1、1,量子力學(xué),光電子科學(xué)與工程學(xué)院 劉勁松 第七講 厄密算符的本征值與本征函數(shù) 角動(dòng)量的本征值與本征函數(shù),2,第七講目錄,一、厄密算符回顧 二、厄密算符的本征值與本征函數(shù) 三、角動(dòng)量的本征值與本征函數(shù) 習(xí)題,3,一、 厄密算符回顧（1）,1、轉(zhuǎn)置算符 則 2、共軛算符 3、厄密共軛算符,4,一、 厄密算符回顧（2）,4、厄密算符 5、厄密算符的平均值 定理：厄密算符的平均值為實(shí)數(shù)。,5,一、厄密算符回顧（3）,推論：厄密算符平方的平均值大于等于零,6,二、 厄密算符的本征值與本征函數(shù)（1）,（一）本征函數(shù)（本征態(tài)）,7,二、 厄密算符的本征值與本征函數(shù)（2）,(二)本征值,8,二、 厄密算符的

2、本征值與本征函數(shù)（3）,定理1：厄密算符的本征值必為實(shí)數(shù)。,9,二、 厄密算符的本征值與本征函數(shù)（4）,定理2：厄密算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)，彼此正交。即 證,10,11,二、 厄密算符的本征值與本征函數(shù)（5）,正交歸一化的表示,12,三、角動(dòng)量的本征值與本征函數(shù)（1）,角動(dòng)量及其算符(1),13,三、角動(dòng)量的本征值與本征函數(shù)（2）,角動(dòng)量及其算符(2),14,直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)的變換關(guān)系,這表明： r = r (x, y, z) x = x (r, , ),球坐標(biāo),將（1）式兩邊分別對(duì) x y z 求偏導(dǎo)數(shù)得：,將（2）式兩邊分別對(duì) x y z 求偏導(dǎo)數(shù)得：,對(duì)于任意函數(shù)f (r, ,

3、) （其中，r, , 都是 x, y, z 的函數(shù)）則有：,將（3）式兩邊分別對(duì) x y z 求偏導(dǎo)數(shù)得：,15,將上面結(jié)果 代回原式得：,則角動(dòng)量算符 在球坐標(biāo)中的 表達(dá)式為：,16,例1：角動(dòng)量z分量的本征值與本征函數(shù)(1),三、角動(dòng)量的本征值與本征函數(shù)（3）,17,三、角動(dòng)量的本征值與本征函數(shù)（4）,例1：角動(dòng)量z分量的本征值與本征函數(shù)(2),18,三、角動(dòng)量的本征值與本征函數(shù)（5）,19,三、角動(dòng)量的本征值與本征函數(shù)（6）,例2：平面轉(zhuǎn)子的本征值與本征函數(shù),20,三、角動(dòng)量的本征值與本征函數(shù)（7）,21,三、角動(dòng)量的本征值與本征函數(shù)（8）,例3：動(dòng)量x分量的本征值與本征函數(shù),22,三、角動(dòng)量的本征值與本征函數(shù)（9）,例4：一維自由粒子的能量本征態(tài),23,習(xí)題