答案）1.若，則的值為（ ）A. 4B. 4或5C. 6D. 4或6【答案】D【解析】因為，所以 或，所以 或，選D.2.一個教室有五盞燈，一個開關控制一盞燈，每盞燈都能正常照明，那么這個教室能照明的方法有種（）A. 24B. 25C. 31D. 32【答案】C【解析】【分析】每盞燈有2種狀態(tài)，根據(jù)乘法原理共有種狀態(tài)，排除全部都熄滅的狀態(tài)，得到答案.【詳解】由題意有這個教室能照明的方法有種，故選：C【點睛】本題考查了乘法原理，屬于簡單題.3.若隨機變量，則( )A. 2B. 4

2、C. 8D. 9【答案】B【解析】因為隨機變量，所以，故故選:B4.某電視臺的一個綜藝欄目對六個不同的節(jié)目排演出順序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，則不同的排法共有（ ）A. 192種B. 216種C. 240種D. 288種【答案】B【解析】試題分析：完成這件事件，可分兩類：第一類，最前排甲，其余位置有中不同的排法；第二類，最前排乙，最后有4種排法，其余位置有種不同的排法；所以共有種不同的排法.考點：1.分類加法計數(shù)原理；2.分步乘法計數(shù)原理；3.排列知識.5.將多項式分解因式得，則（）A. 20B. 15C. 10D. 0【答案】D【解析】【分析】將展開，觀察 系數(shù)，對應相乘，相加得到答

3、案.【詳解】多項式，則，故選：D【點睛】本題考查了二項式定理，屬于簡單題目6.如圖所示，半徑為1的圓是正方形的內切圓，將一顆豆子隨機地扔到正方形內，用表示事件“豆子落在圓內”，表示事件“豆子落在扇形（陰影部分）內”，則（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用幾何概型先求出，再由條件概率公式求出【詳解】如圖所示，半徑為1的圓O是正方形MNPQ的內切圓，將一顆豆子隨機地扔到正方形MNPQ內，用A表示事件“豆子落在圓O內”，B表示事件“豆子落在扇形陰影部分內”，則，故選：B【點睛】本題考查概率的求法，考查幾何概型、條件概率能等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題7.一袋中有5個白球

4、、3個紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時停止，設停止時共取了X次球，則等于A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用n次獨立重復實驗中恰好發(fā)生k次的概率計算公式，即可求得【詳解】由題意可得，取得紅球的概率為，說明前11次取球中，有9次取得紅球、2次取得白球，且第12次取得紅球，故=故選：D【點睛】本題考查了n次獨立重復實驗中恰好發(fā)生k次的概率，解本題須認真分析P（X=12）的意義，屬于基礎題8.某技術學院安排5個班到3個工廠實習，每個班去一個工廠，每個工廠至少安排一個班，則不同的安排方法共有（ ）A. 60種B. 90種C. 150種D. 24

5、0種【答案】C【解析】【分析】先將5人分成3組，3，1，1和2，2，1兩種分法，再分配，應用排列組合公式列式求解即可.【詳解】將5個班分成3組，有兩類方法：（1）3，1，1，有種；（2）2，2，1，有種.所以不同的安排方法共有種.故選：C.【點睛】本題主要考查了排列組合的實際應用問題：分組分配，注意此類問題一般要先分組再分配（即為排列），屬于基礎題.9.隨機變量的分布列如下，且滿足，則的值（）123A. 0B. 1C. 2D. 無法確定，與，有關【答案】B【解析】【分析】根據(jù)數(shù)學期望定義得到一個等式，概率和為1得到一個等式.計算代入前面關系式，化簡得到答案.【詳解】由隨機變量的分布列得到：，又

6、，解得，故選：B【點睛】本題考查了數(shù)學期望的計算，意在考查學生的計算能力.10.已知某超市為顧客提供四種結賬方式：現(xiàn)金、支付寶、微信、銀聯(lián)卡.若顧客甲沒有銀聯(lián)卡，顧客乙只帶了現(xiàn)金，顧客丙、丁用哪種方式結賬都可以，這四名顧客購物后，恰好用了其中的三種結賬方式，那么他們結賬方式的可能情況有（ ）種A. 19B. 26C. 7D. 12【答案】B【解析】分析：乙只能付現(xiàn)金，甲付現(xiàn)金或用支付寶與微信，然后按丙與甲乙相同的支付方式或不同的支付方式分類詳解：由題意支付方法數(shù)有故選B點睛：本題考查排列組合綜合應用，屬于特殊元素與特殊位置優(yōu)先安排問題解題時關鍵是怎么分類，本題可以按乙甲丙丁順序分步分類安排它們

7、的支付方式有一定的難度二、填空題（每小題4分，共20分）11.現(xiàn)有高一年級的學生3名，高二年級的學生5名，高三年級的學生4名，從中任選一人參加接待外賓的活動，有種不同的選法；從三個年級的學生中各選1人參加接待外賓的活動，有種不同的選法，則_【答案】72【解析】【分析】首先根據(jù)12人中選一人，計算出 ，然后根據(jù)乘法原理計算出 ，相加得到答案.【詳解】高一年級的學生3名，高二年級的學生5名，高三年級的學生4名，從中任選一人參加接待外賓的活動，有種不同的選法，即，從三個年級的學生中各選1人參加接待外賓的活動，有種不同的選法，即，即，故答案為：72【點睛】本題考查了乘法原理，屬于簡單題目.12.將4張

8、相同的卡片放入編號為1、2、3的三個盒子中（可以有空盒），共有_種放法【答案】15【解析】【分析】將4張（有空盒）轉換為7張（無空盒）情況，用隔板法得到答案.【詳解】由排列組合中的相同元素分組問題隔板法得：將4張相同的卡片放入編號為1、2、3的三個盒子中（可以有空盒），等同于7張卡片（無空盒）情況，隔板法：共有，故答案為：15【點睛】本題考查了隔板法，有空盒情況轉化是解題的關鍵.13.某計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個五位二進制數(shù)，其中的各位數(shù)中出現(xiàn)0的概率為 ，出現(xiàn)1的概率為 ，記，當程序運行一次時，的數(shù)學期望_【答案】【解析】【分析】的可能取值分別為0，1，2，3，4分別計算對應概率，寫

9、出分布列計算數(shù)學期望得到答案.【詳解】由題意知的可能取值分別為0，1，2，3，4；表示這4個數(shù)字都是0，則；表示這4個數(shù)字中有一個為1，則；同理；所以分布列為，01234計算數(shù)學期望為故答案為：【點睛】本題考查了分布列，數(shù)學期望正確計算各種情況的概率是關鍵，意在考查學生的計算能力.14.甲乙兩人組隊參加答題大賽，比賽共兩輪，每輪比賽甲、乙兩人各答一題，已知甲答對每個題的概率為，乙答對每個題的概率為，甲、乙在答題這件事上互不影響，則比賽結束時，甲、乙兩人共答對三個題的概率為_【答案】【解析】【分析】甲乙共答對三道題，分為甲兩道乙一道和甲一道乙兩道兩種情況，分別計算概率相加得答案.【詳解】甲、乙兩

10、人共答對三個題，即甲答對2個題，乙答對1個題；或者甲答對1個題，乙答對2個題甲答對2個題，乙答對1個題的概率為；甲答對1個題，乙答對2個題的概率為，故甲、乙兩人共答對三個題的概率為，故答案為：【點睛】本題考查了概率的計算，正確的分類是解題的關鍵.15.隨機變量服從正態(tài)分布，則的最小值為_【答案】【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，得到，再利用均值不等式計算的最小值.【詳解】隨機變量服從正態(tài)分布，由，得，又，且，則當且僅當，即，時等號成立的最小值為故答案為：【點睛】本題考查了正態(tài)分布的計算，均值不等式的運用，綜合性較強，需要同學們熟練掌握各個知識點.三、解答題（每小題10分，共40分）16.某

11、次文藝晚會上共演出7個節(jié)目，其中2個歌曲，3個舞蹈，2個曲藝節(jié)目，求分別滿足下列條件的節(jié)自編排方法有多少種？（用數(shù)字作答）（1）一個歌曲節(jié)目開頭，另個歌曲節(jié)目放在最后壓臺；（2）2個歌曲節(jié)目相鄰且2個曲藝節(jié)目不相鄰【答案】（1）240；（2）960.【解析】【分析】（1）首先安排兩個歌曲節(jié)目，然后安排剩余5個節(jié)目，乘法原理得到答案.（2）將歌曲節(jié)目捆綁看成一個整體，把曲藝節(jié)目插空在其他節(jié)目中，計算得到答案.【詳解】解：（1）根據(jù)題意，分2步進行分析：要求2個歌曲節(jié)目1個在開頭，另一個在最后，有種安排方法，將剩下的5個節(jié)目全排列，安排在中間，有種安排方法，則一共有種安排方法；（2）根據(jù)題意，分3

12、步進行分析：2個歌曲節(jié)目相鄰，將其看成一個整體，有種情況，將這個整體與3個舞蹈節(jié)目全排列，有種情況，排好后有5個空位，在5個空位中任選2個，安排2個曲藝節(jié)目，有種情況，則一共有種安排方法【點睛】本題考查了乘法原理，插空法，捆綁法，知識點比較綜合.17.已知的展開式前三項中的系數(shù)成等差數(shù)列（1）求的值和展開式系數(shù)的和；（2）求展開式中所有的有理項【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）展開式的通項公式為，則前3項的系數(shù)分別為1，成等差，即可列式求解。（2）由（1）知，則，對r賦值，即可求出所有有理項?！驹斀狻浚?）根據(jù)題意，（）n的展開式的通項為Tr+1nr（）nr（）r，其系數(shù)為nr，

13、則前3項的系數(shù)分別為1，成等差，解可得：或，又由，則，在中，令可得：。（2）由（1）的結論，則的展開式的通項為，當時，有，當時，有，當時，有；則展開式中所有的有理項為.【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，熟練掌握展開式的通項公式是解題的關鍵，屬基礎題。18.某高校通過自主招生方式在貴陽招收一名優(yōu)秀的高三畢業(yè)生，經(jīng)過層層篩選，甲、乙兩名學生進入最后測試，該校設計了一個測試方案：甲、乙兩名學生各自從6個問題中隨機抽3個問題已知這6道問題中，學生甲能正確回答其中的4個問題，而學生乙能正確回答每個問題的概率均為，甲、乙兩名學生對每個問題的回答都是相互獨立、互不影響的（

14、1）求甲、乙兩名學生共答對2個問題的概率（2）請從期望和方差的角度分析，甲、乙兩名學生哪位被錄取的可能性更大？【答案】（1）；（2）甲.【解析】【分析】（1）乙兩名學生共答對2個問題分為：甲2個乙0個，甲1個乙1個，甲0個乙2個，分別計算概率相加得答案.（2）分別計算兩個學生的期望和方差，選擇期望大，方差小的學生.【詳解】解：（1）由題意得甲、乙兩名學生共答對2個問題的概率：（2）設學生甲答對題數(shù)為，則的所有可能取值為1，2，3，設學生乙答對題數(shù)為，則所有可能的取值為0，1，2，3，由題意知，甲被錄取的可能性更大【點睛】本題考查了概率，數(shù)學期望，方差的計算，比較數(shù)據(jù)的優(yōu)劣性，首先考慮數(shù)學期望，

15、再考慮方差.19.山西省在2020年3月份的高三適應性考試中對數(shù)學成績數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示，全市10000名學生的成績近似服從正態(tài)分布，現(xiàn)某校隨機抽取了50名學生的數(shù)學成績分析，結果這50名學生的成績全部介于85分到145分之間，現(xiàn)將結果按如下方式分為6組，第一組，第二組，第六組，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求全市數(shù)學成績在135分以上的人數(shù)；（2）試由樣本頻率分布直方圖佔計該校數(shù)學成績的平均分數(shù)；（3）若從這50名學生中成績在125分（含125分）以上的同學中任意抽取3人，該3人在全市前13名的人數(shù)記為，求的分布列和期望附：若，則，【答案】（1）800；（2）112；（3）見解析.【解析】【分析】（1）頻率作為概率，乘以總人數(shù)即得答案.（2）首先根據(jù)頻率和為1計算 ，再根據(jù)平均值公式計算得到答案.（3）計算各個情況的概率，得出分布列，然后根據(jù)期望公式得到答案.【詳解】（1）全市數(shù)學成績在135分以上