1、立體幾何中的有關(guān)證明與綜合問題例1 已知斜三棱柱ABC-ABC的底面是直角三角形，C=90，側(cè)棱與底面所成的角為（090），B在底面上的射影D落在BC上。（1）求證：AC面BBCC。（2）當(dāng)為何值時，ABBC，且使得D恰為BC的中點。講解：（1） BD面ABC，AC面ABC， BDAC，又ACBC，BCBD=D， AC面BBCC。（2）由三垂線定理知道：要使ABBC，需且只需AB在面BBCC內(nèi)的射影BCBC。即四邊形BBCC為菱形。此時，BC=BB。因為BD面ABC，所以，就是側(cè)棱BB與底面ABC所成的角。由D恰好落在BC上，且為BC的中點，所以，此時=。即當(dāng)=時，ABBC，且使得D恰為BC的

2、中點。例2 如圖：已知四棱錐中，底面四邊形為正方形，側(cè)面PDC為正三角形，且平面PDC底面ABCD，E為PC中點。（1）求證：平面EDB平面PBC；（2）求二面角的平面角的正切值。講解：（1）要證兩個平面互相垂直，常規(guī)的想法是：證明其中一個平面過另一個平面的一條垂線。首先觀察圖中已有的直線，不難發(fā)現(xiàn)，由于側(cè)面PDC為正三角形，所以，那么我們自然想到：是否有？這樣的想法一經(jīng)產(chǎn)生，證明它并不是一件困難的事情。 面PDC底面ABCD，交線為DC， DE在平面ABCD內(nèi)的射影就是DC。在正方形ABCD中，DCCB， DECB。又， DE。又面EDB， 平面EDB平面PBC。（2）由（1）的證明可知：D

3、E。所以，就是二面角的平面角。 面PDC底面ABCD，交線為DC，又平面ABCD內(nèi)的直線CB DC。 CB面PDC。又面PDC， CBPC。在Rt中，。點評：求二面角的平面角，實際上是找到棱的一個垂面，事實上，這個垂面同時垂直于二面角的兩個半平面。例3如圖：在四棱錐中，平面，為的中點。（1）求證：平面；（2）當(dāng)點到平面的距離為多少時，平面與平面所成的二面角為？講解：題目中涉及到平面與平面所成的二面角，所以，應(yīng)作出這兩個平面的交線（即二面角的棱）。另一方面，要證平面，應(yīng)該設(shè)法證明CE平行于面內(nèi)的一條直線，充分利用中點（中位線）的性質(zhì)，不難發(fā)現(xiàn)，剛剛做出的二面角的棱正好符合要求。（1）延長BC、A

4、D交于點F。在中，所以，AB、CD都與AF垂直，所以，CD/AB，所以，。又，所以，點D、C分別為線段AF、BF的中點。又因為為的中點，所以，EC為的中位線，所以，EC/SF。又，所以，平面。（2）因為：平面，AB平面，所以，AB。又ABAF，所以，AB面。過A作AHSF于H，連BH，則BHSF，所以，就是平面與平面所成的二面角的平面角。在Rt中，要使=，需且只需AH=AB=。此時，在SAF中，所以，。在三棱錐S-ACD中，設(shè)點A到面SCD的距離為h，則h=因為AB/DC，所以，AB/面SCD。所以，點A、B到面SCD的距離相等。又因為E為SB中點，所以，點E到平面SCD的距離就等于點B到面S

5、CD距離的一半，即。點評：探索性的問題，有些采用先猜后證的方法，有些則是將問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，在轉(zhuǎn)化的過程中不斷探求結(jié)論。例4如圖，已知面，于D，。（1）令，試把表示為的函數(shù)，并求其最大值；（2）在直線PA上是否存在一點Q，使得？講解（1）為尋求與的關(guān)系，首先可以將轉(zhuǎn)化為。 面，于D， 。 。 。 為在面上的射影。 ，即。 。即的最大值為，等號當(dāng)且僅當(dāng)時取得。（2）由正切函數(shù)的單調(diào)性可知：點Q的存在性等價于：是否存在點Q使得。令，解得：，與交集非空。 滿足條件的點Q存在。點評本題將立體幾何與代數(shù)融為一體，不僅要求學(xué)生有一定的空間想象力，而且，作好問題的轉(zhuǎn)化是解決此題的關(guān)鍵。例5如圖所示：正四棱錐

6、中，側(cè)棱與底面所成角的正切值為。（1）求側(cè)面與底面所成二面角的大??；（2）若E是PB中點，求異面直線PD與AE所成角的正切值；（3）在側(cè)面上尋找一點F，使得EF側(cè)面PBC。試確定點F的位置，并加以證明。講解： （1）連交于點，連PO，則PO面ABCD， PAO就是與底面所成的角， tanPAO=。設(shè)AB=1，則PO=AOtanPAO = 。設(shè)F為AD中點，連FO、PO，則OFAD，所以，PFAD，所以，就是側(cè)面與底面所成二面角的平面角。在Rt中， 。即面與底面所成二面角的大小為（2）由（1）的作法可知：O為BD中點，又因為E為PD中點，所以，。 就是異面直線PD與AE所成的角。在Rt中，。 。

7、由，可知：面。所以，。在Rt中，。 異面直線PD與AE所成的角為。（3）對于這一類探索性的問題，作為一種探索，我們首先可以將條件放寬一些，即先找到面的一條垂線，然后再平移到點E即可。為了達(dá)到上述目的，我們可以從考慮面面垂直入手，不難發(fā)現(xiàn)：。延長交于點，連接。設(shè)為中點，連接。 四棱錐為正四棱錐且為中點，所以，為中點， ，。 。 面。 ， 為正三角形。 ， 。取AF中點為K，連EK，則由及得四邊形為平行四邊形，所以，。點評開放性問題中，“退一步去想”（先只滿足部分條件）、“將命題加強(qiáng)”往往是找到解題的突破口的方法。1（2000年全國高考題）如圖，已知平行六面體ABCD-的底面ABCD是菱形，且=。

8、（I）證明：BD；（II）假定CD=2，=，記面為，面CBD為，求二面角 的平面角的余弦值；（III）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，能使平面？請給出證明。 CD M B ENA F答案與提示：（）略；（）；（）=1。2（2002年全國高考）如圖：正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=.（）求MN的長；（）當(dāng)為何值時，MN的長最??；（）當(dāng)MN的長最小時，求面MNA與面MNB所成的二面角的大小。答案與提示：（）；（）時，MN的長最小，為；（）3（2002年北京高考）如圖：在多面體中，上、下底面平行且均為矩形，相對的側(cè)面與同一底面所成的二面角大小相等，側(cè)棱延長后相交于E、F兩點，上下底面矩形的長、寬分別為與，且，兩底面間的距離為。（1）求側(cè)面與底面所成二面角的大??；（2）證明：（3）在估測該多面體的體積時，經(jīng)常運用近似公式來計算。已知它的體積公式是。試判斷與的大小關(guān)系，并加以證明。（注：與兩