1、2020/7/28，1，1，第7章圖的基本概念、退出、圖論是近年來(lái)發(fā)展迅速、應(yīng)用廣泛的一門新興學(xué)科，解決了離散型的最優(yōu)化問(wèn)題。 它始于1736年歐拉(Euler解決的哥尼斯堡七橋問(wèn)題)、迷宮問(wèn)題、藏門博奕問(wèn)題、棋盤(pán)上馬的行走路線問(wèn)題等一些數(shù)學(xué)男同性戀難題研究。 這些個(gè)的老難題，當(dāng)時(shí)引起了眾多學(xué)者的關(guān)注，在研究這些個(gè)問(wèn)題的基礎(chǔ)上，繼續(xù)提出著名的四色猜想，哈磨粉機(jī)頓環(huán)游了世界數(shù)學(xué)難題。 1847年，kirchhoff(kirchhoff )用圖論分析電路網(wǎng)絡(luò)，這是圖論最初應(yīng)用于工程科學(xué)科學(xué)后，隨著科學(xué)的發(fā)展，圖論在解決運(yùn)籌學(xué)、網(wǎng)絡(luò)理論、信息論、控制論、博奕論及計(jì)算機(jī)科學(xué)等各種領(lǐng)域的問(wèn)題時(shí)越來(lái)越大圖

2、論是各種物理學(xué)科、工程科學(xué)領(lǐng)域、社會(huì)科學(xué)和經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的廣泛應(yīng)用，受到數(shù)學(xué)和工學(xué)界的特別重視。 例如：通訊網(wǎng)優(yōu)化設(shè)置修訂、交通網(wǎng)站合理版結(jié)構(gòu)、生產(chǎn)組織健全結(jié)構(gòu)和工程作業(yè)有效控制等問(wèn)題，用圖論方法解決非常方便，圖論是修訂機(jī)及其相關(guān)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課。 通過(guò)圖論學(xué)習(xí)，可以打底子數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)庫(kù)、執(zhí)行操作系統(tǒng)、編譯程序、自動(dòng)智能等后續(xù)課程的學(xué)習(xí)。 在哥尼斯堡(Konigstberg，現(xiàn)在加里寧格勒)的城市有橫貫全市的普雷格爾(Pregel )河，河上有2個(gè)島，河上有7座橋與城市的各部分連接，如下圖所示，每個(gè)假日城市居民都進(jìn)行環(huán)城旅游不知不覺(jué)中，有人提出了以下問(wèn)題，從某處出發(fā)，每一座過(guò)河的橋只能走一次，不能

3、修訂“旅行”，以便通過(guò)七橋后可以重新回到原地。 哥尼斯堡七橋問(wèn)題，哥尼斯堡七橋問(wèn)題，反復(fù)試驗(yàn)和失敗，人們對(duì)成功的可能性產(chǎn)生了疑問(wèn)，推測(cè)問(wèn)題是解不開(kāi)的，但是沒(méi)有人能說(shuō)清其理由，所以好事者向年輕數(shù)學(xué)家歐拉(Euler )咨詢，從一開(kāi)始?xì)W拉也是這個(gè)數(shù)學(xué)題情嚴(yán)格論證上述“七橋問(wèn)題”，從而開(kāi)拓了圖論和拓?fù)浞治鰧W(xué)的思維方法和許多概念和理論，1736年被公認(rèn)為圖論學(xué)科的歷史元年，歐拉作為圖論和拓?fù)浞治鰧W(xué)之父受到尊敬。 如AT研究的呼吁圖所示，約有2億9千萬(wàn)個(gè)頂點(diǎn)和40億個(gè)邊。 偽圖、有向簡(jiǎn)圖、有向多重圖、7.1無(wú)向圖及有向圖，什么是圖？ 可以通過(guò)以某種方式用點(diǎn)和線刻劃離散事物集合中的每一對(duì)事物之間的相關(guān)數(shù)學(xué)

4、模型來(lái)概括該圖。 抽象的太難理解，所以有必要給出把圖作為代數(shù)構(gòu)造的定義。無(wú)向圖的基本概念、無(wú)向圖g :記作一個(gè)有序二元組(v，e )、G=(V，E) G的點(diǎn)集合： (例如在格拉夫(1)中的G=(V，2，3 ) vivj的情況下，將eij和vi (或vj )的關(guān)聯(lián)次數(shù)稱為1。 如果是vivj，則將eij和vi的關(guān)聯(lián)次數(shù)稱為2，如果vi不是eij的端點(diǎn)，則將eij和vi的關(guān)聯(lián)次數(shù)稱為0。 循環(huán)： 2個(gè)端點(diǎn)一致的邊孤立點(diǎn)：與任何邊都不相關(guān)的點(diǎn)，關(guān)聯(lián)：將1個(gè)邊的端點(diǎn)稱為這邊的關(guān)聯(lián)鄰接：將與同一邊相關(guān)的端點(diǎn)稱為鄰接，2個(gè)邊有共同的端點(diǎn)時(shí)，將這2個(gè)邊稱為鄰接，分類，將G=V，e作為1個(gè)圖1 )結(jié)點(diǎn)(|V(

5、G)|=n，則將g稱為n次圖。 (3)E(G)=、g稱為西吉卜賽人普。|如果|V(G)|=0，則將g稱為空?qǐng)D。 |V(G)|=1，則g為平凡圖，|V(G)|=n，g為n次零圖，2 )以同一對(duì)節(jié)點(diǎn)間的邊數(shù)進(jìn)行分類：平行邊： (1)在位于無(wú)向圖的(2)有向圖中，存在多個(gè)與一對(duì)頂點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的有向邊，并且這些邊的起點(diǎn)與終點(diǎn)相同(即方向相同) 定義7.1.1圖G=中，任2個(gè)節(jié)點(diǎn)間為1條邊以下(有向圖情況下，任2個(gè)節(jié)點(diǎn)間為1條同向弧以下)，任1個(gè)節(jié)點(diǎn)沒(méi)有循環(huán)時(shí)，圖g是被稱為簡(jiǎn)單圖的2個(gè)交點(diǎn)間為多條邊(有向圖情況下，2個(gè)交點(diǎn)間為多個(gè)同向弧) 3 )圖邊有無(wú)旁邊(字母、數(shù)量)按特征分類：定義對(duì)7.1.2邊或每個(gè)

6、弧賦予權(quán)重的圖G=，稱為加權(quán)圖，標(biāo)記為G=。 其中，w表示各邊的權(quán)重的集合。 加權(quán)圖在輸油管道系統(tǒng)圖中，是表示每單位時(shí)間流經(jīng)管道的石油量的加權(quán)圖等，在實(shí)際上有很多應(yīng)用的城市街中，權(quán)利表示通行車輛的密度的空中交通圖中，權(quán)利表示兩城市的距離等。 4 )圖的任意2個(gè)節(jié)點(diǎn)間邊連結(jié)分類被有木有：定義7.1.3無(wú)向完全圖：將g作為n次無(wú)向單純圖，如果d的各頂點(diǎn)與該擬的n-1個(gè)頂點(diǎn)鄰接，則將g稱為n次無(wú)向完全圖，簡(jiǎn)稱為n次完全圖，標(biāo)記為Kn，定義7 (邊的數(shù)量為n(n-1 ) )， 將以v為終點(diǎn)的弧的根數(shù)稱為v的進(jìn)度，將標(biāo)記為d-(v )的接合點(diǎn)v的出度和進(jìn)度之和稱為接合點(diǎn)的度數(shù)，標(biāo)記為d(v )，明顯為d

7、(v)=d (v) d-(v )。 對(duì)于無(wú)向圖G=，節(jié)點(diǎn)vV的度數(shù)等于將其連接的邊的數(shù)量，也記作d(v )。 規(guī)定如果v點(diǎn)有循環(huán)，則其點(diǎn)度因循環(huán)而增加2。 很明顯，對(duì)于孤立節(jié)點(diǎn)的度數(shù)為零。 此外，將記為無(wú)向圖G=、(g )或=maxd(v)|vV (G )或=mind(v)|vV的這些個(gè)分別稱為格拉夫g的最大度和最小度。 懸掛的頂點(diǎn)：度數(shù)為1的頂點(diǎn)。 懸掛邊：與懸掛頂點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的邊。 偶(奇)度頂點(diǎn)：度為偶(奇)數(shù)的頂點(diǎn)。 對(duì)有向圖的最大度和最小度：注：簡(jiǎn)單圖，歐拉對(duì)無(wú)向圖中的節(jié)點(diǎn)的度給出了定理。 這是格拉夫中的第一個(gè)定理。 當(dāng)給出定理7.1.1 (握手定理)有向圖G=，V=v1，v2，vn，|

8、E|=m時(shí)，推論在任何無(wú)向圖中奇度頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)都是雙位數(shù)，當(dāng)給出定理7.1.2 (握手定理)有向圖G=，V=v1，v2，vn，|E|=m時(shí)，定義7.1.6度數(shù)列： g 定義7.1.7度數(shù)列的格拉夫化：對(duì)于給定的非整數(shù)列d=d1，d2，dn，如果存在將V=v1，v2，vn設(shè)定為頂點(diǎn)定徑套的n次無(wú)向圖，則如果d(vi)=di，獲得的圖是簡(jiǎn)單的圖，則可以簡(jiǎn)單地將d圖化。 d可格拉夫化的一盞茶要件：定理7.1.3非負(fù)整數(shù)列d=d1、d2、dn可格拉夫化時(shí)，僅d可簡(jiǎn)單格拉夫化的必要條件：若將定理7.1.4設(shè)為任意的n次無(wú)向圖，則可稱為、例2、(3、3、2、3 )、(5、2、3、1、4 )圖的度序列為什么？

9、 3、圖g有12邊，度數(shù)為3的結(jié)點(diǎn)有6個(gè)，侑人度數(shù)都不到3，q:g至少有幾個(gè)結(jié)點(diǎn)，3、從握手定理可知deg(v)=2m=24，度數(shù)為3的節(jié)點(diǎn)有6個(gè)，占18度，其馀6度為該侑在n(n2 )個(gè)人的團(tuán)體中，總是證明兩人在這個(gè)團(tuán)體中擁有相同數(shù)量的小伙伴。 解：如果用節(jié)點(diǎn)代表人，兩人是小伙伴，則通過(guò)在代表他們的節(jié)點(diǎn)之間連接一條邊，可以得到無(wú)向簡(jiǎn)單格拉夫g，每個(gè)人的小伙伴數(shù)，即用格拉夫代表該節(jié)點(diǎn)的度數(shù)，因此問(wèn)題在n次無(wú)向簡(jiǎn)單格拉夫g中必定兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的度數(shù)相同。 使用反證法：假設(shè)g中各節(jié)點(diǎn)的度數(shù)不同，則度數(shù)列有0、1、2、n-1，即在圖中有度數(shù)為0的孤立節(jié)點(diǎn)，這不符點(diǎn)為有n-1度的節(jié)點(diǎn)(由于是簡(jiǎn)單的圖，所以應(yīng)

10、該與其各點(diǎn)均勻地連接)，定義7 (2)如果V2V1、E2E1且E2E1，則將G2稱為G1的真子圖，標(biāo)記為G2G1。 (3)如果V2=V1、E2E1，則將G2記作G1的生成子圖，記作G2 G1。 (V2V1和V2時(shí)，將V2為頂點(diǎn)定徑套、兩端點(diǎn)都處于V2的全部邊為周邊定徑套的g的子格拉夫稱為V2導(dǎo)出的導(dǎo)出子格拉夫。 (如果是E2E1和E2，則將E2為周邊定徑套、E2中與邊關(guān)聯(lián)的頂點(diǎn)整體為頂點(diǎn)定徑套的g的子格拉夫稱為E2導(dǎo)出的導(dǎo)出子格拉夫。 如果定義了7.1.9所給定的圖G=，其中存在圖G1=，并且E1E=和圖是完整圖，則G1相對(duì)于完整圖被稱為g的互補(bǔ)圖，僅僅G1被稱為g的互補(bǔ)圖并且表示為G1=。

11、很明顯，g是指相互之間的互補(bǔ)圖。 另外，圖的定義中強(qiáng)調(diào)節(jié)點(diǎn)定徑套、邊定徑套以及邊和節(jié)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)關(guān)系，未提及連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的邊的長(zhǎng)度、形狀和各就各位，沒(méi)有給出節(jié)點(diǎn)的位置或者決定某個(gè)順序。 因此，對(duì)于兩個(gè)給定格拉夫，其格拉夫表示中呈現(xiàn)相同的格拉夫，雖然在用小圓表示節(jié)點(diǎn)的圖和用直線或曲線表示連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的邊的圖中，視覺(jué)上不同。 因此，引入兩圖的同調(diào)概念是必要的。 定義7.1.10給定的有向圖(或有向圖) G1=和G2=。 如果存在雙射f: V1 V2，那么對(duì)于任何v和uV1，存在(u，v)E1(f(u )，f(v)E2(或者E1 E2)，并且存在(u，v )。 明顯的是，兩個(gè)圖的同體彼此是同體，即，G1

12、對(duì)G2是同體，G2對(duì)G1是同體。 從同調(diào)性的定義可知，要求節(jié)點(diǎn)間不僅具有一對(duì)一的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且在該對(duì)應(yīng)關(guān)系中保持節(jié)點(diǎn)間的相鄰關(guān)系。 對(duì)于有向圖的同源性也要求保持邊的方向。 一般來(lái)說(shuō)，證明兩個(gè)圖是相同的結(jié)構(gòu)并不簡(jiǎn)單，往往需要一些力量。 圖10.1.13判斷是否為同構(gòu)圖。 根據(jù)圖的同調(diào)定義，提供圖的同調(diào)所需要的條件(1)節(jié)點(diǎn)數(shù)相等(2)邊數(shù)相等(3)度數(shù)相同節(jié)點(diǎn)數(shù)相等。 注意：圖的同調(diào)存在節(jié)點(diǎn)間的一對(duì)一映射，保持節(jié)點(diǎn)與邊之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系(有向圖中也保持邊的方向)和邊的重量。 判斷圖是同體，尋找雙射。 因此，圖1.1.14、例如圖1.1.14中的(a )和(b )滿足上述三個(gè)條件，但并不是不同的結(jié)構(gòu)。 這是因?yàn)?，?a )中頻度為3的節(jié)