1、一、函數(shù)的和、差、積、商的求導法則,三、反函數(shù)的導數(shù),二、基本初等函數(shù)的導數(shù),四、復合函數(shù)的導數(shù),3.3 導數(shù)的基本公式與運算法則,五、隱函數(shù)的導數(shù),六、取對數(shù)求導法,八、綜合舉例,七、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù),一、函數(shù)的和、差、積、商的求導法則,如果u(x)、v(x)都是x的可導函數(shù) 則它們的和、差、積、 商(分母不為零時)也是x的可導函數(shù) 并且,u(x)v(x)u(x)v(x),u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x),特別地 cu(x)cu(x),公式的推廣,(u1u2 un) u1u2 un (u1u2 un)u1u2 unu1u2 un u1u2 un,(1),證明:,(

2、3) 從略,二、基本初等函數(shù)的導數(shù),1 常數(shù)的導數(shù),(c)0,這是因為,1 (c)0,2 冪函數(shù)的導數(shù),(xn)nxn1,這是因為,以后可證,對任意實數(shù)n, (xn)nxn1,1 (c)0,2 冪函數(shù)的導數(shù),(xn)nxn1,解,例1 求函數(shù)yx35的導數(shù),y(x35),3x2,3x20,(x3)(5),解,24x33x24x,例2 求函數(shù)y(12x)(3x32x2)的導數(shù),y(12x)(3x32x2)(12x)(3x32x2),2(3x32x2)(12x)(9x24x),1 (c)0,2 冪函數(shù)的導數(shù),(xn)nxn1,解,例1 求函數(shù)yx35的導數(shù),y(x35),3x2,3x20,(x3)

3、(5),解,1 (c)0,2 冪函數(shù)的導數(shù),(xn)nxn1,其中n為任意實數(shù).,1 (c)0,2 冪函數(shù)的導數(shù),(xn)nxn1,解,2 (xn)nxn1,1 (c)0,3 指數(shù)函數(shù)的導數(shù),(ax)axln a,(ex)ex,這是因為,(ex)ex,2 (xn)nxn1,1 (c)0,3 (ax)axln a,(ex)ex,4 對數(shù)函數(shù)的導數(shù),這是因為,2 (xn)nxn1,1 (c)0,3 (ax)axln a,(ex)ex,5 三角函數(shù)的導數(shù),(sin x)cos x,這是因為,和差化積公式:,2 (xn)nxn1,1 (c)0,3 (ax)axln a,(ex)ex,5 三角函數(shù)的導數(shù)

4、,這是因為,5.(sin x)cos x,(tan x)sec2 x,(cos x)sin x,2 (xn)nxn1,1 (c)0,3 (ax)axln a,(ex)ex,5 三角函數(shù)的導數(shù),這是因為,5.(sin x)cos x,(sec x)sec xtanx,(cos x)sin x,(tan x)sec2 x,2 (xn)nxn1,1 (c)0,3 (ax)axln a,(ex)ex,5 (sinx)cosx (cosx)sinx (tanx)sec2x (cotx)csc2x,(sec x)sec xtan x (csc x)csc xcot x,解,三、反函數(shù)的導數(shù),設函數(shù)yf(x

5、)在點x處有不等于0的導數(shù)f (x) 并且其反函 數(shù)xf 1(y)在相應點處連續(xù) 則f 1(y)存在 并且,簡要證明,這是因為,2 (xn)nxn1,1 (c)0,3 (ax)axln a,(ex)ex,6 反三角函數(shù)的導數(shù),這是因為 函數(shù) yarcsinx與xsin y互為反函數(shù) 所以由反 函數(shù)的求導公式得,5 (sinx)cosx (cosx)sinx (tanx)sec2x (cotx)csc2x,(sec x)sec xtan x (csc x)csc xcot x,2 (xn)nxn1,1 (c)0,3 (ax)axln a,(ex)ex,6 反三角函數(shù)的導數(shù),這是因為 函數(shù) yar

6、ctanx與xtan y互為反函數(shù) 所以由反 函數(shù)的求導公式得,5 (sinx)cosx (cosx)sinx (tanx)sec2x (cotx)csc2x,(sec x)sec xtan x (csc x)csc xcot x,6.,作業(yè): p.138 15(3)(5)(7);17(3)(4)(6);,四、復合函數(shù)的導數(shù),設u(x)在點x處可導 yf(u)在對應點u處可導 則復合函 數(shù)yf(x)的導數(shù)為,簡要證明,四、復合函數(shù)的導數(shù),設u(x)在點x處可導 yf(u)在對應點u處可導 則復合函數(shù)yf(x)的導數(shù)為,復合函數(shù)求導公式的推廣,設yf(u) u(v) v(x) 則復合函數(shù)y (x

7、)對x的導數(shù)是,解,y(u30)u(12x)x,例6 求函數(shù)y(12x)30的導數(shù),設yu30 u12x,60(12x)29,60u29,30u292,則由復合函數(shù)求導公式得,若yf(x) u(x) 則,解,設yln u usin x 則,例7 求函數(shù)ylnsin x的導數(shù),解,y(u30)u(12x)x,例6 求函數(shù)y(12x)30的導數(shù),設yu30 u12x,60(12x)29,60u29,30u292,則由復合函數(shù)求導公式得,若yf(x) u(x) 則,解,y(cos u)u(nx)x,例8 求函數(shù)ycos nx的導數(shù),設ycos u unx 則,nsin nx,sin un,解,設yl

8、n u usin x 則,例7 求函數(shù)ylnsin x的導數(shù),解,y(u30)u(12x)x,例6 求函數(shù)y(12x)30的導數(shù),設yu30 u12x,60(12x)29,60u29,30u292,則由復合函數(shù)求導公式得,若yf(x) u(x) 則,解,解,解,解,解,例12 求函數(shù)yarcsin(3x2)的導數(shù),解,解,解,解,y(ax),例14 求函數(shù)yax的導數(shù),axln a,axln a(x),解,解,y(ax),例14 求函數(shù)yax的導數(shù),axln a,axln a(x),五、隱函數(shù)的導數(shù),設方程P(x, y)0確定y是x的函數(shù) 并且可導 現(xiàn)在可以利 用復合函數(shù)求導公式可求出隱函數(shù)y

9、對x的導數(shù),解2,例16 求由方程y22px所確定的隱函數(shù)yf(x)的導數(shù),將方程y22px兩邊同時對x求導把y看作x的函數(shù),得,2yy2p,這是一個包含y的一次方程,解出y即得隱函數(shù)的導數(shù),解1,由方程解得,因此,或,結果和解法1一致.,解,將方程兩邊同時對x求導 得,例17 求由方程yxln y所確定的隱函數(shù)yf(x)的導數(shù),解出y即得,解,例18 由方程x2xyy24確定y是x的函數(shù) 求其曲線上點 (2, 2)處的切線方程,將方程兩邊同時對x求導 得,2xyxy2yy0,解出y即得,所求切線的斜率為 ky|x2,y21 于是所求切線為 y(2)1(x2) 即yx4,解,例19 求由方程e

10、 yxy所確定的隱函數(shù)y的導數(shù),將方程兩邊同時對x求導 得,e yyyxy,解出y 得,六、取對數(shù)求導法,將函數(shù)yf(x)兩邊取對數(shù) 化成隱函數(shù)求導數(shù) 這種方法 稱之為 “取對數(shù)求導法”,解,例20 求函數(shù)yxx的導數(shù),將yxx兩邊取對數(shù),ln yxln x,兩邊對x求導數(shù) 得,于是得 yy(ln x1)xx(ln x1),冪指函數(shù)也可以按下法求導,y exln x(x ln x),xx(ln x1),exln x(ln x1),解,先在兩邊取對數(shù) 得,上式兩邊對x求導 得,下面證明,事實上,七、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù),設x(t)有連續(xù)反函數(shù)t1(x) 又(t)與(t)存在 且 (t)0

11、 y與x構成復合函數(shù)y(t)1(x) 利用反函數(shù)與復合函數(shù)的求導法則 有,導數(shù)的計算公式:,1. u(x)v(x)u(x)v(x),2. u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x),4. cu(x)cu(x),3.,5.,2 (xn)nxn1,1 (c)0,3 (ax)axln a,(ex)ex,5 (sinx)cosx (cosx)sinx,(sec x)sec xtan x (csc x)csc xcot x,(tanx)sec2x (cotx)csc2x,基本初等函數(shù)的導數(shù)公式:,七、綜合舉例,解,3xln33x20exln x(xln x) 3xln33x2xx(ln x1),例

12、25 y3xx333xx 求 y,y(3x)(x 3)(33)(xx),例24. y =lncos(10+3x2),求 y,解,(p.123例20),6,解,當x0時,當0 x1時,f (x)1,f (x)2,在x0處f(x)不連續(xù) 故f (0) 不存在 在x1處 有,故 f (1)2,當x1時,f (x)2x,7,例28 已知f(u)可導 求f (ln x) f (xa)n及f (xa)n,f (xa)n,f (xa)nn(xa)n1(xa),n(xa)n1f (xa)n,f (xa)n(xa)n,f (xa)n,nf (xa)n1f (xa),nf (xa)n1f (xa)(xa),nf (x