1、江蘇省邳州市第二中學高三數學復習：第85課時 復數的代數形式及其運算學案 蘇教版一教學目標：掌握復數的基本題型，主要是討論復數的概念，復數相等，復數的幾何表示，計算復數模，共軛復數，解復數方程等。二教學重點：復數的幾何表示，計算復數模，共軛復數，解復數方程等。三教學過程：（一）主要知識：1共軛復數規(guī)律，；2復數的代數運算規(guī)律（1）i=1，i=i，i=1，i=i；（3）iiii=1，iiii=0；3輻角的運算規(guī)律（1）Arg（zz）ArgzArgz（3）Arg=nArgz（nN），n1?；騴R。要條件是|z|a|。（6）zz0，則4根的規(guī)律：復系數一元n次方程有且只有n個根，實系數一元n次方程的

2、虛根成對共軛出現(xiàn)。5求最值時，除了代數、三角的常規(guī)方法外，還需注意幾何法及不等式|z|z|zz|z|+|z|的運用。即|zz|z|+|z|等號成立的條件是：z，z所對應的向量共線且同向。|zz|z|z|等號成立的條件是：z，z所對立的向量共線且異向。（二）范例分析.2004年高考數學題選1.（2004高考數學試題（浙江卷，6）已知復數z1=3+4i, z2=t+i, 且是實數，則實數t=( )A B C- D-2.(2004年北京春季卷，2)當時，復數在復平面上對應的點位于 （ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.(2004年北京卷，2）滿足條件的復數在復平面上對應點的軌跡是

3、( C )A一條直線 B兩條直線 C圓 D橢圓.主要的思想方法和典型例題分析：1化歸思想復數的代數、幾何、向量及三角表示，把復數與實數、三角、平面幾何和解析幾何有機地聯(lián)系在一起，這就保證了可將復數問題化歸為實數、三角、幾何問題。反之亦然。這種化歸的思想方法應貫穿復數的始終。【分析】這是解答題，由于出現(xiàn)了復數和，宜統(tǒng)一形式，正面求解。解法一、設zxyi（x，yR），原方程即為用復數相等的定義得：=1，=1+3i.兩邊取模，得：代入式得原方程的解是=1，=1+3i.【例2】（1993全國理）設復數z=cosisin（0【解】zcos+isin=cos4isin4即，又0，當時，或【說明】此題轉化為

4、三角問題來研究，自然、方便?！纠?】設a，b，x，yR+，且（r0），求證：分析令=ax+byi，=bx+ayi（a，b，x，yR+），則問題化歸為證明：|+|r（a+b）。證明設=ax+byi，=bxayi（a，b，x，yR+），則=|（a+b）x+（ab）yi|=|（ab）（x+yi）|（ab）r。解如圖所示，設點Q，P，A所對應的復數為：即（x3a+yi）（i）（x3a+yi）由復數相等的定義得而點（x，y）在雙曲線上，可知點P的軌跡方程為【說明】將復數問題化歸為實數、三角、幾何問題順理成章，而將實數、三角、幾何問題化歸為復數問題，就要有較強的聯(lián)想能力和跳躍性思維能力，善于根據題設構造恰

5、到好處的復數，可使問題迎刃而解。2分類討論思想分類討論是一種重要的解題策略和方法。在復數中它能使復雜的問題簡單化，從而化整為零，各個擊破。高考復數考題中經常用到這種分類討論思想方法?！纠?】（1990全國理）設a0，在復數集C中解方程z2|z|=a。分析一般的思路是設z=xyi（x，yR），或z=r（cosisin），若由z2|z|=a轉化為z=a2|z|，則zR。從而z為實數或為純虛數，這樣再分別求解就方便了。總之，是一個需要討論的問題?！窘狻拷夥ㄒ粃=a2|z|R，z為實數或純虛數。問題可分為兩種情況：（1）若zR，則原方程即為|z|+2|z|a=0，（2）若z為純虛數，設z=yi（yR且

6、y0），則原方程即為|y|2|y|a=0當a=0時，|y|=2即z=2i。當0a1時，當a1時，方程無實數解，即此時原方程無純虛數解。綜上所述，原方程：當a=0時，解為z0或z=2i解法二設z=xyi，x，yR，將原方程轉化為3數形結合思想數與形是數學主要研究內容，兩者之間有著緊密的聯(lián)系和互相滲透、互相轉化的廣闊前景，復平面的有關試題正是它的具體表現(xiàn)。運用數形結合思想與方法解題是高考考查的熱點之一，應引起注意?！纠?】已知|z|=1，且z+z1，求z?！窘狻坑蓏+z=1聯(lián)想復數加法的幾何性質，不難發(fā)現(xiàn)z，z，1所對應的三點A，B，C及原點O構成平行四邊形的四個頂點，如圖所示，【說明】這樣巧妙地

7、運用聯(lián)想思維，以數構形，以形思數，提煉和強化數形結合的思想方法，有利于培養(yǎng)學生思維的深刻性?！纠?】復平面內點A對應復數z，點B對應復數為，O為原點，AOB是面積為的直角三角形，argz(0，)，求復數z的值【分析】哪一個角為直角，不清楚，需要討論【解】因|OA|=|z|=|OB|，故A不可能是直角，因而可能AOB=90或ABO=90若AOB=90，示意圖如圖1所示因z與所對應的點關于實軸對稱，故argz=45,xOABy圖1SAOB=|OA|OB|=|z|=|z|2=于是，|z|=2，從而，z=2(cos45+isin45)=+ixOABy圖2若ABO=90，示意圖如圖2所示因z與所對應的點

8、關于實軸對稱，且AOB90，故argz=45令z=r(cos+isin)，則cos2=，sin2=，SAOB=|OA|OB|sin2=rr=r2=于是，r=又cos=，sin=，故z=(+i)=2+i綜上所述，z=+i或z=2+i【說明】解題關鍵點：正確地對直角的情況進行分類討論，正確地理解復數的幾何意義，作出滿足條件的示意圖解題規(guī)律：復數的幾何意義來源于復數z=a+bi(a、bR)與復平面上的點(a，b)之間的一一對應，它溝通了復數與解析幾何之間的聯(lián)系，是數形結合思想的典型表示解題技巧：復數z與它的共軛復數在復平面內對應的向量關于實軸對稱這樣巧妙地以形譯數，數形結合，不需要計算就解決了問題，

9、充分顯示了數形結合的思想方法在解題中的作用。4集合對應思想【例8】如圖所示，在復平面內有三點P，P，P對應的復數應的復數為a，2a，3a，且它們有相同的輻角主值（如圖所示），即A，P，P，P共線。從而2sin2因此有a=2i。5整體處理思想解復數問題中，學生往往不加分析地用復數的代數形式或三角形式解題。這樣常常給解題帶來繁瑣的運算，導致解題思路受阻。因此在復數學習中，有必要提煉和強化整體處理的思想方法，居高臨下地把握問題的全局，完善認識結構，獲得解題的捷徑，從而提高解題的靈活性及變通性?！纠?】已知z=2i，求z3zz+5z2的值。【分析】如果直接代入，顯然比較困難，將z用三角式表示也有一定的

10、難度。從整體角度思考，可將條件轉化為（z2）=（i）=1，即z4z+4=1，即z4z+5=0，再將結論轉化為z3zz+5z2=（z4z5）（zz）+2，然后代入就不困難了?！窘狻縵=2i，（z2）=（i）=1即z4z+5=0z3zz+5z2=（z4z+5）（zz）+2=2?！纠?0】已知，求。【解】解由條件得【說明】把題中一些組合式子視作一個“整體”，并把這個“整體”直接代入另一個式子，可避免由局部運算帶來的麻煩?！纠?1】復平面上動點z的軌跡方程為：|zz|z|，z0，另一動點z滿足zz=1，求點z的軌跡。解由|zz|z|，知點z的軌跡為連結原點O和定點z的線段的垂直平分線。將此式整體代入點

11、z1的方程，得的圓（除去原點）?！纠?2】設zc，a0，解方程z|z|azi=0。邊取模，得【說明】解復數方程，可通過整體取模，化為實數方程求解。綜上所述，解答復數問題，應注意從整體上去觀察分析題設的結構特征，挖掘問題潛在的特殊性和簡單性，充分利用復數的有關概念、共軛復數與模的性質、復數的幾何意義以及一些變形技巧，對問題進行整體化處理，可進一步提高靈活、綜合應用知識的能力。6有關最值問題的多角度思考【例13】復數z滿足條件|z|=1，求|2zz+1|的最大值和最小值。解法一|z|=1，z=cosisin|2zz+1|=|2（cosisin）（cosisin）1|=|（2cos2cos1）（2s

12、in2sin）i|2zz+1|=|2zz+|設z的實部為a，則1a1|2zz+1|=|2az1|，|2zz+1|=4解法三：設=x+yi（x，yR），z=abi（a，br）且a+b=1，這說明對應的點是如圖所示的橢圓，問題轉化為求該橢圓上各點中與原點距離的最大值和最小值。時的圓的半徑。得8x2x89r0， 由相內切條件知=0,解法四由模不等式：|2zz+1|2|z|z|+1=4，等號成立的條件是2z，z，1所對應的向量共線且同向，可知z是負實數，在|z|=1的條件下，z=-1當z=1時|2zz+1|=4。但另一方面：|2zz+1|2|z|z|1=0，這是顯然成立的，可是這不能由此確定|2zz+

13、1|=0，實際上等號成立的條件應為2z，z，1表示的向量共線且異向，由2z與1對應的向量共線且異向知z=i，但是當z=i時，2z與z不共線，這表明|2zz+1|的最小值不是0。以上這種求最小值的錯誤想法和解法是學生易犯的錯誤，此部分內容既為重點也為難點，應向學生強調說明，并舉例，切記取等號的條件?！纠?4】2001年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(理18)已知復數z1i(1i)3()求argz1及|z|；()當復數z滿足|z|1，求|zz1|的最大值【分析】本小題考查復數的基本性質和基本運算，以及分析問題和解決問題的能力【解】()，|z1|()設，則當時，取得最大值，從而得到的最大值為四課后作業(yè)

14、：1、下列命題中正確的是 A方程|z+5|z5i|=8的圖形是雙曲線B方程|z+5|=8的圖形是雙曲線C方程|z+5i|z5i|=8的圖形是雙曲線的兩支D方程|z+5i|z5i|=8的圖形是雙曲線靠近焦點F(0，5)的一支2、方程的圖形是 A圓 B橢圓 C雙曲線 D直線3、在復平面上繪出下列圖形：4、已知是虛數，是實數。(1)求z對應復平面內動點A的軌跡；(2)設u=3iz+1，求u對應復平面內動點B的軌跡；（3）設，求對應復平面內動點C的軌跡。5、設A，B，C三點對應的復數分別為z，z，z滿足(1)證明：ABC是內接于單位圓的正三角形；(2)求SABC；6、若，求所對應的點A的集合表示的圖形

15、，并求其面積7設z1，z2是兩個虛數，且z1+z2=-3，|z1|+|z2|=4若1=argz1，2=argz2，求cos(1-2)的最大值8（2003年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（上海理17）已知復數z1=cosi，z2=sin+i，求|z1z2|的最大值和最小值.四、專題訓練參考答案1、解：DA的圖形是直線，B的圖形是圓，C是圖形是雙曲線的一去故選D|z+5i|-|z-5i|=8才是雙曲線的兩支2、解：A原方程即|z(2+i)|=7故選A3、解：4、解：（1）因為z是虛數，所以，于是，即，且，因此動點A軌跡是中心在原點，半徑等于2的圓，但去掉兩個點(2，0)與(2，0)(2)由u=3iz+1得u1=3iz由(1)及題設知|z|=2，z2，所以|u1|=6，且u16i因此動點B的軌跡是圓，中心在(1，0)，半徑等于6，但去掉兩點(1，6)與(1，6)(3)設z=2(cos+isin)，(0，)則再令v=x+yi(x，yR)，則5、解：(1)由(ii)知A，B，C三點都在單位圓上再結合(i)得z=(z+z