1、9.1 微分方程的一般概念,我們在研究科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理中某些現(xiàn)象 的變化過程時(shí) 往往需要尋求有關(guān)的變量之間的函 數(shù)關(guān)系 但是 有時(shí)這種關(guān)系不容易直接建立起來 卻可能建立起含有待求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系 式 這種關(guān)系式稱為微分方程 通過解微分方程才 能得出所要求的函數(shù),解,引例1 求過點(diǎn)(1, 3)且切線斜率為2x的曲線方程,設(shè)所求的曲線方程是yy(x) 則根據(jù)題意有,其中y(1)表示x1時(shí)y的值,顯然 這種函數(shù)的一般形式是 yx2c (c為任意常數(shù)) 這是一簇曲線 簇中每一條曲線在點(diǎn)x處的切線斜率均為2x 將已知條件y(1)3代入上式 求出c2 則 yx22 這就是所求過點(diǎn)(1, 3)且切線

2、斜率為2x的曲線方程,要求出滿足y2x的函數(shù) 只需要求一次不定積分即可,解,引例2 已知質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t的加速度為t21 且當(dāng)t0時(shí) 速度 v1、距離s0 求此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程,設(shè)此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為ss(t) 則有,將st 21積分一次 得,s(0)0,s(0)1,st 21,再積分一次 得,由s(0)0可得c20,由s(0)1可得c11,舉例,定義91(微分方程) 含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為微分方程,說明,未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程,引例1中的y2x和引例2中的s(t)t21都是常微分方程,未知函數(shù)為多元函數(shù) 從而出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的方 程 稱為偏微分方程,舉例,定義91

3、(微分方程) 含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為微分方程,引例1中的y2x和引例2中的s(t)t21都是常微分方程,微分方程的階 方程中出現(xiàn)的各階導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程的階,y2x是一階微分方程,st 21是二階微分方程,定義92(微分方程的解) 如果一個(gè)函數(shù)代入微分方程后 方程兩端恒等 則稱此函 數(shù)為該微分方程的解,舉例,定義92(微分方程的解) 如果一個(gè)函數(shù)代入微分方程后 方程兩端恒等 則稱此函數(shù)為該微分方程的解,yx2c和yx22都是y2x的解,都是st21的解,定義91(微分方程) 含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為微分方程,微分方程的階 方程中出現(xiàn)的各階導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程

4、的階,引例1中的y2x和引例2中的s(t)t21都是常微分方程,定義92(微分方程的解) 如果一個(gè)函數(shù)代入微分方程后 方程兩端恒等 則稱此函數(shù)為該微分方程的解,定義93(微分方程的通解與特解) 如果微分方程的解中所含任意常數(shù)的個(gè)數(shù)等于微分方程 的階數(shù) 則此解稱為微分方程的通解 在通解中給予任意常數(shù) 以確定的值而得到的解 稱為特解,舉例,yx2c和yx22都是y2x的解,都是st21的解,引例1中的y2x和引例2中的s(t)t21都是常微分方程,定義92(微分方程的解) 如果一個(gè)函數(shù)代入微分方程后 方程兩端恒等 則稱此函數(shù)為該微分方程的解,初始條件 用于確定通解中的任意常數(shù)的條件稱為初始條件,引例1中的y(1)3是初始條件,引例2中的s(0)1 s(0)0都是初始條件,定義93(微分方程的通解與特解) 如