1、解 由題意可得,則 ,時,時,所以,第四章,隨機(jī)變量的數(shù)字特征,一、數(shù)學(xué)期望,二、方差,三、協(xié)方差及相關(guān)系數(shù),四、矩、協(xié)方差矩陣,在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量 X 的概率分布，那么 X的全部概率特征也就知道了.,然而，在實際問題中，概率分布一般是較難確定的. 而在一些實際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.,隨機(jī)變量的數(shù)字特征（即用數(shù)字表示隨機(jī)變量的,分布特點），,在理論上和應(yīng)用上都是有重要意義的。,本章介紹隨機(jī)變量常用的數(shù)字特征：,數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù),數(shù)學(xué)期望,第四章,第一節(jié),二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期

2、望,一 、數(shù)學(xué)期望的概念,三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),四、幾種重要分布的數(shù)學(xué)期望,一、數(shù)學(xué)期望的概念,對于隨機(jī)變量來說，,有時不僅要知道它的概率分布，,還希望知道隨機(jī)變量取值的“平均”大小。,起源：,法國數(shù)學(xué)家帕斯卡（Pascal，16231662）,法國數(shù)學(xué)家費馬（ Fermat，16011665）,法國軍人德.梅勒（De Mere，16071684）,帕斯卡,德.梅勒,約定先贏5局，獲全部賭金,A：4,B：3,費馬,假設(shè)再賭一局,A贏獲全賭金：1,A輸獲賭金： 1/2,A最后獲賭金：1/21+1/21/2=3/4,B最后獲賭金：1/20+1/21/2=1/4,期望（提前分錢）,我們來看一個引例.,

3、引例1 某車間對工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察. 車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個隨機(jī)變量. 如何定義X的平均值呢？,我們先觀察小張100天的生產(chǎn)情況,（假定小張每天至多出現(xiàn)三件廢品 ）,1、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,可以得到這100天中 每天的平均廢品數(shù)為,這個數(shù)能否作為 X的平均值呢？,若統(tǒng)計100天,32天沒有出廢品; 30天每天出一件廢品; 17天每天出兩件廢品; 21天每天出三件廢品;,可以想象，若另外統(tǒng)計100天，車工小張不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的100天一般不會完全相同，這另外100天每天的平均廢品數(shù)也不一定是1.27.,n0天沒有出廢品; n1天每天出一件廢品; n

4、2天每天出兩件廢品; n3天每天出三件廢品.,可以得到n天中每天的平均廢品數(shù)為,(假定小張每天至多出三件廢品),一般來說, 若統(tǒng)計n天 ,這是 以頻率為權(quán)的加權(quán)平均,當(dāng)n很大時，頻率接近于概率，所以我們在求廢品數(shù)X 的平均值時，用概率代替 頻率，得平均值為,這是 以概率為權(quán)的加權(quán)平均,這樣得到一個確定的數(shù).我們就用這個數(shù)作為隨機(jī)變量X 的平均值 .,注：離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個絕對收斂的,若級數(shù),絕對收斂 。,設(shè)離散型隨機(jī)變量X 的分布律為,簡稱期望或均值，記為 E(X).,則稱此級數(shù)的和為X 的數(shù)學(xué)期望。,即,級數(shù)的和.,數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量的平均值，,其與 X 取,值 x k 的順序無

5、關(guān)（唯一性），所以要求級數(shù)絕對收斂。,定義1,定理：絕對收斂級數(shù)經(jīng)改變項的位置后構(gòu)成的級數(shù)也收斂，且與原級數(shù)有相同的和（即絕對收斂級數(shù)具有可交換性）.,解 設(shè)試開次數(shù)為X ,于是,例2,甲乙兩人射擊，他們的射擊水平由下表給出,試問哪個人的射擊水平較高？,解 甲乙的平均環(huán)數(shù)可求得：,因此，從平均環(huán)數(shù)上看，甲的射擊水平要比乙的好。,X：甲擊中的環(huán)數(shù),Y：乙擊中的環(huán)數(shù),期望值在決策中有著廣泛的應(yīng)用,假如，有一家個體戶，有資金一筆，如經(jīng)營西瓜，風(fēng)險大但利潤高(成功的概率為0.7，獲利2000元)； 如經(jīng)營工藝品，風(fēng)險小但獲利少(95會賺，但利潤為1000元)究竟該如何決策？,所以權(quán)衡下來，情愿“搏一記

6、”，去經(jīng)營西瓜，因它的期望值高,計算期望值：,若經(jīng)營西瓜，期望值 E1=0.72000=1400元,而經(jīng)營工藝品期望值 E20.951000950元,再如:考試中經(jīng)常碰到選擇題，選對3分，錯了扣一分 沒有任何線索的情況下，能不能碰碰運氣,計算得分的期望值,蒙對答案的概率0.25,此種情況下，蒙不蒙效果都一樣,關(guān)于期望值的理解:,1、隨機(jī)現(xiàn)象大量次試驗的平均值,2、期望值的計算公式為各種可能取值的加權(quán)平均,2、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f (x),在數(shù)軸上取很密的分點x0 x1x2 ,則X落在小區(qū)間xi, xi+1)的概率是,小區(qū)間xi, xi+1),陰影面積近

7、似為,由于xi與xi+1很接近, 所以區(qū)間xi, xi+1)中的值可以用xi來近似代替.,這正是,的漸近和式.,該離散型r.v 的數(shù)學(xué)期望是,由此啟發(fā)我們引進(jìn)如下定義.,定義2 設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 f (x),如果積分,絕對收斂,則稱此積分值為X的數(shù)學(xué)期望, 即,請注意 : 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個絕對收斂的積分.,例3,已知某電子元件的壽命 X 服從參數(shù)為,的指數(shù)分布(單位：小時）。,求這類電子元件的平均壽命E ( X )。,解,小時。,由定義可得,二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,1. 問題的提出：,設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計算的不是X的期望，而是X的某個函數(shù)的期望

8、，比如說g(X)的期望. 那么應(yīng)該如何計算呢？,一種方法是，因為g(X)也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來. 一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把Eg(X)計算出來.,那么是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)X的分布求得Eg(X)呢？,下面的定理指出，答案是肯定的.,使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復(fù)雜的 .,解,已知X 的分布律為,求 及 的數(shù)學(xué)期望。,例4,同理,(1) 當(dāng)X為離散型時,它的分布率為P(X= xk)=pk ;,(2) 當(dāng)X為連續(xù)型時,它的密度函數(shù)為f(x).若,定理 設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù):Y=g (

9、X) (g是連續(xù)函數(shù)),該公式的重要性在于: 當(dāng)我們求Eg(X)時, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來很大方便.,設(shè)X 服從 N (0，1) 分布，求E (X2), E (X3), E (X4),例5,解,解,某公司按季度銷售某商品的量X 服從,例7（最佳決策）,2000，4000上的均勻分布，銷售1公斤獲利3元，屯倉,1公斤虧損1元，為獲利最大，該公司應(yīng)進(jìn)貨多少公斤？,解 設(shè) S 為進(jìn)貨量，則,，獲得利潤為,由題意可得,則平均利潤為,求 S 使E( Y )最大,可得,（公斤）,上述定理還可以推廣到兩個或兩個以上隨 機(jī)變量的函數(shù)的情況。,解,解

10、,同理,一般來說， ,那么何時相等？ 看下面數(shù)學(xué)期望性質(zhì),1. 設(shè)C 是常數(shù)，則E(C )=C ;,2. 若C 是常數(shù)，則E(CX )=CE(X );,3.,三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),證明: 設(shè),4. 設(shè)X、Y 獨立，則 E(XY )=E(X )E(Y );,證明: 設(shè),由獨立性,（當(dāng)Xi 獨立時）,注意:由E(XY )=E(X )E(Y )不一定能推出X,Y 獨立,5.（柯西-施瓦爾茲不等式）,四、幾種重要分布的數(shù)學(xué)期望,. X為離散型隨機(jī)變量,（01）分布, 泊松分布, 二項分布,則X 表示n 重伯努利試驗中A發(fā)生的次數(shù).,現(xiàn)在我們來求X 的數(shù)學(xué)期望 。,若設(shè),則,其中,即,，則,所以,結(jié)論：任何一個服從二項分布的隨機(jī)變量 X 都可表示,n 個服從（01）分布的獨立的隨機(jī)變量,相加的,. X為連續(xù)型隨機(jī)變量, 均勻分布,形式：,則, 指數(shù)分布,則,分部積 分法, 正態(tài)分布,解 由隨機(jī)變量的性質(zhì)可知,解 設(shè),則,注: