1、用上課時間達成檢查(三十九)空間向量求空間角一般難度問題全體一定要做已知直三角柱ABCA1B1C1、ACB=90、CA=CB=CC1、d是B1C1的中點，求出異面直線BD和A1C所成的角的侑弦值。解：如圖所示，以c為坐標(biāo)原點，以CA、CB、CC1所處的直線分別為x軸、y軸、z軸作成空間直角坐標(biāo)系。假設(shè)CA=CB=CC1=2，則a1(2，0，2 )、c (0，0 )、b (0，2，0 )、d (0，1 )=(0，- 1，2 )、=(-2，0，-2)，cos是=-.異面直線BD和A1C所成的角的侑弦值是。2 .可知(2018河南洛陽模擬)三棱錐A BCD，AD平面BCD，BDCD，AD=BD=2，

2、CD=2，e，f分別是AC，BC的中點，p(一)尋求證據(jù)： AP；(2)求出直線AC與平面DEF所成的角的正弦值。解： (1)證明：制作PGBD交CD并在點g .上連接AG。=2，GD=光盤=。ad平面BCD，ADDC，在adg中，tanGAD=、在RtADC中，AC2=AD2 CD2=4 12=16、AC=4或者e是AC的中點，de=。另外，AD=2、ADE=60、AGDE。ad平面BCD，ADBD，再有，BDCD、ADCD=D、BD平面ADC，pg平面ADC，PGDE。另外，AGPG=G、de平面AGP、還有ap平面AGP，APDE。(2)以d為坐標(biāo)原點，以直線DB、DC、DA所處的直線分

3、別為x軸、y軸、z軸來制作空間直角坐標(biāo)系D xyz，d (0，0，0 )，a (0，0，2 )，b (2，0，0 )，c (0，2，0 )，e (0，1 )=(1，0 )、=(0，1 )、=(0，2，-2)。設(shè)平面DEF的法向量為n=(x，y，z )，即假設(shè)x=3，則n=(3，-，3 )。將直線AC與平面DEF所成的角設(shè)為，sin=|cosn|=，因此，AC與平面DEF所成角的正弦值為.3 .如圖所示，四邊形ABCD位于正方形，PD平面ABCD，DPC=30，AFPC位于點f，F(xiàn)ECD，交點PD位于點e。(1)證明： CF平面ADF；(2)求二面角D AFE的侑弦值解： (1)證明： PD平面

4、ABCD、ad平面ABCD、PDAD。再有，CDAD、PDCD=D、AD平面PCD。pc平面PCD，ADPC。另外，AFPC、ADAF=A，PC平面ADF，即CF平面ADF。假設(shè)AB=1，則在RtPDC中，CD=1，并且DPC=30，PC=2、PD=、PCD=60。(CFDF，DF=CDsin 60=，cf=光盤操作系統(tǒng)60=。另外，F(xiàn)ECD，=，DE=。同理EF=CD=.如圖所示，若以d為原點建立關(guān)空間直角坐標(biāo)系字，則成為a (0，0，1 )、e、f、p (、0，0 )、c (0，1，0 )。假設(shè)m=(x，y，z )是平面AEF的法向量另外=、=、如果x=4，則獲得了m=(4，0， )。(1

5、)中已知的平面ADF的法向量為=(-，1，0 )，當(dāng)設(shè)二面角D AFE的平面角為時，可知為銳角。cos =|cosm，|=。對二面角D AF E的佚弦值中級難度問題學(xué)優(yōu)生作1.(2018鄭州質(zhì)量預(yù)測)如圖所示，在三角柱ABC A1B1C1中，各棱長都相等. d、e、f分別是棱AB、BC、A1C1的中點。(1)證明： EF平面A1CD；(2)三角柱ABC A1B1C1為垂直角柱，求出直線BC與平面A1CD所成的角的正弦值.解： (1)在三角柱ABC A1B1C1中，ACA1C1、AC=A1C1，連接ED (省略圖示)在ABC中，由于d、e分別是棱AB、BC的中點，因此deAC、DE=AC。此外，

6、由于f是A1C1的中點，所以可獲得A1F=A1C1，從而可獲得A1FDE、A1F=DE、因此，由于四邊形A1FED是平行四邊形，所以EFA1D，此外，ef平面A1CD、a1d平面A1CD，所以EF平面A1CD。(2)方法1 :因為底面ABC是正三角形，d是AB的中點，所以CDAB、AA1CD、AA1AB=A，且是CD平面A1ABB1。如圖所示，在平面A1ABB1內(nèi)，如果把通過點b的點b作為BGA1D，把交直線A1D作為點g，并把CG連接起來，則成為BG平面A1CD，BCG是直線BC和平面A1CD所成的角。設(shè)三角柱棱的長度為a，則A1D=、a1adbgd、BG=、在RtBCG中，sinBCG=。

7、因此，直線BC與平面A1CD所成角的正弦值為.如果把方法A1B1的中點設(shè)為o，并連結(jié)OC1、OD，由于三角柱ABC A1B1C1是垂直角定柱，因此OD平面A1B1C1，所以O(shè)DOC1、ODOA1.再有a1b1c1將o設(shè)為坐標(biāo)原點、的方向分別設(shè)為x軸、y軸、z軸的正方向，制作圖所示那樣的空間直角坐標(biāo)系O xyz .設(shè)三角柱的角錐長度為a，則為o (0，0，0 )、b、c、A1、D(0，a，0 )。設(shè)平面A1CD的法向量為n=(x，y，z )，由得假設(shè)x=2，則n=(2，1，0 )。設(shè)直線BC與平面A1CD所成角為，sin =。因此，直線BC與平面A1CD所成角的正弦值為.2 .如圖所示，正方形A

8、BCD的邊的長度為4，AB=AE=BF=EF，ABEF，通過沿著AB折疊正方形ABCD，使AD平面AEFB、g成為EF的中點。(1)求證： AG平面BCE；(2)求出二面角CAEF的佟弦值解： (1)證明：連接BG，因為BCAD、AD底面AEFB，在BC底面AEFB、還有ag底面AEFB，BCAG，由于AB圖像EG、AB=AE，所以四邊形ABGE是菱形，AGBE，另外，bcBE=B、be平面BCE、BC平面BCE，所以AG平面BCE。由(2)式(1)得知的四邊形ABGE是菱形、AGBE、AE=EG=BG=AB=4，設(shè)AGBE=O、OE=OB=2、OA=OG=2，以o為坐標(biāo)原點，制作如圖所示的空

9、間直角坐標(biāo)系o (0，0，0 )，a (-2，0，0 )，E(0，- 2，0 )，f (4，2，0 )，c(0，)因此=(2，2，4 )、=(2，- 2，0 )，設(shè)平面ACE的法向量為n=(x，y，z )，所以假設(shè)y=1，則x=、z=-，即，平面ACE的法向量為n=(，1，- )，易懂的平面AEF的法向量為=(0，0，4 )，如果將二面角CAEF的大小設(shè)為，則從圖中容易理解-，所以cos =。難易度高的問題學(xué)霸作品1.(2018安徽省百所重點高中模擬)圖所示的幾何由平面PECF截面棱長為2的立方形得到，其中，p、c是原立方形的頂點，e、f是原立方形的棱長的中點，正方形ABCD是原立方形的底面，

10、g是棱BC上的動點。(1)求證：平面美國電力轉(zhuǎn)換公司平面PECF；(2)=(01 )，為什么值時，平面EFG和平面ABCD所成的角是？解： (1)證明：由已知可知，EBFD、EB=FD，如該圖所示，連接BD時，四邊形EFDB是平行四邊形，EFBD。底面ABCD為正方形，BDAC。AP底面ABCD，BDAP。另外，ACAP=A，BD平面美國電力轉(zhuǎn)換公司，ef平面美國電力轉(zhuǎn)換公司。ef平面PECF，平面美國電力轉(zhuǎn)換公司平面PECF。(2)以d為原點制作圖所示的空間直角坐標(biāo)系D xyz，b (2，2，0 )、f (0，0，1 )、e (2，2，1 )、g (2，2-2，0 )、=(2，)將m=(x，

11、y，z )設(shè)為平面EFG的法向量，故即假設(shè)y=-1，則m=(1，- 1，2)可以是平面EFG的法向量。平面ABCD的法向量是n=(0，0，1 )。cos=|cosm，n|=、又是01，=。如圖a所示，在平面六邊形ABFCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB=4、BC=2、AE=DE=、BF=CF=、點m、n(1)利用以下結(jié)論或結(jié)論，證明e、f、m、n四點平齊結(jié)論:跨空間構(gòu)成已知直線的垂直面，且只有一個結(jié)論:通過平面內(nèi)的一條直線構(gòu)成該平面的垂直面，且僅有一個(2)如果二面角E ADB和二面角F BC A都為60則求出二面角A BEF的校正弦值。解： (1)如圖所示，連接MN，ME，NF，四邊形ABCD為矩形，點m，n分別為AD，BC的中點，AMBN，AM=BN，從(2)(1)了解平面EMNF平面ABCD，通過點e作為EOMN，把腳垂下作為o，作為EO平面ABCD。以與MN垂直的直線為x軸，以O(shè)N、OE所處的直線分別為y軸、z軸，制作如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O xyz。AD=2，AE=DE=，點m是AD的中點，AEDE、EM=1，電子二面角為60，電子郵件為60